2023年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)復(fù)習(xí)-平面向量的應(yīng)用（解析版）

1、高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)復(fù)習(xí)平面向量的應(yīng)用考法一、 平面向量與四心例1、已知的三個(gè)內(nèi)角分別為，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的（ ）A重心B垂心C內(nèi)心D外心答案：A解析：在中，令線段BC的中點(diǎn)為M，由正弦定理得：，由得：，即，而，則，于是得與同向共線，而它們有公共起點(diǎn)，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是射線AM(除A點(diǎn)外)，又重心在線段AM上，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的重心.故選：A例2、是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則的軌跡一定通過(guò)的（ ）A外心B垂心C內(nèi)心D重心答案：D解析：令為的中點(diǎn)，則，于是有，點(diǎn)共線，即點(diǎn)的軌跡通過(guò)三角形的重心.故選：D例3、在中，是三角形的外心，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則=（ ）A16B8

2、C24D32答案：D解析：如圖，,因?yàn)?所以，又因?yàn)槭侨切蔚耐庑?，所?所以.故選：D跟蹤練習(xí)1、（多選）對(duì)于，其外心為，重心為，垂心為，則下列結(jié)論正確的是（ ）ABC向量與共線D過(guò)點(diǎn)的直線分別與、交于、兩點(diǎn)，若，則答案：BCD解析：A：為外心，則，僅當(dāng)時(shí)才有，錯(cuò)誤；B：由，又，故，正確；C：，即與垂直，又，所以與共線，正確；D：，又三點(diǎn)共線，則，故，正確.故選：BCD2、（多選）在所在平面內(nèi)有三點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A滿(mǎn)足，則點(diǎn)是的外心B滿(mǎn)足，則點(diǎn)是的重心C滿(mǎn)足，則點(diǎn)是的垂心D滿(mǎn)足，且，則為等邊三角形答案：ABCD解析：對(duì)于，因?yàn)?，所以點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以為的外心，故正確；

3、對(duì)于B，如圖所示，為的中點(diǎn)，由得：，所以，所以是的重心，故B正確；對(duì)于C，由得：，即，所以；同理可得：，所以點(diǎn)是的垂心，故C正確；對(duì)于D，由得：角的平分線垂直于，所以；由得：，所以，所以為等邊三角形，故D正確故選：ABCD3、（多選）已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列正確的是（ ）A若，則點(diǎn)在的中位線上B若，則為的重心C若，則為銳角三角形D若，則與的面積比為答案：ABD解析：對(duì)于A，設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，即，三點(diǎn)共線，又為的中位線，點(diǎn)在的中位線上，A正確；對(duì)于B，設(shè)中點(diǎn)為，由得：，又，在中線上，且，為的重心，B正確；對(duì)于C，與夾角為銳角，即為銳角，但此時(shí)有可能是直角或鈍角，故無(wú)法說(shuō)明為銳角三角形，C錯(cuò)誤

4、；對(duì)于D，為線段上靠近的三等分點(diǎn)，即，D正確.故選：ABD.4、（多選）點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，則以下說(shuō)法正確的有（ ）A已知平面向量、滿(mǎn)足，且，則是等邊三角形B若，則點(diǎn)為的垂心C若，則點(diǎn)為的外心D若，則點(diǎn)為的內(nèi)心答案：AC解析：選項(xiàng)A，平面向量、滿(mǎn)足，且，即，的夾角為，同理、的夾角也為，是等邊三角形，故A正確；選項(xiàng)B，向量，分別表示在邊和上的單位向量，設(shè)為和，則它們的差是向量，則當(dāng)，即時(shí)，點(diǎn)在的平分線上，同理由，知點(diǎn)在的平分線上，故為的內(nèi)心而不一定是垂心，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，是以，為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線，而是該平行四邊形的另一條對(duì)角線，表示對(duì)角線垂直，從而這個(gè)平行四邊形是菱形，即，同理有，于

