2022年新教材高中數(shù)學第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用習題課-函數(shù)最值的應用課件人教A版選擇性必修第二冊

1、內(nèi)容索引010203自主預習 新知導學合作探究 釋疑解惑隨堂練習課標定位素養(yǎng)闡釋1.會求含參數(shù)的函數(shù)的最值.2.掌握利用導數(shù)證明不等式的方法.3.會利用導數(shù)解決不等式中的恒成立問題.4.會用導數(shù)解決一些實際問題.5.通過研究函數(shù)最值的應用,增強直觀想象、邏輯推理與運算求解的數(shù)學素養(yǎng).自主預習 新知導學一、利用導數(shù)證明不等式的方法【問題思考】1.(1)證明f(x)g(x),x(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),利用F(x)的單調(diào)性求最大值,證明F(x)maxg(x),x(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),利用F(x)的單調(diào)性求最小值,證明F(x)min0.2.

2、做一做:證明不等式:ex1+x.證明:設函數(shù)f(x)=ex-1-x,則f(x)=ex-1.令f(x)=0,得x=0.當x0時,f(x)0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增;當x0時,f(x)m恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是.令f(x)=0,得x=0或x=-2.當x變化時,f(x),f(x)隨x的變化情況如下表:因此,當x=0時,f(x)min=f(0)=0,要使f(x)m對x-2,2恒成立,只需mf(x)min,即m0.答案:(-,0)x-2(-2,0)0(0,2)2f(x)-0+f(x)單調(diào)遞減最小值單調(diào)遞增三、解決實際問題的基本思路【問題思考】1.實際問題用函數(shù)表示數(shù)學問題實際問題的答

3、案用導數(shù)解決數(shù)學問題2.做一做:(1)要做一個圓錐形漏斗,其母線長為20 cm,若使其體積最大,則高應為()(2)用長為18 m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架,要求長方體的長與寬之比為21,則該長方體的最大體積是.解析:(1)設高為h,0h0時,證明不等式:1+2x0時,f(x)=2(1-e2x)0時,f(x)f(0)=0,即1+2x-e2x0,即1+2xa成立,只需證明f(x)mina即可.(2)若要證明f(x)g(x)在區(qū)間D上成立,基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),然后根據(jù)函數(shù)h(x)的單調(diào)性證明h(x)min0.【變式訓練1】 證明不等式ln xx0).證明:先證ln x

4、0).令f(x)=0,解得x=1.當0 x1時,f(x)1時,f(x)0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+)上單調(diào)遞增.所以當x=1時,函數(shù)f(x)有極小值,也是最小值,最小值為f(1)=10.所以f(x)=x-ln x0,從而xln x.再證x0),則g(x)=ex-1.當x0時,g(x)0,所以g(x)在區(qū)間(0,+)上為增函數(shù).所以g(x)g(0)=10,即ex-x0,即exx.綜上,ln xx0).探究二不等式恒成立問題【例2】 已知函數(shù)f(x)=x3- x2-2x+c,若對x-1,2,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范圍.當x=1時,函數(shù)f(x)取得極小值.又f(2)=2+c,函數(shù)f(

5、x)在區(qū)間-1,2上的最大值為f(2)=2+c.要使f(x)f(2)=2+c,解得c2.c的取值范圍是(-,-1)(2,+).本例中若把條件改為f(x)2c恒成立,求實數(shù)c的取值范圍. 反思感悟 不等式恒成立問題常用的解題方法 【變式訓練2】 設函數(shù)f(x)=tx2+2t2x+t-1(xR,t0).(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)0),當x=-t時,f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(2)設g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,則g(t)=-3t2+3.令g(t)=0,解得t=1或t=-1(舍去).在區(qū)間(0,2)內(nèi),

6、當t變化時,g(t),g(t)的變化情況如下表:g(t)在區(qū)間(0,2)上有極大值也是最大值g(1)=1-m.h(t)-2t+m對x(0,2)恒成立等價于g(t)0對x(0,2)恒成立,即1-m1,m的取值范圍為(1,+).探究三導數(shù)在實際問題中的應用【例3】 某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明,該商品每日的銷售量y(單位:kg)與銷售價格x(單位:元/kg)滿足關(guān)系式y(tǒng)= +10(x-6)2.其中3x6,a為常數(shù).已知銷售價格為5元/kg時,每日可售出該商品11 kg.(1)求a的值;(2)若該商品的成本為3元/kg,試確定銷售價格x的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.從而f(x)=10(

