實(shí)驗(yàn)三 用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器

1、 實(shí)驗(yàn)三用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、了解兩種工程上最常用的變換方法:脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。2、掌握雙線性不變法設(shè)計(jì)IIR濾波器的原理及具體設(shè)計(jì)方法，熟悉雙線性設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)低通、帶通和高通IIR濾波器的計(jì)算機(jī)程序。3、觀察用雙線性變換法設(shè)計(jì)的濾波器的頻域特性，并與脈沖響應(yīng)不變法相比較，了解雙線性變換法的特點(diǎn)。4、熟悉用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字Butterworth和Chebyshev濾波器的全過程。5、了解多項(xiàng)式乘積和多項(xiàng)式乘方運(yùn)算的計(jì)算機(jī)編程方法。二、實(shí)驗(yàn)原理與方法從模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器具有四種方法:微分一差分變換法、脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變換法、匹配Z變換法；在

2、工程上常用的是其中兩種：脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變換法。脈沖響應(yīng)不變法需要經(jīng)歷如下步驟：由已知系統(tǒng)傳輸函數(shù)H(s)計(jì)算系統(tǒng)沖擊響應(yīng)h(t)；對h(t)進(jìn)行等間隔取樣得到h(n)=h(nT)；由h(n)活的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)響應(yīng)H(z)。這種方法非常直觀，其算法宗旨是保證所設(shè)計(jì)的IIR濾波器的脈沖響應(yīng)和響應(yīng)模擬濾波器的沖擊響應(yīng)在采樣點(diǎn)上完全一致。而雙線性變換法的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則是使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與參考模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似。脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)是頻率坐標(biāo)的變換是線性的，缺點(diǎn)是有頻譜的周期延拓效應(yīng)，存在頻譜混淆的現(xiàn)象。為了克服頻譜混淆提出了雙線性變換法，它依靠雙線性變換公式：TOC o 1-5 h z

3、 HYPERLINK l bookmark2 1z-11+s.s=，z=其中，s=b+jG，z=rej1+z-11-s建立起S平面和Z平面的單值映射關(guān)系，數(shù)字頻域和模擬頻域之間的關(guān)系： HYPERLINK l bookmark6 G二tg(/2),&=2arctgG(3-1)由上面的關(guān)系式可知，當(dāng)0-時(shí)，中止在折疊頻率e二兀處，整個(gè)JG軸單值的對應(yīng)于單位圓的一周。因此雙線性變換法不同于脈沖響應(yīng)不變法，不存在頻譜混淆的問題。從式(3-1)還可以看出，兩者的頻率不是線性關(guān)系。這種非線性關(guān)系使得通帶截止頻率、過渡帶的邊緣頻率的相對位置都發(fā)生了非線性畸變。用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，一般總是先將數(shù)

4、字濾波器的各臨界頻率經(jīng)過(3-1)的頻率預(yù)畸，求得相應(yīng)參考模擬濾波器的各臨界頻率，然后設(shè)計(jì)參考模擬濾波器的傳遞參數(shù)，最后通過雙線性變換式求得數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。參考模擬濾波器的設(shè)計(jì)，可以，按照一般模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法，利用已經(jīng)成熟的一整套計(jì)算公式和大量的歸一化設(shè)計(jì)表格和曲線，通過原型變換完成實(shí)際的濾波器設(shè)計(jì)。在本實(shí)驗(yàn)中，我們只涉及Butterworth和Chebyshev兩種濾波器的設(shè)計(jì)，相應(yīng)的這兩種參考模擬原型濾波器的設(shè)計(jì)公式如下：Butterworth：ilOo.iop10階數(shù)：N=珂莎=/lg(0傳遞函數(shù):0NH=ca(s)r(ss)kk=0=0ejKNk+0-5)+0-5c井嶺有關(guān)參

5、數(shù):10=0/(lOo.1s1)2Ncs0=0/(10(w-1)丄cp2NChebyshev：TOC o 1-5 h zlOo.las10階數(shù)：Nch-1/ch-1(亠)lOo.iup10s傳遞函數(shù)：H=0N/2N1rfs0shxsiny+jchxcosy)a(s)ppkkkkk=1112k1兀x=sh1,y=kNkN2有關(guān)參數(shù)：波紋系數(shù)：100-1C51綜上所述，以Butterworth低通濾波器設(shè)計(jì)為例，可以將雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的步驟歸納如下：1、確定數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)。這些指標(biāo)包括：通帶、阻帶臨界頻率fp、fs；通帶內(nèi)的最大衰減Q；阻帶內(nèi)的最小衰減Q；采樣周期ToTOC o 1

