2023研究生數(shù)學(xué)二真題及詳解

1、2004年考碩數(shù)學(xué)二真題一. 填空題此題共6小題，每題4分，總分值24分. 把答案填在題中橫線上. 1設(shè), 那么的間斷點為 .2設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定, 那么曲線向上凸的取值范圍為_.3_.4設(shè)函數(shù)由方程確定, 那么_.5微分方程滿足的特解為_.6設(shè)矩陣, 矩陣滿足, 其中為的伴隨矩陣, 是單位矩陣, 那么_-.二. 選擇題此題共8小題，每題4分，總分值32分. 每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求, 把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi). 7把時的無窮小量, , 排列起來, 使排在后面的是前一個的高階無窮小, 那么正確的排列次序是ABCD8設(shè), 那么A是的極值點, 但不是曲線的拐點.B不是的

2、極值點, 但是曲線的拐點.C是的極值點, 且是曲線的拐點.D不是的極值點, 也不是曲線的拐點. 9等于A. B.C. D10設(shè)函數(shù)連續(xù), 且, 那么存在, 使得A在內(nèi)單調(diào)增加.B在內(nèi)單調(diào)減小.C對任意的有.D對任意的有. 11微分方程的特解形式可設(shè)為A.B.C.D12設(shè)函數(shù)連續(xù), 區(qū)域, 那么等于A.B.C.D13設(shè)是3階方陣, 將的第1列與第2列交換得, 再把的第2列加到第3列得, 那么滿足的可逆矩陣為A. B. C. D. 14設(shè),為滿足的任意兩個非零矩陣, 那么必有A的列向量組線性相關(guān),的行向量組線性相關(guān).B的列向量組線性相關(guān),的列向量組線性相關(guān).C的行向量組線性相關(guān),的行向量組線性相關(guān)

3、.D的行向量組線性相關(guān),的列向量組線性相關(guān). 三. 解答題此題共9小題，總分值94分. 解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 15此題總分值10分求極限.16此題總分值10分設(shè)函數(shù)在上有定義, 在區(qū)間上, , 假設(shè)對任意的都滿足, 其中為常數(shù).()寫出在上的表達式; ()問為何值時, 在處可導(dǎo).17此題總分值11分設(shè),()證明是以為周期的周期函數(shù);()求的值域.18此題總分值12分曲線與直線及圍成一曲邊梯形. 該曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體, 其體積為, 側(cè)面積為, 在處的底面積為.()求的值; ()計算極限.19此題總分值12分設(shè), 證明.20此題總分值11分某種飛機在機場降落時,為了

4、減小滑行距離,在觸地的瞬間,飛機尾部張開減速傘,以增大阻力,使飛機迅速減速并停下來.現(xiàn)有一質(zhì)量為的飛機,著陸時的水平速度為.經(jīng)測試,減速傘翻開后,飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比(比例系數(shù)為).問從著陸點算起,飛機滑行的最長距離是多少?注 表示千克,表示千米/小時.21此題總分值10分設(shè),其中具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求.22此題總分值9分設(shè)有齊次線性方程組試問取何值時, 該方程組有非零解, 并求出其通解.23此題總分值9分設(shè)矩陣的特征方程有一個二重根, 求的值, 并討論是否可相似對角化.2004年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一. 填空題10 .【分析】此題屬于確定由極限定義的函數(shù)的連

5、續(xù)性與間斷點.對不同的,先用求極限的方法得出的表達式, 再討論的間斷點.【詳解】顯然當(dāng)時,;當(dāng)時, ,所以 ,因為 故 為的間斷點.2.【分析】判別由參數(shù)方程定義的曲線的凹凸性，先用由 定義的 求出二階導(dǎo)數(shù),再由 確定的取值范圍.【詳解】,令 .又 單調(diào)增, 在 時, 。(時，時，曲線凸.)3.【分析】利用變量代換法和形式上的牛頓萊布尼茲公式可得所求的廣義積分值.【詳解1】.【詳解2】.4.【分析】此題可利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法、公式法或全微分公式求解.【詳解1】在 的兩邊分別對,求偏導(dǎo),為的函數(shù).,從而 ,所以 【詳解2】令 那么 , , ,從而 【詳解3】利用全微分公式,得 即 , 從而 5.

6、【分析】此題為一階線性方程的初值問題.可以利用常數(shù)變易法或公式法求出方程的通解,再利用初值條件確定通解中的任意常數(shù)而得特解.【詳解1】原方程變形為 ,先求齊次方程 的通解:積分得 設(shè)為非齊次方程的通解,代入方程得從而 , 積分得 ,于是非齊次方程的通解為 ,故所求通解為 .【詳解2】原方程變形為 ,由一階線性方程通解公式得,從而所求的解為 .6.【分析】利用伴隨矩陣的性質(zhì)及矩陣乘積的行列式性質(zhì)求行列式的值.【詳解1】,.【詳解2】由,得二. 選擇題7 【分析】對與變限積分有關(guān)的極限問題，一般可利用洛必塔法那么實現(xiàn)對變限積分的求導(dǎo)并結(jié)合無窮小代換求解.【詳解】,即 .又 ,即 .從而按要求排列的