7、x-6)2+2(x-3)(x-6)=30(x-4)(x-6).令f(x)=0,得x=4或x=6(舍去).當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:x(3,4)4(4,6)f(x)+0-f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由上表可知,x=4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)上的極大值點,也是最大值點.所以當x=4時,函數(shù)f(x)取得最大值,且最大值等于42.故當銷售價格為4元/kg時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.利用導數(shù)解決實際問題中的最值的一般步驟反思感悟 (1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系,建立實際問題的數(shù)學模型,寫出實際問題中變量之間的函數(shù)解析式y(tǒng)=f(x);(2)求函數(shù)的導數(shù)f(

8、x),解方程f(x)=0;(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和極值點的函數(shù)值大小,求出最大值或最小值;(4)把所得數(shù)學結(jié)論回歸到數(shù)學問題中,看是否符合實際情況并下結(jié)論.【變式訓練3】 有一塊邊長為a的正方形鐵板,現(xiàn)從鐵板的四個角各截去一個相同的小正方形,做成一個長方體的無蓋容器.為使其容積最大,截下的小正方形邊長應為多少?解:設截下的小正方形邊長為x,容器容積為V(x),則做成的長方體形無蓋容器底面邊長為a-2x,高為x,V(x)=(a-2x)2x,0 x0.(1)若對任意的x1,x21,e,都有f(x1)g(x2)成立,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若存在x1,x21,e,使得f(x1)g(x2),求實數(shù)

9、a的取值范圍.分析:(1)“對任意的x1,x21,e,都有f(x1)g(x2)成立”即為當x1,e時,函數(shù)f(x)的最小值不小于g(x)的最大值;(2)“存在x1,x21,e,使得f(x1)g(x2)”等價于f(x)ming(x)max.解:(1)對x1,x21,e,都有f(x1)g(x2),等價于當x1,e時,f(x)ming(x)max.(2)存在x1,x21,e,使得f(x1)g(x2),等價于當x1,e時,f(x)min0,所以g(x)在區(qū)間1,e上單調(diào)遞增,所以g(x)max=g(e)=e+1.令f(x)=0,解得x=a或x=-a(舍去),可得f(x)在區(qū)間(0,a)上單調(diào)遞減,在區(qū)

10、間(a,+)上單調(diào)遞增.當0a1時,f(x)在區(qū)間1,e上單調(diào)遞增,f(x)min=f(1)=1+a2f2(x2)f1(x)minf2(x)max.x1a,b,x2c,d,f1(x1)f2(x2)f1(x)maxf2(x)min.x1a,b,x2c,d,f1(x1)f2(x2)f1(x)minf2(x)min.x1a,b,x2c,d,f1(x1)f2(x2)f1(x)maxf2(x)max.x1a,b,x2c,d,f1(x1)=f2(x2)f1(x)的值域與f2(x)的值域交集不為.【變式訓練】 已知函數(shù)f(x)=(x2-ax)ex,其函數(shù)圖象在點(1,f(1)處的切線與x軸平行.(1)討論方

11、程f(x)=m(mR)根的個數(shù);(2)設g(x)=b ,若對于任意的x1(0,2),總存在x21,e,使得f(x1)g(x2)成立,求實數(shù)b的取值范圍.解:(1)f(x)=(2x-a)ex+(x2-ax)ex=x2+(2-a)x-aex. 當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表: 且當x-時,f(x)0;當x+時,f(x)+.作出函數(shù)f(x)的大致圖象(圖略),方程f(x)=m根的個數(shù)為函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=m的交點個數(shù).(2)由題意知,只需f(x)ming(x)min, 當b0時,g(x)0,且不恒等于0,g(x)在區(qū)間1,e上單調(diào)遞增,g(x)min=g(1)=b.當b=

12、0時,g(x)=0,無解.當b0時,g(x)0,且不恒等于0,g(x)在區(qū)間1,e上單調(diào)遞減,隨堂練習因為a1,x1,e,所以f(x)0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間1,e上單調(diào)遞增,從而f(x)min=f(1)=ln 1+a=a.故選B.答案:B解析:f(x)=2x3-6x2=2x2(x-3),令f(x)=0,解得x=0或x=3.由函數(shù)f(x)的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)的圖象可得x=3是函數(shù)的最小值點.答案:A 3.在區(qū)間(0,)上,sin x與x的大小關(guān)系是.解析:構(gòu)造函數(shù)f(x)=sin x-x,則f(x)=cos x-10,且不恒等于0,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞減,所以f(x)f(0)=0,則sin xx.答案:sin xx4.函數(shù)f(x)= x3-x2-3x-1的圖象與x軸的交點個數(shù)是.解析:f(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3),令f(x)=0,解得x=-1或x=3.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,-1)和(3,+)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(-1,3)上單調(diào)遞減.由f(x)極小值=f(3)=-1