不等式同步講義-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊(cè)

1、第3講不等式模塊1 不等式的性質(zhì)一、知識(shí)梳理1不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對(duì)稱(chēng)性abbb，bcac可加性abacbc對(duì)乘性eq blc rc(avs4alco1(ab,c0)acbc注意c的符號(hào)eq blc rc(avs4alco1(ab,c0)acb,cd)acbd同向同正可乘性eq blc rc(avs4alco1(ab0,cd0)acbd可乘方性ab0anbn(nN，n1)a，b同為正數(shù)可開(kāi)方性ab0eq r(n,a)eq r(n,b)(nN，n2)2兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法eq blc(avs4alco1(ab0ab,ab0ab（a，bR）,ab0a1ab,f(a,b

2、)1ab（aR，b0）,f(a,b)1ab，ab0eq f(1,a)eq f(1,b)；a0beq f(1,a)b0，0ceq f(b,d)；0axb或axb0eq f(1,b)eq f(1,x)b0，m0，則eq f(b,a)eq f(bm,am)(bm0)；eq f(a,b)eq f(am,bm)；eq f(a,b)0)二、精講講練考點(diǎn) 1：教材知識(shí)衍化例 1若a，b都是實(shí)數(shù)，則“eq r(a)eq r(b)0”是“a2b20”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件例 2已知abc且abc0，則下列不等式恒成立的是()Aa2b2c2 Ba|b|c|b|Cb

3、aca Dcacb例 3比較eq f(1,r(5)2)和eq f(1,r(6)r(5)的大小例4 已知1x4，2y3，則xy的取值范圍是_，3x2y的取值范圍是_例5 若13，42，則|的取值范圍是_例6 若6a10，eq f(a,2)b2a，cab，則c的取值范圍是()A9，18 B(15，30) C9，30 D(9，30)例7若m0且mn0，則下列不等式中成立的是()Anmnm BnmmnCmnmn Dmnn0b，則下列不等式一定成立的是()Aa2ab B|a|eq f(1,b) Deq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(a)eq blc(rc)(avs4a

4、lco1(f(1,2)eq sup12(b)模塊2 基本不等式一、知識(shí)梳理1基本不等式eq r(ab)eq f(ab,2)（ a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq f(ab,2)，幾何平均數(shù)為eq r(ab)）(1)基本不等式成立的條件：a0，b0(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)2幾個(gè)重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)eq f(b,a)eq f(a,b)2(a，b同號(hào))(3)abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)eq sup12(2)(a，bR)(4)eq f(a2b2,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)eq sup12(2)(a，

5、bR)以上不等式等號(hào)成立的條件均為ab.3.最值已知x 0，y 0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值是2eq r(p).(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值是eq f(p2,4).(簡(jiǎn)記：和定積最大)4.利用基本不等式求最值的條件（1）“一正”：即求最值的兩式必須都是正數(shù)（2）“二定”：要求和 a+b 的最小值，則乘積 ab 須是定值；要求乘積 ab 的最大值，則和 a+b 須是定值（3）“三相等”：只有滿(mǎn)足不等式中等號(hào)成立的條件，才能使式子取到最大或最小值（4）“四同時(shí)”：多次使用基本不等式時(shí)，需同時(shí)滿(mǎn)足每個(gè)等號(hào)成立的條件

6、二、精講講練考點(diǎn) 1：教材衍化例 1 若 a,bR，且 ab 0，則下列不等式中，恒成立的是 ()Aa2b2 2ab B. eq f(b,a)eq f(a,b)2C. a+b 2eq r(ab) Deq f(1,a)eq f(1,b)1ab例 2 （1）已知 a 0，b 0，且a2b2 = 1，則 ab 的最大值為 _ （2）已知 a 0，b 0，且 a+b = 2，則 a2b2的最小值為_(kāi).考點(diǎn) 2：直接求最值例 3 若 x 0，則 6x+1+ 12xA. 2 3 B. 2 3 +1 C. 5 D. 3+3例 4 若 0 x 1，則 y = 1x+ 41x （2）當(dāng) x 1，則 y = x+

7、 4x（2）設(shè)x 0，則函數(shù)yxeq f(2,2x1)eq f(3,2)的最小值為_(kāi)例 7 提示：化成同系數(shù)（1）若12 x 23，則代數(shù)式 (2x1)(23x) 的最大值為 _（2）若 0 x 0， 3b + 4a =（2）已知 m 0,n 0,2m+n = 4，則1m + 2n的最小值是_（3）設(shè) a 0，b 1，若 a+b = 2，則 3a + 1方法總結(jié)：已知 ax + by = c，求 dx + ey 的最小值；或者已知 dx + ey = c，求 ax + by 的最小值（a,b, c,d, e 為正常數(shù)， x, y 0） 對(duì)于上述問(wèn)題，我們可以轉(zhuǎn)化為求 1c (ax+by) ( dx + 考點(diǎn) 5：和積互化 (備注：二次不等式學(xué)完后再做)例 8 （1）若正實(shí)數(shù) x、y 滿(mǎn)足 2x+y+6 = xy，則 xy 的最小值是_（2）若 x 0，