一元線性回歸模型的置信區(qū)間與預(yù)測

1、2.5 一元線性回歸模型的置信區(qū)間與預(yù)測多元線性回歸模型的置信區(qū)間問題包括參數(shù)估計量的置信區(qū)間和被解釋變 量預(yù)測值的置信區(qū)間兩個方面，在數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中屬于區(qū)間估計問題。所謂區(qū)間估 計是研究用未知參數(shù)的點估計值(從一組樣本觀測值算得的)作為近似值的精確 程度和誤差范圍，是一個必須回答的重要問題。一.參數(shù)估計量的置信區(qū)間A 在前面的課程中，我們已經(jīng)知道，線性回歸模型的參數(shù)估計量P是隨機變量yi的函數(shù)，即：以=z ky，所以它也是隨機變量。在多次重復(fù)抽樣中，每次 1i i的樣本觀測值不可能完全相同，所以得到的點估計值也不可能相同?，F(xiàn)在我們用 參數(shù)估計量的一個點估計值近似代表參數(shù)值，那么，二者的接近程度

2、如何？以多 大的概率達到該接近程度？這就要構(gòu)造參數(shù)的一個區(qū)間，以點估計值為中心的一 個區(qū)間(稱為置信區(qū)間)，該區(qū)間以一定的概率(稱為置信水平)包含該參數(shù)。 即回答B(yǎng)以何種置信水平位于G - a, (3 + )之中，以及如何求得a。111在變量的顯著性檢驗中已經(jīng)知道t Jit (n - k - 1)s(i(2,5.1)這就是說，如果給定置信水平1-a，從t分布表中查得自由度為(n-k-1)的臨界 值t濟，那么t值處在(t4,t芯勺概率是1 -。表示為P (t t t ) 1 a22即P (t 匕 t ) = 1 aa s a26,之P(B -1 xs P ii=10 2,u1 x - x1 +

3、+ fn Z Cx-x ii=1 TOC o 1-5 h z 將o 2用估計值0 2代入上式，有: uu八l yftCn - 2jVA02 u1+1 +x02 un Z Cx - x j2i=1y根據(jù)置信區(qū)間的原理，得顯著性水平a下f的置信區(qū)間：(2.5.8 )上式稱為匕的個值區(qū)間預(yù)測，顯然，在同樣的a下，個值區(qū)間要大于均值 區(qū)間。（257）和Q58）也可表述為：力的均值或個值落在置信區(qū)間內(nèi)的概率為 1 -a，1 -a即為預(yù)測區(qū)間的置信度。或者說，當(dāng)給定解釋變量值xf后，只能得 到被解釋變量yf或其均值E（f ）以（1 -a）的置信水平處于某區(qū)間的結(jié)論。經(jīng)常聽到這樣的說法，如果給定解釋變量值，

4、根據(jù)模型就可以得到被解釋 變量的預(yù)測值為值。這種說法是不科學(xué)的，也是計量經(jīng)濟學(xué)模型無法達到 的。如果一定要給出一個具體的預(yù)測值，那么它的置信水平則為0 ；如果一定要 回答解釋變量以100%的置信水平處在什么區(qū)間中，那么這個區(qū)間是8。在實際應(yīng)用中，我們當(dāng)然也希望置信水平越高越好，置信區(qū)間越小越好，以 增加預(yù)測的實用意義。如何才能縮小置信區(qū)間？從（2.5.5 ）和（2.5.6）式中不難 看出：（1）增大樣本容量n。在同樣的置信水平下，n越大，從t分布表中查得 自由度為（n-k-1 ）的臨界值t越??；同時，增大樣本容量，在一般情況下可使 a 2Z e 2。2 = 一父減小，因為式中分母的增大是肯定的

5、，分子并不一定增大。（2 ）更 n - 2主要的是提高模型的擬合優(yōu)度，以減小殘差平方和Z e2。設(shè)想一種極端情況， 如果模型完全擬合樣本觀測值，殘差平方和為0，則置信區(qū)間長度也為0，預(yù)測 區(qū)間就是一點。（3 ）提高樣本觀測值的分散度。在一般情況下，樣本觀測值越分 散，作為分母的Z （x - x2的值越大，致使區(qū)間縮小。置信水平與置信區(qū)間是矛 盾的。置信水平越高，在其他情況不變時，臨界值t越大，置信區(qū)間越大。如a 2果要求縮小置信區(qū)間，在其他情況不變時，就必須降低對置信水平的要求。四、一元線性回歸模型參數(shù)估計實例為了幫助讀者理解一元線性回歸模型參數(shù)估計的原理，下面以我國國家財政文教科學(xué)衛(wèi)生事業(yè)費

6、支出模型為例，不采用計量經(jīng)濟學(xué)應(yīng)用軟件，用手工計算，進行模型的參數(shù)估計。 經(jīng)分析得到，我國國家財政中用于文教科學(xué)衛(wèi)生事業(yè)費的支出，主要由國家財政收入決定，二者之間具有線性關(guān)系。于是可以建立如下的模型：ED = a + 0 FI +R其中，EDt為第t年國家文教科學(xué)衛(wèi)生事業(yè)費支出額（億元），F(xiàn)It為第t年國家財政收入 額（億元），Nt，為隨機誤差項，研B為待估計的參數(shù)。選取19911997年的數(shù)據(jù)為樣 本，利用（2.2.6）和（2.2.7）的計算公式，分別計算參數(shù)估計值。表2.2.1有關(guān)數(shù)據(jù)表年份EDFIEDFIAEDAED - EDED - EDED19917083149-551-235173

