例說(shuō)借助導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式人教版

1、例說(shuō)借助導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式用導(dǎo)數(shù)證明不等式是一種重要方法，其主要思想是結(jié)構(gòu)協(xié)助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)變成利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單一性或求最值，從而證得不等式；而如何結(jié)構(gòu)協(xié)助函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式的要點(diǎn)，下面舉例說(shuō)明。一、直接作差結(jié)構(gòu)函數(shù)例1：求證不等式x2ln(1x)xx2)等建立。x2在x(0,2(1x)證明：令f(x)ln(1x)(xx2),補(bǔ)充定義f(0)=0.2f(x)11xx2101xxyf(x)在0，）上單一遞加。當(dāng)x，）時(shí)，f(x)恒建立ln(1x)x2(1)2令g(x)xx2ln(1x),補(bǔ)充定義g（0）0，則2(1x)g(x)14x24x-2x2-12x204(1x)21x4

2、(1x)2g(x)在)上單一遞加。0,當(dāng)x，）時(shí)，xx2-ln(1x)恒建立。（）2(1x)故由（1）、（2）可知，x(0,)時(shí)，不等式xx2ln(1x)x-x2建立22(1x)議論：一般的，用導(dǎo)數(shù)證明不等式時(shí)要注意所結(jié)構(gòu)的函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處能否連續(xù)，即能否要補(bǔ)充函數(shù)在端點(diǎn)處的定義；其他要注意用到一個(gè)結(jié)論：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,+)上連續(xù)，在區(qū)間(a,+)內(nèi)可導(dǎo)，且f()0;又f()0,則xa時(shí)，f(x)0。xa例2：，證明不等式：log2x(1x)log2(1x)1；證明：（1）對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)數(shù)：()(log)(1)log(1)fxx2xx2xlog2xlog2(1x)11.log2xl

3、og2(1x).1)ln2ln2于是f(0.2當(dāng)x1時(shí),f(x)log2x2當(dāng)x1時(shí),f(x)log2x21因此f(x)在x時(shí)獲取最小值，2log2(1x)0,f(x)在區(qū)間(0,1)是減函數(shù)，2log2(1x)0,f(x)在區(qū)間(1,1)是增函數(shù).f(1)212議論：.若f(x)，g(x)差函數(shù)為非單一其差有極大值或極小值，用導(dǎo)函數(shù)求其極大值、極小值，從而證明不等式。二、依照題目自己特點(diǎn)結(jié)構(gòu)函數(shù)1、變形（代換、比商等）后再作差結(jié)構(gòu)函數(shù)例3，若x(0,),求證x1lnx111xx證明：令11t,x0，t1,x1.xt-1則原不等式11lntt-1，令f(t)t1lnt，f(t)11ttt(1,

4、),f(t)0,f(t)在t(1,)上為增函數(shù)。f(t)f(1)0,t1lnt.令g(t)lnt11,g(t)11t1,ttt2t2t(1,),g(t)0,g()在t(1,)上為增函數(shù)。tg(t)g(1)0,lnt11,t1x11x1ln.xx1議論：(1)代換作用：本題設(shè)代換xt1,0 x值代換為可取到的t=1,把原來(lái)要研究函數(shù)在x實(shí)質(zhì)上就是把原來(lái)取不到的x=0處的值，等價(jià)為研究函數(shù)在t=1處的值；1則ln(1111x1(2)若令tx)即為例（21）之特例，想一想ln如何證？xxx1x2、用分別變量的思想結(jié)構(gòu)函數(shù)例4若e,證明證明：原題等價(jià)于lnln,設(shè)f(x)lnx,x當(dāng)xe時(shí)，f(x)1lnx0,當(dāng)xe時(shí)，f(x)單一遞減，x2lnln.e,即lnln說(shuō)明：本題結(jié)構(gòu)的方式不是直接作差或作商，而是依照題目的特點(diǎn)先用分別變量的方式將兩個(gè)變量分別變形到式子的兩邊再結(jié)構(gòu)函數(shù)。3、端點(diǎn)變量法結(jié)構(gòu)函數(shù)例5若g(x)=xlnx,0b,則0g(a)+g(b)-2g(ab)F(a)=0,xxax)(axb).即00時(shí)，G(x)0,即當(dāng)x0時(shí)，G(x)是減函數(shù)，g(b)G(a)=0,即g(a)+g(b)-2g(ab)(b-a)ln2.2議論：一般的利用協(xié)助函數(shù)證明