5、是為的外心，故C正確；選項(xiàng)D，由得，即，同理可證，即點(diǎn)是的垂心而不一定時(shí)內(nèi)心，故D錯(cuò)誤故選：AC5、在中，點(diǎn)為的外心，則_.答案：18解析：因?yàn)辄c(diǎn)為的外心，取點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，所以.故答案為：6、在中，設(shè)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過(guò)的（ ）A垂心B內(nèi)心C重心D外心答案：D解析：設(shè)的中點(diǎn)是，即，所以，所以動(dòng)點(diǎn)在線段的中垂線上，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過(guò)的外心，故選：D.7、已知ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.ABC內(nèi)一點(diǎn)M滿(mǎn)足：，則M一定為ABC的（ ）A外心B重心C垂心D內(nèi)心答案：D解析：由題意可設(shè)，其中，分別為，方向上的單位向量，則，=.M在BAC的角分線上，同理M在ABC與ACB的角分線上

6、.M為ABC的內(nèi)心.故選：D.8、在中，若，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A是的外心B是的內(nèi)心C是的重心.D是的垂心答案：D解析：，同理由，得到，點(diǎn)是的三條高的交點(diǎn).故選：D9、已知ABC的重心為O，則向量（ ）ABCD答案：C解析：設(shè)分別是的中點(diǎn)，由于是三角形的重心，所以.故選：C考法二、平面向量與三角函數(shù)例1、如圖，角均以為始邊，終邊與單位圓分別交于，則（ ）ABCD答案：C解析：根據(jù)題意角均以為始邊，終邊與單位圓分別交于，則，則.故選：C例2、在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若則的形狀是（ ）A等腰三角形B等邊三角形C等腰直角三角形D鈍角三角形答案：B解析：因?yàn)?，所以所以，所以故為等邊三角?故選：

7、B.例3、在中，角，的對(duì)邊分別為，若，則邊上的中線長(zhǎng)的取值范圍是_答案：解析：設(shè)是中點(diǎn)，則，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立所以，故答案為：跟蹤練習(xí)1、在中，為的垂心，且滿(mǎn)足，則_.答案：解析：如圖所示，為的中點(diǎn)，不妨設(shè)，則.因?yàn)?，則，則，由此可得.故答案為：.2、已知中，邊上的高為2，H為上一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足，則的最小值是_答案：8解析：因?yàn)?，H為上一動(dòng)點(diǎn)，即B，H，C三點(diǎn)共線，由共點(diǎn)的三個(gè)向量，終點(diǎn)共線的充要條件得，中，邊上的高AD=2，如圖：令A(yù)B=c，AC=b，則，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)，取最小值8故答案為：83、已知向量，則的值是（ ）ABCD答案：A解析：因?yàn)橄蛄?，即故選：A

8、4、在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，且，設(shè)是的中點(diǎn)，若，則面積的最大值是（ ）ABCD答案：A解析：所以，由余弦定理可知：，因此有，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以有，平方得：，因?yàn)?，所以，故選：A.5、（多選）已知點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，角的終邊分別與以為圓心的單位圓交于兩點(diǎn)，若為第四象限角，且，則（ ）AB當(dāng)時(shí)，C最大值為D當(dāng)時(shí)，答案：CD解析：易知，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)誤；由于，故過(guò)原點(diǎn)時(shí)，最大且最大值為，故C正確；因?yàn)?，且為第四象限角，所?，即，故D正確.故選：.6、已知（1）若，求的值；（2）設(shè)，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線，保持上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到的圖像，且

9、關(guān)于的方程在上有解，求的取值范圍答案：（1）；（2）.解析：(1)因，且，則有，即，于是得，所以的值是；(2)依題意，因，則，有，于是得，因方程在上有解，即在上有解，則，所以的取值范圍是.7、己知，.（1）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)，關(guān)于的方程在上有解，求m的取值范圍.答案：（1），；（2）.解析：（1）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），可得由，得：，的單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）依題意，不等式在有解，設(shè)，令，則，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.

