2018屆高三數(shù)學理一輪復習求空間角及應用考點專練十二

1、向量法求空間角及應用難度：中(不必說明畫法和理由EHGF 如下圖EH EM26，所以 AH10向量法求空間角及應用難度：中(不必說明畫法和理由EHGF 如下圖EH EM26，所以 AH10DA的方向為|nAF| 5 15優(yōu)選-題型：解答題)；2D-xyz，那板塊命題點專練十二命題點命題指數(shù)：1(2015 全國卷 )如圖，長方體 ABCD -A1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，點E，F(xiàn) 分別在 A1B1，D1C1上，A1ED1F4過點 E，F(xiàn) 的平面 與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形(1)在圖中畫出這個正方形(2)求直線 AF 與平面 所成角的正弦值解：(1)交線圍成的正方形

2、(2)作 EMAB，垂足為 M，那么 AMA1E4，EMAA18因為四邊形 EHGF 為正方形，所以 EHEFBC10于是 MH以 D 為坐標原點， x 軸正方向，建立如下圖的空間直角坐標系么 A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(xiàn)(0,4,8)，F(xiàn)E(10,0,0)，HE(0，6,8)設 n(x，y，z)是平面 EHGF 的法向量，那么 錯誤!即錯誤!所以可取 n(0,4,3)又AF(10,4,8)，故|cosn，AF| 4 |n|AF |. 4 515AB，AD，AP 兩兩垂直AB的方向為4 515AB，AD，AP 兩兩垂直AB的方向為0， ， 0， ，2AC3m

3、優(yōu)選-3 1 3 12 2 2所以 AF 與平面 EHGF 所成角的正弦值為 2(2014 全國卷 )如圖，四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 為矩形， PA平面 ABCD，E為 PD 的中點(1)證明：PB平面 AEC；(2)設二面角 D AE-C為 60，AP1，AD 3，求三棱錐 E-ACD 的體積解：(1)證明：連接 BD 交 AC 于點 O，連接 EO因為平面 ABCD 為矩形，所以 O 為 BD 的中點又 E為 PD 的中點，所以 EOPB因為 EO? 平面 AEC，PB?平面 AEC，所以 PB平面AEC(2)因為 PA平面ABCD，平面 ABCD 為矩形，所以如圖，以 A

4、 為坐標原點， x 軸的正方向， |AP|為單位長，建立空間直角坐標系 A-xyz，那么 D(0， 3，0)，E ，AE 設 B(m,0,0)(m0)，那么 C(m， 3，0)， (m， 3，0)設 n1(x，y，z)為平面 ACE 的法向量，那么錯誤!即錯誤!可取 n1 ，1， 3 又 n2(1,0,0)為平面 DAE 的法向量，由題設 |cosn1，n2|12，. 3E-ACD 的高為1 32 3E-ACD 的高為1 32 8AC 是下底面圓 O的直優(yōu)選-1 m32122，解得即34m2因為 E為 PD 的中點，所以三棱錐三棱錐 E-ACD 的體積 V13 33212 3(2016 XX

5、高考)在如下圖的圓臺中，徑，EF 是上底面圓 O的直徑， FB 是圓臺的一條母線(1)G，H 分別為 EC，F(xiàn)B 的中點，求證： GH平面 ABC；(2)EFFB12AC2 3，ABBC，求二面角 F-BC-A 的余弦值解：(1)證明：設 CF 的中點為 I，連接 GI，HI在CEF 中，因為點 G，I 分別是 CE，CF 的中點，所以 GIEF又 EFOB，所以 GIOB在CFB 中，因為 H，I 分別是 FB，CF 的中點，所以 HIBC又 HIGII，BCOBB，所以平面 GHI 平面ABC因為 GH? 平面 GHI ，所以 GH平面ABC(2)法一： 連接 OO，那么 OO平面ABC.