6、-5 h zps2、確定相應(yīng)的數(shù)字頻率，=2吋T,=2功Tppss HYPERLINK l bookmark8 一3_w3、計(jì)算經(jīng)過頻率預(yù)畸的相應(yīng)參考低通原型的頻率0=tg(牛),0=tg(片)op2s24、計(jì)算低通原型階數(shù)N：計(jì)算3db歸一化頻率0，從而求得低通原型的傳遞函數(shù)cH(s)oa1z15、用變換公式s=寸，代入H(s)，求得數(shù)字濾波器傳遞函數(shù):aH(z)=H(s)|a1z-1s=1+z-16、分析濾波器頻域特性，檢查其指標(biāo)是否滿足要求。三實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟(一)編制實(shí)驗(yàn)用主程序及相應(yīng)子程序f=l；T=l/f;fp=?;fs=?;wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;Qp=

7、2*f*tan(wp/2);Qs=2*f*tan(ws/2);n,Wn=cheb1ord(Qp,Qs,Rp,Rs,s);b,a=cheby1(n,f,Wn,high,s);closeall;freqs(b,a);title(高通模擬濾波器的頻率響應(yīng))；bz,az=bilinear(b,a,f);freqz(bz,az,50,f);title(高通數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng));（二）上機(jī)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、采樣頻率為1Hz,設(shè)計(jì)一個(gè)Chebyshev高通數(shù)字濾波器，其中通帶臨界頻率fp=03HZ,通帶內(nèi)衰減小于08db（ap=08db）,阻帶臨界頻率fs=02HZ,阻帶衰減大于20db（as=20db）o求這

8、個(gè)數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H（Z），輸出它的幅頻特性曲線，觀察其通帶衰減和阻帶衰減是否滿足要求。f=l；T=l/f;fp=0.3;fs=0.2;wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;Qp=tan(wp/2);Qs=tan(ws/2);n,Wn=cheb1ord(Qp,Qs,0.8,20,s);b,a=cheby1(n,0.8,Wn,high,s);closeall;bz,az=bilinear(b,a,f);freqz(bz,az,512,f);title(Chebyshev高通數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng));j*JFigureNo.1ChebyshevM通數(shù)字濾液器的頻率響應(yīng)FileEdi

9、tViewInsertToolsWindijwHelp0-100-200-300-40000.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5FrequencyfHz)(書mapj也壘d2、采樣頻率為1Hz,設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字低通濾波器，要求其通帶臨界頻率fp=0.2HZ,通帶內(nèi)衰減小于1db(ap=1db)，阻帶臨界頻率fs=03HZ,阻帶衰減大于25db(as=25db)。求這個(gè)數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(Z)，輸出它的幅頻特性曲線。f=l；T=l/f;fp=O2;fs=0.3;wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;Qp=2*f*tan(wp/2);Qs=2*f*ta

10、n(ws/2);n,Wn=cheb1ord(Qp,Qs,1,25,s);b,a=cheby1(n,1,Wn,low,s);bz,az=bilinear(b,a,f);IHlIxfreqz(bz,az,512,f);title(數(shù)字低通濾波器的頻率響應(yīng));l*JFigureNo.1FileEditViewInsertToolsWindowHelp-2:數(shù)字低通濾波器的頻率響應(yīng)0.10.150.20.250.30.350.40.450.5FrequencyfHzLooo46oo.0.10.150.20.260.30.350.40.460.5FrequencyiHz：3、設(shè)計(jì)Butterworth帶

11、通數(shù)字濾波器，其上下邊帶1db處的通帶臨界頻率分別為20kHZ和30kHZ(fp1=20kHZfp2=3OkHZ,ap=1db)，當(dāng)頻率低于15kHZ時(shí),衰減要大于40db(fs=15kHZ,as=40db)，采樣周期為10us，求這個(gè)數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(Z)，輸出它的幅頻特性曲線，觀察其通帶衰減和阻帶衰減是否滿足要求。T=10人(-5);f=l/T;fpl=20000;fp2=30000;fsl=15000;fs2=35000;wp1=fp1/f*2;wp2=fp2/f*2;ws1=fs1/f*2;ws2=fs2/f*2;Rp=1;Rs=40;n,Wn=buttord(wp1wp2,ws1ws2,Rp,Rs);b,a=butter(n,Wn);freqz(b,a,512,f);title(Butterworth帶通數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng));FigureNo.1FileEditViewInEertTooleWindowHelpA/ZPOooooooo-12:-3mpjmpEEcncn乏ooo4Butterworth帶通數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)