7、順序為, 應(yīng)選B.8【分析】求分段函數(shù)的極值點與拐點， 按要求只需討論兩方, 的符號.【詳解】,從而時, 凹, 時, 凸, 于是為拐點.又, 時, , 從而為極小值點.所以, 是極值點, 是曲線的拐點, 應(yīng)選C.9【分析】將原極限變型，使其對應(yīng)一函數(shù)在一區(qū)間上的積分和式。作變換后,從四個選項中選出正確的.【詳解】應(yīng)選B.10【分析】可借助于導(dǎo)數(shù)的定義及極限的性質(zhì)討論函數(shù)在附近的局部性質(zhì).【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義知,由極限的性質(zhì), , 使時, 有即時, ，時, ,應(yīng)選C.11【分析】利用待定系數(shù)法確定二階常系數(shù)線性非齊次方程特解的形式.【詳解】對應(yīng)齊次方程 的特征方程為,特征根為 ,對 而言, 因0

8、不是特征根, 從而其特解形式可設(shè)為對 , 因為特征根, 從而其特解形式可設(shè)為從而 的特解形式可設(shè)為12【分析】將二重積分化為累次積分的方法是:先畫出積分區(qū)域的示意圖,再選擇直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系,并在兩種坐標(biāo)系下化為累次積分.【詳解】積分區(qū)域見圖.在直角坐標(biāo)系下,故應(yīng)排除A、B.在極坐標(biāo)系下, ,故應(yīng)選D.13 【分析】根據(jù)矩陣的初等變換與初等矩陣之間的關(guān)系，對題中給出的行列變換通過左(右)乘一相應(yīng)的初等矩陣來實現(xiàn).【詳解】由題意 , ,從而 ,應(yīng)選D.14【分析】將寫成行矩陣, 可討論列向量組的線性相關(guān)性.將寫成列矩陣, 可討論行向量組的線性相關(guān)性.【詳解】設(shè) , 記 1由于, 所以至少有一

9、(),從而由1知, ,于是 線性相關(guān).又記 , 那么由于,那么至少存在一 (),使,從而線性相關(guān),故應(yīng)選A.三. 解答題15【分析】此極限屬于型未定式.可利用羅必塔法那么,并結(jié)合無窮小代換求解.【詳解1】 原式【詳解2】 原式16【分析】分段函數(shù)在分段點的可導(dǎo)性只能用導(dǎo)數(shù)定義討論.【詳解】()當(dāng),即時,.()由題設(shè)知 .令, 得.即當(dāng)時, 在處可導(dǎo).17【分析】利用變量代換討論變限積分定義的函數(shù)的周期性,利用求函數(shù)最值的方法討論函數(shù)的值域.【詳解】(),設(shè), 那么有,故是以為周期的周期函數(shù).()因為在上連續(xù)且周期為, 故只需在上討論其值域. 因為,令, 得, , 且, ,又 , ,的最小值是,

10、 最大值是, 故的值域是.18【分析】用定積分表示旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積，二者及截面積都是的函數(shù),然后計算它們之間的關(guān)系.【詳解】(),.(),19【分析】文字不等式可以借助于函數(shù)不等式的證明方法來證明,常用函數(shù)不等式的證明方法主要有單調(diào)性、極值和最值法等.【詳證1】設(shè), 那么,所以當(dāng)時, , 故單調(diào)減小, 從而當(dāng)時, ,即當(dāng)時, 單調(diào)增加.因此, 當(dāng)時, , 即故 .【詳證2】設(shè), 那么,時, , 從而當(dāng)時, ,時, 單調(diào)增加.時, 。令有即 .【詳證3】證 對函數(shù)在上應(yīng)用拉格朗日定理, 得, .設(shè), 那么,當(dāng)時, , 所以單調(diào)減小,從而, 即,故 20【分析】此題屬物理應(yīng)用.加速度或力求運動

11、方程是質(zhì)點運動學(xué)中一類重要的計算,可利用牛頓第二定律,建立微分方程,再求解.【詳解1】由題設(shè),飛機的質(zhì)量,著陸時的水平速度.從飛機接觸跑道開始記時,設(shè)時刻飛機的滑行距離為,速度為. 根據(jù)牛頓第二定律,得.又 ,積分得 ,由于, 故得, 從而.當(dāng)時,.所以,飛機滑行的最長距離為.【詳解2】根據(jù)牛頓第二定律,得.所以 ,兩邊積分得 ,代入初始條件 , 得,故飛機滑行的最長距離為.【詳解3】根據(jù)牛頓第二定律,得,其特征方程為 ,解得, ，故 ，由, ，得，.當(dāng)時,.所以,飛機滑行的最長距離為.21【分析】利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)和混合偏導(dǎo)的方法直接計算.【詳解】,.22【分析】此題為求含參數(shù)齊次線性方程組

12、的解.由系數(shù)行列式為0確定參數(shù)的取值,進而求方程組的非零解.【詳解1】對方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換, 有當(dāng)時, , 故方程組有非零解, 其同解方程組為.由此得根底解系為, , ,于是所求方程組的通解為, 其中為任意常數(shù).當(dāng)時,當(dāng)時, , 故方程組也有非零解, 其同解方程組為由此得根底解系為,所以所求方程組的通解為, 其中為任意常數(shù).【詳解2】方程組的系數(shù)行列式.當(dāng), 即或時, 方程組有非零解.當(dāng)時, 對系數(shù)矩陣作初等行變換, 有故方程組的同解方程組為.其根底解系為, , ,于是所求方程組的通解為, 其中為任意常數(shù).當(dāng)時, 對作初等行變換, 有故方程組的同解方程組為其根底解系為,所以所求方程組的通解為, 其中為任意常數(shù)23【分析】由矩陣特征根的定義確定的值，由線性無關(guān)特征