線性代數(shù)課件：2-7 線性方程組的Gauss消元法

1、第二章 矩 陣 2.1 矩陣的定義 2.2 矩陣的運(yùn)算 2.3 可逆矩陣 2.4 分塊矩陣及其運(yùn)算 2.5 矩陣的初等變換與初等矩陣 2.6 矩陣的秩 2.7 線性方程組的Gauss消元法二、線性方程組解的判定條件 一、線性方程組及解的概念 三、線性方程組的解法 四、小結(jié) 2.7 線性方程組的Gauss消元法 一般線性方程組 一、線性方程組及解的概念 方程組的解是指由 n 個(gè)數(shù) c1, c2, , cn 組成的列向量 代入后, 方程組中每個(gè)方程都變成恒等式. (c1, c2, , cn )T, 當(dāng)未知量 x1, x2, , xn 分別用c1, c2, , cn 用 W 表示線性方程組的全部解的

2、集合.若 W , 則稱該方程組為相容的或有解.若 W , 則稱該方程組為不相容的或矛盾的或無(wú)解. 若 W 只含一個(gè)元素, 則稱該方程組有唯一解. W 中任何一個(gè)元素, 稱為該方程組的一個(gè)特解;W 中全部元素的一個(gè)通項(xiàng)表達(dá)式稱為該方程組的 通解或一般解. 定義2.18稱下列三種變換為線性方程組的初等變換:(1)互換兩個(gè)方程的位置; (2)用一非零的數(shù)乘某一方程； (3)把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程. 線性方程組的初等變換總把線性方程組化為與其同解的線性方程組. 對(duì)線性方程組實(shí)施初等變換等價(jià)于對(duì)增廣矩陣進(jìn)行進(jìn)行相應(yīng)的初等行變換.定理2.6 線性方程組 Amn x b .() 無(wú)解的充要條件是 r

3、ank A rankA b; () 有唯一解的充要條件是 rank A rankA b n ; () 有無(wú)限多解的充要條件是 rank A rankA b n . 證 只需證明這三個(gè)結(jié)論的充分性, 二、線性方程組解的判定條件 設(shè) rank A r, 因?yàn)橐粋€(gè)結(jié)論的 必要性可以由其他兩個(gè)結(jié)論的充分性推出. 不妨設(shè) 的最簡(jiǎn)行階梯形為 () 若 rank A rankA b, 則中的中的第 r 1個(gè)方程為矛盾方程 0 1, 方程組無(wú)解. 于是() 若 rank A rankA b r n, 則中的且 bij 不存在,于是對(duì)應(yīng)的方程組為原方程組有唯一解. () 若 rank A rankA b r n

4、 , 則中的于是對(duì)應(yīng)的方程組為可得方程 令自由未知量組的含 n r 個(gè)參數(shù)的解 這就是原方程組的通解. 故原方程組有無(wú)窮多個(gè)解. 因c1, c2, , cnr 可任意取值, 定理2.6 非齊次線性方程組 Amn x b .() 無(wú)解的充要條件是 rank A rankA b; () 有唯一解的充要條件是 rank A rankA b n ; () 有無(wú)限多解的充要條件是 rank A rankA b n . 二、線性方程組解的判定條件 推論 齊次線性方程組 Amn x 0 有非零解的充要條件是 rank A n .定理2.7 矩陣方程 AX B 有解的充要條件是 rank A rankA B

5、.推論 矩陣方程 Amn Xnl 0 有非零解的充要條件是 rank A n .(1) 消元和有解判斷: 若對(duì)應(yīng)的行階梯形方程組不出現(xiàn)矛盾方程, 把方程組的增廣矩陣化為行階 梯形矩陣, 三、線性方程組的解法 則方程組有解, (2) 回代:(3) 把最簡(jiǎn)行階梯形還原為同解方程組, 求出通解. 若有解, 則將行階梯形化為最簡(jiǎn)行階梯形. 對(duì)于齊次方程組, 可相應(yīng)地在系數(shù)矩陣上進(jìn)行類似的操作.否則無(wú)解. 求解線性方程組的步驟：例2.29 用Gauss消元法解方程組 例2.30 解線性方程組 例2.31 解線性方程組 例2.32 求解齊次線性方程組 例2.33 求解矩陣方程 對(duì)應(yīng)的兩個(gè)方程組為 分別令 x41 k, x42 l, 得 1. 線性方程組的基本概念2. 線性方程組解的判定條件線性方程組 Ax b 有解當(dāng)且僅當(dāng) rank A rankA b.矩陣方程 AX B 有解當(dāng)且僅當(dāng)