21.3.2 一元二次方程的應(yīng)用-平均變化率（人教版）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)（人教版）

1、21.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率）一元二次方程的應(yīng)用 - 平均變化率問題引入 小明學(xué)習(xí)非常認真，學(xué)習(xí)成績直線上升，第一次月考數(shù)學(xué)成績是 75 分，第二次月考增長了 20%，第三次月考又增長了 20%，問他第三次數(shù)學(xué)成績是多少？第二次數(shù)學(xué)成績：75(1 + 20%) = 90 (分)；第三次數(shù)學(xué)成績：90(1 + 20%) = 108 (分).即第三次數(shù)學(xué)成績：75(1 + 20%)2 = 108 (分).21.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率） 兩年前生產(chǎn) 1 t 甲種藥品的成本是 5000 元，生產(chǎn) 1 t 乙種藥品的成本是 6000 元. 隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn) 1

2、 t 甲種藥品的成本是 3000 元，生產(chǎn) 1 t 乙種藥品的成本是 3600 元. 哪種藥品成本的年平均下降率較大？探究歸納下降率 =下降前的量下降后的量下降前的量100%類型一：平均變化率與一元二次方程21.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率） 分析：容易求出，甲種藥品成本的年平均下降額為(5000 3000)2=1000(元)，乙種藥品成本的年平均下降額為(6000 3600)2=1200(元)，顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大.但是，年平均下降額 (元) 不等同于年平均下降率 (百分數(shù)).21.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率）解：設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為 x，則一

3、年后甲種藥品成本為 5000(1 x) 元，兩年后甲種藥品成本為 5000(1 x)2 元，于是有 5000(1 x)2 = 3000. 解方程，得x10.225，x21.775.根據(jù)問題的實際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為 22.5%.注意一般下降率不可為負，且不大于 1.21.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率） 設(shè)乙種藥品成本的年平均下降率為 y，則一年后乙種藥品成本為 6000(1 y) 元，兩年后乙種藥品成本為6000(1 y)2 元，于是有 6000(1 y)2 = 3600. 解方程，得 y10.225， y21.775. 根據(jù)問題的實際意義，乙種藥品成本的年平均下降率

4、約為 22.5%.綜上可知，甲、乙兩種藥品的下降率相同.21.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率）例1 某藥品經(jīng)兩次降價，零售價降為原來的一半. 已知兩次降價的百分率一樣，求每次降價的百分率（精確到 0.1%）.解：設(shè)原價為 1 個單位，每次降價的百分率為 x.根據(jù)題意，得 解方程，得 答：每次降價的百分率約為 29.3%. 21.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率）例2 為做好延遲開學(xué)期間學(xué)生的在線學(xué)習(xí)服務(wù)工作，某城市教育局推出“中小學(xué)延遲開學(xué)期間網(wǎng)絡(luò)課堂”，為學(xué)生提供線上學(xué)習(xí)，據(jù)統(tǒng)計，第一批公益課受益學(xué)生 20萬人次，第三批公益課受益學(xué)生 24.2 萬人次如果第二批，第三批公益課受

5、益學(xué)生人次的增長率相同，求這個增長率.解：設(shè)增長率為 x，根據(jù)題意，得 20(1 + x)2 = 24.2.解得 x1 = 2.1 (舍去)，x2 = 0.1 = 10%答：增長率為 10%.注意增長率不可為負，但可以超過 1.21.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率）問題 你能總結(jié)出有關(guān)增長率和降低率問題的數(shù)量關(guān)系式嗎？ 若平均增長(或降低)百分率為 x，增長(或降低)前的量是 a，增長(或降低) n 次后的量是 b，則它們的數(shù)量關(guān)系可表示為a(1x)n = b (其中增長取“+”，降低取“-”).21.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率）例3 某公司去年的各項經(jīng)營中，一月份的營業(yè)額

6、為 200萬元，一月、二月、三月的營業(yè)額共 950 萬元，如果平均每月營業(yè)額的增長率相同，求這個增長率 解：設(shè)這個增長率為 x. 根據(jù)題意，得答：這個增長率為 50%.200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950，整理方程，得4x2 + 12x - 7 = 0.解得x1 = 3.5 (舍去)，x2 = 0.5 = 50%.21.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率） 填空：假設(shè)某種商品每件的成本為 2 元，售價為 3 元時，可賣 100 件.(1) 此時的利潤 w = 元； (2) 若售價漲了 1 元，每件利潤為_元，同時少賣了 10 件，銷售量為_件，利潤 w

7、=_元；(3) 若售價漲了 2 元，每件利潤為_元，同時少賣了 20 件，銷售量為_件，利潤 w =_元；100290180380240合作探究類型二：銷售問題與一元二次方程21.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率）(4) 若售價漲了 3 元，每件利潤為_元，同時少賣了 30 件，銷售量為_件，利潤 w =_元；(5) 若售價漲了 x 元，每件利潤為_元，同時少賣了_件，銷售量為_件，利潤 w =_ 元.4(1 + x)70(100 10 x)10 x280(1 + x)(100 10 x)想一想 若想售賣這種商品獲取利潤 300 元，則每件商品應(yīng)漲價多少元？解：設(shè)單價漲了 x 元，依題意

8、得 (1 + x)(100 - 10 x) = 300，解得 x1 = 4，x2 = 5.即當(dāng)每件商品漲價 4 元或 5 元時，能獲得 300 元利潤.即 x2 9x + 20 = 0.21.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率） 假設(shè)某種糖的成本為每千克 8 元，售價為 12 元時，可賣 100 千克. 若售價漲了 1 元，則少賣了 5 千克，要想售賣這種糖果獲取利潤 640 元，且售價不高于成本價的 2.5 倍，則每千克糖應(yīng)漲價多少元？變式訓(xùn)練解：設(shè)售價漲了 x 元，依題意得 (4 + x)(100 5x) = 640，解得 x1 = 4，x2 = 12. 售價不高于成本價的 2.5 倍