10、8、已知向量，.（1）若，且，求的值；（2）若函數(shù)，且，求的值.答案：（1）或；（2）.解析：（1）由，得，即，所以或. 當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，得，則.綜上，x的值為或.（2） . 由，得， 所以 .考法三、平面向量與數(shù)列例1、已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，為坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若向量與在向量方向上的投影相同，則為（ ）ABC2017D0答案：D解析：，向量與在向量方向上的投影相同，即，故選：D例2、設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)且，內(nèi)的點(diǎn)均滿(mǎn)足與的面積比為，若，則的值為_(kāi)答案：31解析：延長(zhǎng)，交于，因?yàn)榕c的面積比為，故到的距離為到的距離的兩倍，故，故即，因?yàn)榍夜簿€，為三角形內(nèi)部的點(diǎn)，故存在非零常數(shù)，使

11、得，所以 ，故，故，即，又，故，所以，即是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，故，故，故答案為：31跟蹤練習(xí)1、在中，是上一點(diǎn)，且，點(diǎn)列在線段上，且滿(mǎn)足，若，則數(shù)列的通項(xiàng)_答案：解析：由題可知，即，又，故點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上且為的中點(diǎn)，故，故，又點(diǎn)列在線段上，故共線，而，所以，故數(shù)列為等比數(shù)列，所以通項(xiàng)，故答案為：2、已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，平面內(nèi)三個(gè)不共線的向量，滿(mǎn)足，若，在同一直線上，則_.答案：解析：設(shè)，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以是周期為的周期數(shù)列，因?yàn)?，所以，所以，所以，故答案為?3、設(shè)，是一組向量，若，且，且，則_答案：解析：設(shè)，則，由，且， 累

12、加可得，故答案為：4、如圖，已知點(diǎn)為的邊上一點(diǎn)，為邊的一列點(diǎn)，滿(mǎn)足，其中實(shí)數(shù)列中，則的通項(xiàng)公式為（ ）ABCD答案：D解析：， ，為邊的一列點(diǎn)，化為：，即，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為3，即，故選：D5、已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且、三點(diǎn)共線（該直線不過(guò)點(diǎn)，則等于（ ）A1006B2012CD答案：A解析：，且、三點(diǎn)共線（該直線不過(guò)點(diǎn)，；數(shù)列是等差數(shù)列，；故選：A6、已知直線上有三點(diǎn)，為外一點(diǎn)，又等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）AB3CD答案：A解析：點(diǎn)、是直線上不同的三點(diǎn)，存在非零實(shí)數(shù)，使；若，；數(shù)列是等差數(shù)列，；故選：A考法四、平面向量與其他知識(shí)例1、雙曲線C: ，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是

13、雙曲線C的右焦點(diǎn)，離心率是e，已知A是雙曲線C的斜率為正的漸近線與直線的交點(diǎn)，則的值為（ ）A0BeC2D答案：A解析：據(jù)題意漸近線方程是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則，故選：A例2、設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），且滿(mǎn)足，則直線的斜率為_(kāi).答案：解析：方法1：設(shè)，由題意可設(shè)直線的方程為.由，得，則有.由消去，得.則，；.由得，代入得即，則的斜率為.方法2：設(shè)，則，.由，得，即，由，得，即.由得，則，則直線傾斜角為60.方法3：如圖，設(shè)直線的傾斜角為，為橢圓的右準(zhǔn)線，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸，且交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸，且交軸于點(diǎn)，則有，即；，即