6、 O-xyzFB2BM 3，可得 F(0， 3，3)3，3)m O-xyzFB2BM 3，可得 F(0， 3，3)3，3)m 1，1， n(0,0,1)，mn 7|m| |n| 777FB BM 3優(yōu)選-2332 2又 ABBC，且 AC 是圓 O 的直徑，所以 BOAC以 O為坐標原點，建立如下圖的空間直角坐標系由題意得 B(0,2 3，0)，C(2 3，0,0)過點 F 作 FMOB 于點 M，所以 FM故BC(2 3，2 3，0)，BF(0，設 m(x，y，z)是平面 BCF 的法向量由錯誤!可得錯誤!可得平面 BCF 的一個法向量因為平面 ABC 的一個法向量所以 cosm，n ，所以

7、二面角 F-BC-A的余弦值為 法二： 如圖，連接 OO，過點 F 作FM OB于點 M，那么有 FMOO又 OO平面ABC，所以 FM平面ABC，可得 FM過點 M 作 MNBC 于點 N，連接 FN，可得 FNBC，從而FNM 為二面角 F-BC-A的平面角又 ABBC，AC 是圓 O的直徑，. 6242 72 777，BA，x 6242 72 777，BA，x 軸，y 軸，z 軸的正方向建立空間直角坐標系，依題意可得AD(2,0,0)，AF(1，EGn10OA優(yōu)選-EF(1,1,0)，CF(所以 MNBMsin 45 從而 FN ，可得 cosFNM 所以二面角 F-BC-A的余弦值為

8、4(2016 XX 高考)如圖，正方形 ABCD 的中心為 O，四邊形 OBEF 為矩形，平面 OBEF 平面 ABCD，點 G 為 AB 的中點， ABBE2(1)求證：EG平面 ADF；(2)求二面角 O-EF-C的正弦值；(3)設 H 為線段 AF 上的點， 且 AH23HF，求直線 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值解：依題意， OF平面ABCD，如圖，以 O 為原點，分別以 ADOF的方向為O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，1，0)，C(1，1，0)，D(1,1,0)，E(1，1,2)，F(xiàn)(0,0,2)，G(1,0，0)(1)證明： 依題意， 1,2)設 n1(x1，y1

9、，z1)為平面 ADF 的法向量，那么錯誤!即錯誤!不妨取 z11，可得 n1(0,2,1)又EG(0,1，2)，可得又因為直線 EG?平面 ADF，所以 EG平面ADF(2)易證 (1,1,0)為平面 OEF 的一個法向量，依題意，1,1,2)設 n2(x2，y2，z2)為平面 CEF 的法向量，那么 錯誤!即錯誤!不妨取 x21，可得 n2(1，1,1). OAn2 6 333O-EF-C的正弦值為 2 2 OAn2 6 333O-EF-C的正弦值為 2 2 AF3HF 5AF，3 45，5BH 2 8 45，5，5BHn2 7 2172110AE CFADCD，AB2AO24OHDO優(yōu)選

10、-33AH AF25因此有 cosOA，n2 ，|OA | |n2|于是 sinOA，n2 所以，二面角(3)由 AH ，得 AH 因為 (1， 1,2)，所以2，2 45 5，5進而有 H 35， ，從而 因此 cosBH，n2 |BH | |n2|所以直線 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值為5(2016 全國甲卷 )如圖，菱形 ABCD 的對角線 AC 與 BD 交于點 O，AB5，AC6，點 E，F(xiàn) 分別在 AD，CD 上，AECF54，EF 交 BD 于點 H將DEF 沿 EF 折到 DEF 的位置， OD(1)證明：DH平面 ABCD；(2)求二面角 B-DA-C的正弦值解：(1)證明：由得 ACBD，ADCD又由 AECF，得故 ACEF因此 EFHD，從而 EFDH由 AB5，AC6，得 DOBO由 EFAC，得 AEAD14所以 OH1，DHDH3于是 DH2OH2321210DO2，故 DHOH. H-xyz，y1，z1)是平面 ABD的法向量，ACDH-xyz，y1，z1)是平面 ABD的法向量，ACD的法向量，mn 7 5|m|n| 252 95252 9525優(yōu)選-1450 10又 DHEF，而 OHEFH，所以 DH平面ABCD(2)如圖，以 H 為坐標原點， HF的方向為 x 軸正方向， 建立空間直角坐標系那么 H(0,0,0)，A(