復(fù)變函數(shù)與積分變換試題及答案1

1、僅供個(gè)人參考僅供個(gè)人參考不得用于商業(yè)用途不得用于商業(yè)用途西安建筑科技大學(xué)考試試卷考試科目： 復(fù)變函數(shù)與積分變換(A卷)共5課程編碼：考試時(shí)間：專業(yè)班級(jí)：應(yīng)用數(shù)學(xué)06學(xué)號(hào)：學(xué)生姓名：總成績總成績題 號(hào)成績閱卷人1234（每題3 分）31.13i的三角表達(dá)形式：；指數(shù)表達(dá)形式：；幾何表達(dá)形式：.2(3)2i ；設(shè)M Max | f(z)| zC,L 為曲線C的長度，則f(z)dz .C級(jí)數(shù)1 z z2 zn 的和函數(shù)的解析域是。是。二、 判斷正確與錯(cuò)誤（畫對(duì)錯(cuò)號(hào)，每題 3 分）1因?yàn)閨sin z1所以在復(fù)平面上sin z有界。（）2若函數(shù)f在z 處解析則f (n) (z)也在z 解析。（）00如果

2、u(xyvxy的偏導(dǎo)數(shù)存在那么f(z)+iv可導(dǎo)。（）在 z處可導(dǎo)的函數(shù)，一定可以在 z的鄰域內(nèi)展開成羅朗級(jí)數(shù)。oo（）解析函數(shù)構(gòu)成的保形映照具有保圓性（）三、解答題（每題 8 分）1設(shè) f (z) xy2 i x2 y ，則 f (z) 在何處可導(dǎo)？何處解析？2 f（z ）v(xy) 1x2 122y2 f (z) uiv且f(00.求積分 I zdz,C 為沿單位圓(|z1)的逆時(shí)針一周的曲線。C求Csinzdz，其中C 為|z|2。z(z 1)求ezdz，其中C 為| z|2。cos zC把函數(shù)1(z21)(z在1 | z | 2 內(nèi)展開成羅朗級(jí)數(shù)。f (z) z sinzz6在有限復(fù)平

3、面上的孤立奇點(diǎn)及類型，并求奇點(diǎn)處的留數(shù)。| z | 1 | w | 1 且滿足( ) arg ( ( ) arg ( ) 的分式線性映照。222四、利用拉氏變換求解微分方程（6 分）y4y3y et（：1）y(0) y(0) 1提示t s 1試題答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)3（每題3 分）31.1i 2cos( 2k)isin(2k);指數(shù)表達(dá)形式：333；2e( 2 2k )i3；幾何表達(dá)形式：|13i| 2,Arg(13i)( 2k).32(3)2i e22k 2ln3 i ；設(shè)M Max | f(z)| zC,L為曲線C的長度，則f (z)dz ML .C級(jí)數(shù)1 z z2 zn的和函數(shù)的解析域是|z|

4、1。分式線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的映照特點(diǎn)各是：保圓性、保對(duì)稱性域；角帶形域到角形域。二、 判斷正確與錯(cuò)誤（畫對(duì)錯(cuò)號(hào)，每題 3 分）1因?yàn)閨sin z 1，所以在復(fù)平面上sin z有界。（）2z在 z0(n)(z) 也在 z0解析。（）如果u(x,y)，v(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)存在，那么f(z)=u+iv 可導(dǎo)。（）zo處可導(dǎo)的函數(shù)，一定可以在 zo的鄰域內(nèi)展開成羅朗級(jí)數(shù)。 （）解析函數(shù)構(gòu)成的保形映照具有保圓性（）三、解答題（每題 8 分）f(z) xy2 ix2yf (z在何處可導(dǎo)？何處解析？u xy2 , v x2 y處處可微,(2分)uvuv y2 , y x2 , 2xy, 2xy,C

5、方程僅在(0,0)處成立,(4 分)f (z)(0,0)分)f（z）的虛部為v(x, y) 1 x2 122y 2 f (zuiv,f (0)0u v y, u x,(4 分)xyyxu xy c(2分)解 ： f (0) 01在(0,0)處可導(dǎo),處處不解析.1f (z) xyi(x2 y2).(2)2求積分 I zdz,C 為沿單位圓(|z|1)的逆時(shí)針一周的曲線。Cz ei (0 2), dz iei d,則(4分)解：設(shè) I 2 e ie d(3分) 2i(1分)ii0求sinzz(z 1)d z ，其中C 為| z | 2 。Csin zz(z 1)d zC解：sin zz(z 1)d

6、 zC解：z(z 1),0 Re s sin zz(z 1),1(4分) 2i sin z2z 1|zz 2z|(2 )z 1 2i sin1(2分)求ezdz，其中C為| z|2coszCezcosd zC , ezcosd zC , 解：coszeeReez,(4cosz2 2i 2 12 (2分)12 2i(e 2e 2 )(2分)把函數(shù)1(z21)(z在1 | z | 2 內(nèi)展開成羅朗級(jí)數(shù)。1(z2 1)(z 2) 1 z 2 分)5 z 2z2 1解： 111 (z2)1(2分)152 1z12z2(1)1z21 ( ) 11z n ( ( ) (2分)521 n0zn2z2n01z

7、2n2 (1)n(1)n分)5n02n1n0z2n1n0z2n2指出 f (z zsinzz6在有限復(fù)平面上的孤立奇點(diǎn)及類型，并求奇點(diǎn)處的留數(shù)。f (z)zsinz6的孤立奇點(diǎn)z=0,(2分)f (z1 (zzz3 z5 z7 )z63!5!7!z=0為f (z)的三階極點(diǎn),(2分)Res f (z),0 1 .(4分)5!| z | 1 | w | 1 內(nèi)， 且滿足( ) ( ) 1的分式線性映照。arg (arg ( ) 解：設(shè)分式線性映照為z 1ww|2 (4分)z 12z 1 1(z 1)111222 | 4111z2 分2z)22z32i2z分2z四、利用拉氏變換求解微分方程（6 分

8、）y4y3y et（：1）y(0) y(0) 1提示t s 11解：方程兩邊同時(shí)施加拉普拉斯變換，并代入初始條件得1S2Y(s)Sy(0)y(0)4SY(s)y(0)3Y(s),s 11(S24S3)Y(ss5,(4分)1s 1s2 6s6Y(s),17(S2 4S3)(s17y(t) tet et e3t(2 分 ) 244僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fr den persnlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziel