第二章信號與系統(tǒng)的時域分析第一講

1、第二章 信號與系統(tǒng)的時域分析信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)1Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 20102.0 引言基本思路:對LTI系統(tǒng),由于其具有疊加性、齊次性、時不變性；因此,如能實現(xiàn)將任意信號在時域分解為簡單單元信號的線性組合,那么只要得到LTI系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)，就可以利用系統(tǒng)的線性特性，將系統(tǒng)的輸出響應(yīng)表示成系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)的線性組合。即: 則由系統(tǒng)的線性特性有: 其中: 信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)2Signals and Systems All Rights Reserved by Stone,

2、 2010對單元信號的要求：本身要簡單能夠構(gòu)成相當廣泛的一類信號,具有普遍性系統(tǒng)對單元信號的響應(yīng)易于求得.信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)3Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2010問題的實質(zhì)：研究信號的分解：即以什么樣的信號作為構(gòu)成任意信號的基本信號單元，如何用基本信號單元的線性組合來構(gòu)成任意信號；如何得到LTI系統(tǒng)對基本單元信號的響應(yīng)和對任意信號的響應(yīng)。 信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)4Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2010本章的內(nèi)容:用(t)表

3、示連續(xù)時間信號x(t), 用卷積積分求得響應(yīng);用n表示離散時間信號xn, 用卷積和求得響應(yīng); 在信號進行時域分解的的情況下, 研究系統(tǒng)的性質(zhì);信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)5Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 20102.1 信號的時域分解1. 用(t)表示連續(xù)時間信號將x(t)用一系列的矩形脈沖近似:單位矩形脈沖定義:0t0t信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)6Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2010第 個矩形階梯可表示為： 這些迭加起來就成為階梯形信號

4、 ，即：信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)7Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2010當 時， ， ，于是： 時，表明：任何連續(xù)時間信號 都可以被分解為無數(shù)多個移位加權(quán)的單位沖激信號的線性組合。 信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)8Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 20102.1 信號的時域分解 1.用(t)表示連續(xù)時間信號 結(jié)論:以上討論表明,任何連續(xù)時間信號可以分解成無數(shù)多個移位、加權(quán)的單位沖激之和,解決了連續(xù)時間信號時域分解的問題. 2.用n表示離散時間

5、信號 可以由 線性組合構(gòu)成即：對任何離散時間信號 ，如果每次從其中取出一個點，就可以將整個信號拆開來，每次取出的一個點都可以表示為不同加權(quán)、不同位置的單位脈沖。 信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)9Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2010信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)10Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2010于是有：表明：任何信號 都可以被分解成移位加權(quán) 的單位脈沖信號的線性組合。信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)11Signals and Sys

6、tems All Rights Reserved by Stone, 20102.2 連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的時域分析 1. 卷積積分單位沖激響應(yīng):單位沖激響應(yīng)h(t)的定義: LTI系統(tǒng)對(t)的響應(yīng) LTI (t)h(t)信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)12Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 20102.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的時域分析 結(jié)論：只要知道了系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)，就可以求得系統(tǒng)對任何x(t)所產(chǎn)生的響應(yīng)y(t), 這表明:系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)可以完全表征一個LTI系統(tǒng)。信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)

7、13Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 20102.卷積積分的求法(1)解析法: 如果信號可以寫成解析式,可用卷記積分的公式來做。例: 運算過程的實質(zhì): 參與卷積的兩個信號中，一個不動，另一個反轉(zhuǎn)后隨參變量t移動。對每一個t的值，將 和 對應(yīng)相乘，再計算相乘后曲線所包圍的面積。積分上下限的確定具有重要意義 通過圖形幫助確定積分區(qū)間和積分上下限是很有用的。 信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)14Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2010(2) 圖解法:注: 卷積的過

8、程包括反轉(zhuǎn),平移,相乘,積分,(如下圖所示),關(guān)鍵是確定參變量t在不同區(qū)間積分的的上下限.信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)15Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2010例:T-TTT求y(t)=?t-TtT-Tt-TtT-Tt-TtT-T信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)16Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2010t-TtT-Tt-TtT-Tt-TtT-T例:T-TTT求y(t)=?信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)17Signals and Syste

9、ms All Rights Reserved by Stone, 20103. 卷積的性質(zhì)(1)交換律: 一個單位沖激響應(yīng)是 的LTI系統(tǒng)對輸入信號 所產(chǎn)生的響應(yīng)，與一個單位沖激響應(yīng)是 的LTI系統(tǒng)對輸入信號 所產(chǎn)生的響應(yīng)相同。二個LTI系統(tǒng)級聯(lián)可以交換級聯(lián)次序 y(t)y(t)信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)18Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 20103. 卷積的性質(zhì)(2) 結(jié)合律: 從系統(tǒng)的觀點解釋： 一個系統(tǒng)是由若干LTI系統(tǒng)級聯(lián)所構(gòu)成，則系統(tǒng)總的單位沖激響應(yīng)等于各個LTI子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的卷積. h1(t) h2

10、(t) w(t)y(t)y(t)信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)19Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 20103. 卷積的性質(zhì):(3)分配率: 一個系統(tǒng)有若干LTI系統(tǒng)的并聯(lián)構(gòu)成，則系統(tǒng)總的單位沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)之和。 y(t) +y(t)信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)20Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2010產(chǎn)生以上結(jié)論的前提條件：系統(tǒng)必須是LTI系統(tǒng)；所有涉及到的卷積運算必須收斂。如：平方乘2若交換級聯(lián)次序，即：乘2平方顯然是不等價

11、的。信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)21Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 20103.卷積的性質(zhì)(4)微分:如果 (5)積分: 與(t)的卷積: 單位沖激響應(yīng)等于(t)的系統(tǒng)是恒等系統(tǒng) 信號平移: 信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)22Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2010恰當?shù)乩镁矸e的性質(zhì)可以簡化卷積的計算：信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)23Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 20

12、10例2: 已知如果用圖解法做:信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)24Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2010 當 時， 當 時， 當 時， 當 時， 當 時，信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)25Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2010將 微分一次，得：1信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)26Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2010信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)27Signals

13、 and Systems All Rights Reserved by Stone, 20102.3 離散時間信號LTI系統(tǒng)的時域分析1. 卷積和單位脈沖響應(yīng):單位脈沖響應(yīng)hn的定義: LTI系統(tǒng)對n的響應(yīng)如果xn可表示為移位加權(quán)的單位脈沖之和： LTI nhn信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)28Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 20102.3離散時間信號LTI系統(tǒng)的時域分析結(jié)論：只要知道了系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)hn，就可以求得系統(tǒng)對任何xn所產(chǎn)生的響應(yīng)yn, 也即LTI系統(tǒng)對任何輸入信號xn的響應(yīng), 可以用系統(tǒng)對單位脈沖響應(yīng)來

14、決定, 因而可以預(yù)言, hn將可以完全刻畫一個LTI系統(tǒng)的特性 2.卷積和的求法(1) 解析法: 如果信號可以寫成解析式, 可用卷積和的公式做。例1 ： 信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)29Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2010.注: 求和的上、下限的確定具有重要意義.信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)30Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 20102.3離散時間信號LTI系統(tǒng)的時域分析(2) 圖解法:注: 過程包括反轉(zhuǎn), 平移, 相乘, 求和；關(guān)鍵是確定

15、參變量n在不同區(qū)間求和的上下限。例2： 信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)31Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 20101 2 3 40 xn01 2 3 4 5 6hn0 n-6 nhn-k n-6 n n-6 n n-6 n信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)32Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2010 時， 時， 時， 時， 時，信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)33Signals and Systems All Rights Reserved by

16、Stone, 2010通過圖形正確確定反轉(zhuǎn)移位信號的區(qū)間表示，對于確定卷積和計算的區(qū)段及各區(qū)段求和的上下限是很有用的。 (3) 列表法分析卷積和的過程，可以發(fā)現(xiàn)： 與 所有的各點都要遍乘一次； 在遍乘后，各點相加時，根據(jù) ，參與相加的各點都具有 與 的分量相乘為特點。 信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)34Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2010優(yōu)點：缺點：計算非常簡單。 只適用于兩個有限長序列的卷積和； 一般情況下，無法寫出 的表達式。信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)35Signals and Systems All

17、Rights Reserved by Stone, 2010(4) 有限長序列的卷積法:兩個有限長序列的卷積和,利用單位脈沖序列的卷積特性,可以方便的求得:例:信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)36Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 20103. 卷積和的性質(zhì)與連續(xù)時間卷積性質(zhì)相同,滿足交換率、結(jié)合率、分配率; 從系統(tǒng)的觀點作出的解釋也相同;條件限制也相同: 只適合于LTI系統(tǒng); 所涉及到的各個卷積和運算都應(yīng)該收斂;例1: 是非線性系統(tǒng)，其單位脈沖響應(yīng)是： 是一個LTI系統(tǒng)，其單位脈沖響應(yīng)是： 以不能排除非線性系統(tǒng)或時變系統(tǒng)具有和一個LTI系統(tǒng)相同的單位脈沖響應(yīng)，不同的是，非線性系統(tǒng)或時變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)不一定可以完全刻畫系統(tǒng)的特性。 信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學(xué)37Signals and Systems All Rights Reserved by S