9、，即 x + 122.58， x8. x = 4. 題目中有限定條件時，要注意取舍.注意答：每千克糖應(yīng)漲價 4 元.即 x2 16x + 48 = 0.21.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率）解：設(shè)每件襯衫降價 x 元，根據(jù)題意得 (40 x)(20 + 2x) = 1200， 整理得 x2 30 x + 200 = 0. 解方程得 x1 = 10，x2 = 20. 答：每件襯衫應(yīng)降價 10 元或 20 元.例4 某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價 1 元，商場平均每天可多售出 2 件若商場平均每天要盈利1200 元，每件襯衫應(yīng)降

10、價多少元？21.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率）增加條件：為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施. 若商場平均每天要盈利1200 元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？變式訓(xùn)練 解：設(shè)每件襯衫降價 x 元，根據(jù)題意得 (40 x)(20 + 2x) = 1200， 整理得，x2 30 x + 200 = 0. 解方程得，x1 = 10，x2 = 20. 因為要盡快減少庫存，所以應(yīng)取 x = 20. 答：每件襯衫應(yīng)降價 20 元.21.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率）總結(jié)：列一元二次方程解“每每問題”的五個步驟設(shè)每件商品漲價（降價）x元（有時設(shè)新的定價為未知數(shù)）；用

11、含x的代數(shù)式表示每件商品的利潤P；用含x的代數(shù)式表示漲價（降價）后商品的銷售量Q；根據(jù)“每件商品的利潤銷售量=銷售利潤”，得PQ總利潤；解方程，取舍，作答注意：漲價時，銷售量要保證大于0；降價時，要保證單個利潤大于021.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率）列一元二次方程解決利潤問題的“一二三”1.一個相等關(guān)系:單件利潤銷售數(shù)量=總利潤.2.兩個變量:單件利潤、銷售數(shù)量是較難表示的兩個量.3.三個檢驗:列方程后檢驗每項意義、檢驗方程根求解 是否正確、作答前驗根是否符合實際.21.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率）隨堂練習(xí) 1. 某廠今年一月份的總產(chǎn)量為 500 噸，三月份的總產(chǎn)量為

12、720 噸，平均每月的增長率是 x，則可列方程( ) A. 500(1 + 2x) = 720 B. 500(1 + x)2 = 720 C. 500(1 + x2) = 720 D. 720(1 + x)2 = 500 2. 某校去年對實驗器材的投資為 2 萬元，預(yù)計今、明兩年的投資總額為 8 萬元若設(shè)該校今、明兩年在實驗器材投資上的年平均增長率是 x，則可列方程為 .B2(1 + x) + 2(1 + x)2 = 821.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率） 3. 某村種的水稻前年平均每公頃產(chǎn) 7200 千克，今年平均每公頃產(chǎn) 8712 千克，求該村這兩年水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率.

13、解：設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為 x. 根據(jù)題意，得 7200(1 + x)2 = 8712， 整理得 (1 + x)2 = 1.21. 解得 x1 = -2.1 (不符合題意，舍去)，x2 = 0.1 = 10%.答：水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為 10%.21.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率）4. 某超市將進貨單價為 40 元的商品按 50 元出售時，能賣 500 個，已知該商品要漲價 1 元，其銷售量就要減少 10 個，為了賺 8000 元利潤，售價應(yīng)定為多少，這時應(yīng)進貨多少個？根據(jù)每件商品的利潤件數(shù) = 總利潤，分析：設(shè)每件商品漲價 x 元，則商品售價為_元，則每個商品的利

14、潤為_元，因為每漲價 1 元，其銷售會減少 10 個，則每個漲價 x 元，其銷售量會減少_個，故銷售量為_個，可列方程為_.(50 + x) 40(500 10 x)10 x(50 + x)(500 10 x)(50 + x) 40 = 800021.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率）解：設(shè)每個商品漲價 x 元，則單件利潤為(50 + x - 40)元，銷售量為 (500 10 x) 個，則 (500 10 x) (50 + x 40) = 8000，整理得 x2 40 x + 300 = 0. 解得 x1 = 10，x2 = 30，都符合題意.當(dāng) x = 10 時，50 + x = 6

15、0，500 - 10 x = 400；當(dāng) x = 30 時，50 + x = 80， 500 - 10 x = 200.答：要想賺 8000 元，售價應(yīng)定為 60 元/個，進貨 400 個；或售價定為 80 元/個，進貨 200 個.21.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率）5. 菜農(nóng)小李種植的某蔬菜，計劃以每千克 5 元的價格對外批發(fā)銷售.由于部分菜農(nóng)盲目擴大種植，造成該蔬菜滯銷，小李為了加快銷售，減少損失，對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，以每千克 3.2 元的價格對外批發(fā)銷售.(1) 求平均每次下調(diào)的百分率；解：設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為 x， 由題意，得 5(1 x)2 = 3.2. 解得 x1 = 1.8 (舍去)，x2 = 0.2 = 20%. 平均每次下調(diào)的百分率為 20%.21.3.2 一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率）(2) 小華準(zhǔn)備到小李處購買 5 噸該蔬菜，因數(shù)量多，小李決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選擇：方案一，打九折銷售；方案二，不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金 200 元.試問小華選擇哪種方案更優(yōu)惠？請說明理由.解：小華選擇方案一購買更優(yōu)惠，理由如下：方案一所需費用為：3.20.95000 = 14400(元)，方案二所需費用為：3.250