7、4-26-0.03719927933483-466-2017804-11-0.01419939584349-301-11511001-43-0.04519941278521819-2821196820.0641995146762422087421424430.02919961704740844519081685190.01119971904865164531511963-59-0.031有關(guān)中間計算結(jié)果如下：E ED = 8812E FI = 3 85 00ttED = 1 259 FI = 5500ttE FI 2 二 236869644E FI ED = 54078207ttttE FI

8、= 5612207E F12 = 25 1 1 964t tt由電腦計算的參數(shù)估計值為& 二-39.65,8 二 0.24全部統(tǒng)計結(jié)果如下表。從表中可看出，判定系數(shù)R 2=0.99，表示以國家財政收入額來解釋國家文教科學(xué)衛(wèi)生 事業(yè)費支出額，在1991至1997年間，擬合度相當(dāng)理想。截距好 的估計值對應(yīng)的t-統(tǒng)計 量為0.47，不能通過顯著性檢驗，即不能推翻a為0的假設(shè)；而一次系數(shù)P的估計值對應(yīng) 的t-統(tǒng)計量為20.34，不用查表即可知通過顯著性檢驗，即B顯著不為0，因果關(guān)系成立。F-統(tǒng)計量的值為413.58，也表示方程系數(shù)顯著不為0。表一：Eviews計算結(jié)果Dependent Variabl

9、e: EDMethod: Least SquaresDate: 09/21/02 Time: 16:22Sample: 1991 1997Included observations: 7VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C30.0523763.906910.4702520.6580FI0.2234190.01098620.336590.0000R-squared0.988055Mean dependent var1258.857Adjusted R-squared0.985666S.D. dependent var459.8972S.E.

10、 of regression55.06160Akaike info criterion11.08974Sum squared resid15158.90Schwarz criterion11.07428Log likelihood-36.81408F-statistic413.5768Durbin-Watson stat1.644626Prob(F-statistic)0.000005表二：不含截距項的Eviews計算結(jié)果:Dependent Variable: EDMethod: Least SquaresDate: 09/21/02 Time: 16:19Sample: 1991 1997

11、Included observations: 7VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.FI0.2283040.00333768.408770.0000R-squared0.987526Mean dependent var1258.857Adjusted R-squared0.987526S.D. dependent var459.8972S.E. of regression51.36364Akaike info criterion10.84730Sum squared resid15829.34Schwarz criterion10.8395

12、7Log likelihood-36.96556Durbin-Watson stat1.630622Dependent Variable: LEDMethod: Least SquaresDate: 09/21/02 Time: 16:21Sample: 1991 1997Included observations: 7VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C-1.5223290.383141-3.9732900.0106LFI1.0055630.04476422.463410.0000R-squared0.990188Mean depend

13、ent var7.077084Adjusted R-squared0.988226S.D. dependent var0.382958S.E. of regression0.041554Akaike info criterion-3.288701Sum squared resid0.008634Schwarz criterion-3.304156Log likelihood13.51045F-statistic504.6048Durbin-Watson stat1.930000Prob(F-statistic)0.000003= =多元郵回歸模型的參數(shù)估計實例例2.3.1建立中國消費模型。根據(jù)

14、消費模型的一般形式，選擇消費總額為被解釋變量， 國內(nèi)生產(chǎn)總值和前一年的消費總額為解釋變量，變量之間關(guān)系為簡單線性關(guān)系，選取1981 年至1996年統(tǒng)計數(shù)據(jù)為樣本觀測值。樣本觀測值列于表2.3.1中。表2.3.1中國消費數(shù)據(jù)表年份消費總額國內(nèi)生產(chǎn)a前一年消費額年份消費總額國內(nèi)生產(chǎn)值前一年消費額1981330949012976198910556164669360198236385489330919901136218321055619834021607636381991131462128011362198446947164402119921595225864131461985577387924694

15、1993201823450115952198665421013357731994272164711120182198774511178465421995345295940527216198893601470474511996401726849834529以y代表消費總額，x 1代表國內(nèi)生產(chǎn)總值，x2代表前一年消費總額，應(yīng)用計量經(jīng)濟分 析軟件包TSP6.5中普通最小二乘法估計模型，得到下列結(jié)果：A _ _y .= 540.5286 + 0.4809x1 + 0.1985x2（ 2.3.13）（6.83）（ 32.36）（ 5.70）R2 = 0.9997F = 28.682DW. = 1.450

16、12 e； = 4386132s = 79.08s = 0.0149s = 0.0 3 4 8。 33739.50。&百式中各項都是評價估計結(jié)果優(yōu)劣的重要標準，后面將逐一介紹。這里僅討論參數(shù)估計值。兩個解釋變量前的參數(shù)估計值分別為0.4809和0.1985，都為正數(shù)，且都處于0與1之間， 常數(shù)項的估計值也為正，這些參數(shù)估計值的經(jīng)濟含義是合理的。隨機誤差項的方差的估計值 為 33739.5。狼（現(xiàn)群主）：職業(yè)數(shù)據(jù)分析師，IT男過風(fēng)（舊群主）：老板 旗下88家連鎖酒店要飯（群員）：職業(yè)產(chǎn)品經(jīng)理，北京某私企鐵心（群員）：職業(yè)總助 路飛（群員）：信息不明 志（群員）：信息未知 石頭（群員）：職業(yè)獵頭 格格（群員）：職業(yè)大佬 影（群員）：職業(yè)算法師 沙（群員）：職業(yè)創(chuàng)業(yè)者某知名上市醫(yī)藥公司重慶某私企單位