隨機(jī)過程期末考試試題

1、偏微試題 一、 概念1 泊松過2 二階矩程3 獨(dú)立增隨過程4 平穩(wěn)獨(dú)增隨機(jī)過5 隨機(jī)過極（均方限6 隨機(jī)過連（均方續(xù)7 馬爾科過二、 計(jì)算題 泊松過 -齊次馬鏈 -隨過測題答1表示泊松過程 (t ), t 中事件首次發(fā)生的時(shí)刻，則對于 ，求條件概率PT | ( ) 解：P N (t ) t.（細(xì)節(jié)請查書） （ 分(t t強(qiáng)度松程N(yùn)t示到時(shí)刻 t 為事件 發(fā)的次數(shù)，則對任意 ，求EN (t ), DN (t ), cov( N t ( s ).解：EN (t ) (t ) t；（ 分） (t ), N ( s (t - ( ), N ( s), ( s（ 分）設(shè)某公交車站從早晨 5 時(shí)晚上 21

2、 時(shí)有車發(fā)出 5 時(shí) 8 時(shí)乘客的平均到達(dá)率呈現(xiàn)性 增加， 時(shí)客的平均到達(dá)率為 人小， 時(shí)客的平均到達(dá)率為 1400 人小時(shí)8 時(shí) 至 18 時(shí)乘客的平均到達(dá)率不變18 時(shí) 21 時(shí)乘客的平均到達(dá)率線性減少，到 21 時(shí)為 200 人小假定在不相重的時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)車站的乘客數(shù)相互獨(dú)立求（） 時(shí) 14 時(shí)有 2000 名客到車站的概率；（）兩小時(shí)到車站的乘客平均數(shù)解：以 N(t)表 0 時(shí) t 時(shí)達(dá)的乘客數(shù)，則200 400(t 5 (t ) 8 18 400( 21,（）N (12) 2).PN (14) N 2000 20002000!； （ 分（）E N (14) N (12) 2800

3、（ 分4定某天文臺(tái)觀測到的流星流是一個(gè)泊松過程，據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)為每小時(shí)平均觀察到 顆流星 試求（）上午 8 點(diǎn) 12 點(diǎn)間，該天文沒有觀察到流星的概.（）午12 點(diǎn)后）該天文臺(tái)觀察到第一顆流星的時(shí)間的分布函.解）設(shè)早晨 時(shí)為 時(shí)，以 N(t)示 0 時(shí) t 時(shí)觀測到的流星，則 ()是度3（顆小）的泊松過程N(yùn) (4) (0) (3 4).P (0) 0 ； （ 分n Y n ( t ) t n Y n ( t ) t )N ( t )N t )（）下午（ 點(diǎn)后）該天文臺(tái)觀察到第一顆流星的時(shí)間為 ，則其密度函數(shù)為f (t ) e, t 0. t 0相應(yīng)的分布函數(shù)為 F t ) 0, t （ 分險(xiǎn)公

4、司接到的索賠次數(shù)是一個(gè)泊松過程N(yùn)()， 每的賠付金額Y 一族獨(dú)立隨 機(jī)變量序列，且有相同分布 F索賠數(shù)額與它發(fā)生的時(shí)刻無關(guān)則(t時(shí)間內(nèi)保險(xiǎn)公司賠付的總金額可表示為 ( t )i（ 分保險(xiǎn)公司以平均每月兩次的速率接到索賠要,每i 1賠付為均值是 2000 元正態(tài)分布則的年平均賠付金額為 48000 元5 分）.解： 元212=48000 元6 設(shè)到電影院的觀眾服從強(qiáng)度松，如果電影在時(shí)刻 t 開，求在0,時(shí)內(nèi) 到達(dá)電影院的觀眾等待開演的時(shí)間總和的均.解：假設(shè)以強(qiáng)度松程(t，到某電影院，火車在時(shí)刻 t 啟計(jì)算在0,時(shí)間內(nèi)到達(dá)的乘客的等待時(shí)間的總和期望.解 1：以 T 記 n 位眾的來到時(shí)刻，則所求為

5、 ( t )( )ii t ) | N ( ) n nt (t ) n i ii i t ) t ) N (t ) n PN (t ) i ii n i nt nt .2 2（ 分 nt (2n e ! 22 ( n ( n n e 2（ 分）7商場為調(diào)查顧客到來的客源情況，考察了男女顧客來商場的人數(shù)。假設(shè)男女顧客到達(dá) 商場的人數(shù)分別獨(dú)立地服從每分鐘 1 人與每分鐘 2 人泊松過程。(1) 試算 t 時(shí)間內(nèi)到達(dá)商場顧客的總?cè)藬?shù)服從的分布；(2) 在知 t 時(shí)已有 50 人到達(dá)的前提下，問其中有 20 位性顧客的概率有多大，平均有 多少位男性顧客？解： 分以 ( ), ( )記 t 時(shí)間內(nèi)到達(dá)商

6、場的男女顧客人數(shù)，則 ( ), t 與 ( ), t 0 分別是速率 2(單：均為人 /分)的松過程從而在 t 時(shí)間內(nèi)到達(dá)商場的顧客總?cè)藬?shù)為N ( ) ( N ( ) , 它服從參數(shù)為 2的泊松分布 20 20 3 n n 1 2n n (2) 首在已知t時(shí)刻已有人到達(dá)的前提下，其中有位男性顧客的概率為t ) | ( ) t ) ( ) t ) ( ) 1 2P N (t ) n N (t ) n( ) ( ) 2 ! ( )!( t n n 1 2 ，k 1, , n.故在已知t時(shí)刻已有 50 人達(dá)的前提下，其中有 20 位男性顧客的概率為 . 平均有 1 2503位男性顧客兩個(gè)紅球四個(gè)白球

7、分別放入甲、乙兩個(gè)盒子里 每從兩個(gè)盒子中各取一球交換，以 表示第 n 次換后甲盒中的紅球數(shù) , n 0,12是態(tài)空間為 I=0,1,2的齊馬爾 可夫鏈（） 寫出其步轉(zhuǎn)移概率矩（）求其平穩(wěn)分.解）一步轉(zhuǎn)概率矩陣為P ； （ 分（ ） 由 平 穩(wěn) ( , , , ) 0 2 0 2及 規(guī) 范 性 條 件 ，得0 2 8 , ) , , )5 15 15.（ 分9. 設(shè)天是否有雨僅與今天的天有關(guān)過去的天氣無. 又今天下雨時(shí)明天也下雨 的概率為，今天無雨時(shí)明天有雨的概率為 記雨天氣為狀態(tài) ，雨天氣為狀態(tài) 1, 求 今天有雨的條件下，這之后第四天仍有雨的概.解以 X 記第 天的天氣狀態(tài)則X n=0,1,

8、2, 為時(shí)齊馬爾可夫. 其態(tài)空間為 I=0,1.一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P 0.7 0.30.4 0.6（ 分0.5668 0.43322 214 2 2 0.5668 0.43322 214 2 2 四步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P(4) 所求概率為p (4) 0.574900.（ 分）10賭徒輸光問題中，假甲有賭資 元乙有賭資 10 元賭一局輸者給贏 元，無 和局. 設(shè)甲輸贏的概率均為 ，求甲輸光的概.解：設(shè)ui表示甲從狀態(tài) 出發(fā)轉(zhuǎn)移到狀態(tài) 0 的概率，則所求為易見u 0 0 15且u i1 1u , i i i 2, .ui ii i i 2, ui u 0i ) u u i u i i i ui i u

9、 ) i u 0 1 1 0由u 15( ) 15 0得u 0115 ( ) i 1 15ii 2, 1511做我國某種商品在外銷售情況共有連續(xù) 24 個(gè)度的數(shù)據(jù)（其中 1 表暢銷2 表示滯銷）1,1,2,1,2,2,1,1,1,2,1,2,1,1,2,2,1,1,2,1,2,1,1,1如果該商品銷售情況近似滿足時(shí)齊性與馬爾可夫.（） 試確定售狀態(tài)的一步轉(zhuǎn)移概率矩.（） 如果現(xiàn)是暢銷，是預(yù)測這之后第四個(gè)季度的銷售狀.（） 如果影銷售的所有因素不變，試預(yù)測長期的銷售狀.解：以 表示第 n 季該種商品在國外的銷售情況，X , 2, 1, 2的時(shí)齊馬鏈?zhǔn)且粻顟B(tài)空間為(1) 由 1： 次： 次，得7 p p 由 1：7 次22： 次得7 p , 9 一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為 p11 21 22 2 P P 71 P P 71 1 1 2 2 1 2 (2