14、.而，則，即，解得，則直線的斜率為.故答案為：例3、設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作傾斜角為45的直線與交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），且，則_.答案：解析：設(shè)， 由題意知直線的方程為.由，得，則有.由消去，得.所以，代入得.故答案為：跟蹤練習(xí)1、已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為45的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在x軸上方），且，則橢圓的離心率為_(kāi).答案：解析：設(shè)，由題意知，的斜率為，則直線方程為，設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓的方程得 ，整理得，則，且，可得 ，則， ，所以，可得，所以故答案為：2、已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作直線l垂直于雙曲線的一條漸近線，直線l與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，

15、B兩點(diǎn)，若，且，則雙曲線C的離心率的取值范圍為_(kāi)答案：解析：由題意，雙曲線C的漸近線為，若過(guò)作直線l垂直于B，交于A，.且，在、之間，如上圖示，令，則， 即，故，得，又，.故答案為：3、過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作軸的垂線，與雙曲線及其一條漸近線在第一象限分別交于兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該雙曲線的離心率是( )A2.BCD答案：D解析：設(shè)雙曲線的半焦距為，由得到，由得到，而，即點(diǎn)A是線段FB的中點(diǎn)，所以，所以.故選：D4、已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線的漸近線方程是（ ）ABCD答案：A解析：依題意，所以，設(shè)直線的傾斜角為，則為鈍角，結(jié)合解得，

16、設(shè)，則，將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程得，而，所以，化簡(jiǎn)得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A5、半徑為的圓上有三點(diǎn)、滿(mǎn)足，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）ABCD答案：A解析：如圖， 與交于點(diǎn)，由得： ，所以四邊形是菱形，且，則，由圖知，而，同理，而，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則，故選：A.6、在中，D為三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則（ ）ABCD答案：B解析：如圖，設(shè)AD交BC于E，且，由B,E,C三點(diǎn)共線可得： ，.設(shè)，則，.又，.故選：B.考法五、最值（范圍）例1、若均為單位向量，且，則的值可能為（ ）AB3CD2答案：A解析：因?yàn)榫鶠閱挝幌蛄?，且，所以，所以，?，所以選項(xiàng)不正確，故選：A例2、已知是等

17、腰直角三角形，是平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為（ ）AB4C6D答案：A解析：如圖建立坐標(biāo)系，則，設(shè) ,最小值為-4，故選：A.例3、在直角梯形中，為邊上一點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，則的最大值為（ ）ABCD答案：C解析：以為原點(diǎn)，、所在的直線分別為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，所以，設(shè)，則，因?yàn)椋?，解得，所以直線所在的直線方程為，設(shè)，所以，因?yàn)闉橹本€上一點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)有最大值，為，故選：C.跟蹤練習(xí)1、已知A，是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，點(diǎn)，則的最小值為（ ）ABCD答案：C解析：設(shè)AB中點(diǎn)為M，則，且，所以M在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，所以，又M的軌跡方程為：，所以P到M軌跡的圓心的距離，所以的最小

18、值為d-r=3-1=2，所以的最小值為.故選：C2、如圖，是圓的一條直徑且，是圓的一條弦，且，點(diǎn)在線段上，則的最小值是（ ）ABCD答案：B解析：由題意可得，為使最小，只需，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，此時(shí)為中點(diǎn)時(shí)；又，因此，所以的最小值為.故選：B.3、已知向量，若對(duì)任意單位向量，均有，則的最大值是_答案：解析：由向量三角不等式的關(guān)系，又對(duì)任意單位向量，當(dāng)且僅當(dāng)與共線 時(shí)等號(hào)成立又則的最大值是故答案為：4、在平面內(nèi)，若有，則的最大值為_(kāi)答案：解析：根據(jù)條件，；，如圖，作，則，連接，取的中點(diǎn)，連接，則；由得，；作，連接，則；點(diǎn)在以為直徑的圓上；當(dāng)運(yùn)動(dòng)到圓的最右側(cè)時(shí)，在上的投影最大，即最大；又,又,且,所以,所以在上的最大投影為，所以,故答案為：5、已知單位向量、滿(mǎn)足，則的最小值為（ ）ABCD答案：C解析：因