渝第一次課講義

1、 精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號(hào)：SH312721274 年 級(jí)：初二 課 時(shí) 數(shù)：3學(xué)員姓名：張靄渝 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：王興帥 授課類型C數(shù)的整除性C 質(zhì)數(shù)與合數(shù)C 完全平方數(shù) 授課日期及時(shí)段2014年 4月12日教學(xué)內(nèi)容1整除的基本概念與性質(zhì)所謂整除，就是一個(gè)整數(shù)被另一個(gè)整數(shù)除盡，其數(shù)學(xué)定義如下定義 設(shè)a，b是整數(shù)，b0如果有一個(gè)整數(shù)q，使得a=bq，那么稱a能被b整除，或稱b整除a，并記作ba如果不存在這樣的整數(shù)q，使得a=bq，則稱a不能被b整除，或稱b不整除a，記作ba關(guān)于整數(shù)的整除，有如下一些基本性質(zhì)：性質(zhì)1 若ba，cb，則ca性質(zhì)2 若ca，cb，則c(ab)性質(zhì)3

2、若ca，cb，則c(ab)性質(zhì)4 若ba，dc，則bdac性質(zhì)5 若a=bc，且ma，mb，則mc性質(zhì)6 若ba，ca，則b，ca(此處b，c為b，c的最小公倍數(shù))特別地，當(dāng)(b，c)=1時(shí)，bca(此處(b，c)為b，c的最大公約數(shù))性質(zhì)7 若cab，且(c，a)=1，則cb特別地，若p是質(zhì)數(shù)，且pab，則pa或pb性質(zhì)8 若ab，n是自然數(shù)，則(a-b)(an-bn)性質(zhì)9 若a-b，n是正偶數(shù)，則(ab)(an-bn)性質(zhì)10 若a-b，n是正奇數(shù)，則(ab)(anbn)2證明整除的基本方法證明整除常用下列幾種方法：(1)利用基本性質(zhì)法；(2)分解因式法；(3)按模分類法；(4)反證法下

3、面舉例說明例1 證明：三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除分析 要證明一個(gè)數(shù)能被12整除但不能被24整除，只需證明此數(shù)等于12乘上一個(gè)奇數(shù)即可證 設(shè)三個(gè)連續(xù)的奇數(shù)分別為2n-1，2n1，2n+3(其中n是整數(shù))，于是(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)21=12(n2n1)所以12(2n-1)2(2n1)2(2n3)2又n2+n1=n(n1)+1，而n，n+1是相鄰的兩個(gè)整數(shù)，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶數(shù)，從而n2n+1是奇數(shù)，故24 (2n-1)2+(2n+1)2(2n3)2例2 若x，y為整數(shù)，且2x+3y，9x5y之一能被17整除，那么另一個(gè)也能被17

4、整除證 設(shè)u=2x3y，v=9x5y若17u，從上面兩式中消去y，得3v-5u=17x所以 173v因?yàn)?17，3)=1，所以17v，即179x5y若17v，同樣從式可知175u因?yàn)?17，5)=1，所以17u，即172x3yq1求pq的值解 若p=q，則不是整數(shù)，所以pq不妨設(shè)pq，于是是整數(shù)，所以p只能為3，從而q=5所以pq=35=15例4 試求出兩兩互質(zhì)的不同的三個(gè)自然數(shù)x，y，z，使得其中任意兩個(gè)的和能被第三個(gè)數(shù)整除分析 題中有三個(gè)未知數(shù)，我們?cè)O(shè)法得到一些方程，然后從中解出這些未知數(shù)最小的一個(gè)：y(y2x)，所以y2x，于是數(shù)兩兩互質(zhì)，所以x=1 所求的三個(gè)數(shù)為1，2，3例5 設(shè)n是

5、奇數(shù)，求證：606n-3n-2n-1分析 因?yàn)?0=2235，22，3，5是兩兩互質(zhì)的，所以由性質(zhì)6，只需證明22，3，5能被6n-3n-2n-1整除即可對(duì)于冪的形式，我們常常利用性質(zhì)8性質(zhì)10，其本質(zhì)是因式分解證 60=2235由于n是奇數(shù)，利用性質(zhì)8和性質(zhì)10，有226n-2n，223n1，所以226n-2n-3n-1， 36n-3n， 32n+1，所以36n-3n-2n-1，56n-1，53n+2n，所以56n-1-3n-2n由于22，3，5兩兩互質(zhì)，所以606n-3n-2n-1我們通常把整數(shù)分成奇數(shù)和偶數(shù)兩類，即被2除余數(shù)為0的是偶數(shù)，余數(shù)為1的是奇數(shù)偶數(shù)常用2k表示，奇數(shù)常用2k+1

6、表示，其實(shí)這就是按模2分類又如，一個(gè)整數(shù)a被3除時(shí)，余數(shù)只能是0，1，2這三種可能，因此，全體整數(shù)可以分為3k，3k1，3k2這三類形式，這是按模3分類有時(shí)為了解題方便，還常把整數(shù)按模4、模5、模6、模8等分類，但這要具體問題具體處理例6 若整數(shù)a不被2和3整除，求證：24(a2-1)分析 因?yàn)閍既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分類與按模3分類都是不合適的較好的想法是按模6分類，把整數(shù)分成6k，6k1，6k2，6k3，6k4，6k5這六類由于6k，6k2，6k4是2的倍數(shù)，6k3是3的倍數(shù)，所以a只能具有6k1或6k5的形式，有時(shí)候?yàn)榱朔奖闫鹨?，也常?k5寫成6k-1(它們除以6

7、余數(shù)均為5)證 因?yàn)閍不被2和3整除，故a具有6k1的形式，其中k是自然數(shù)，所以a2-1=(6k1)2-1=36k212k=12k(3k1)由于k與3k1為一奇一偶(若k為奇數(shù)，則3k1為偶數(shù)，若k為偶數(shù)，則3k1為奇數(shù))，所以2k(3k1)，于是便有24(a2-1)例7 求證：3n+1(n為正整數(shù))能被2或22整除，但不能被2的更高次冪整除證 按模2分類若n=2k為偶數(shù)，k為正整數(shù)，則3n1=32k1=(3k)21由3k是奇數(shù)，(3k)2是奇數(shù)的平方，奇數(shù)的平方除以8余1，故可設(shè)(3k)2=8l1，于是3n1=8l2=2(4l1)4l1是奇數(shù)，不含有2的因數(shù)，所以3n1能被2整除，但不能被2

8、的更高次冪整除若n=2k1為奇數(shù)，k為非負(fù)整數(shù)，則3n+1=32k1+1=3(3k)21 =3(8l1)1=4(6l1)由于6l1是奇數(shù)，所以此時(shí)3n+1能被22整除，但不能被2的更高次冪整除在解決有些整除性問題時(shí)，直接證明較為困難，可以用反證法來證例8 已知a，b是整數(shù)，a2b2能被3整除，求證：a和b都能被3整除證 用反證法如果a，b不都能被3整除，那么有如下兩種情況：(1)a，b兩數(shù)中恰有一個(gè)能被3整除，不妨設(shè)3a，3b令a=3m，b=3n1(m，n都是整數(shù))，于是a2+b2=9m2+9n26n+1=3(3m23n22n)+1，不是3的倍數(shù)，矛盾(2)a，b兩數(shù)都不能被3整除令a=3m1

9、，b=3n1，則a2b2=(3m1)2+(3n1)2 =9m26m+1+9n26n1 =3(3m2+3n22m2n)2，不能被3整除，矛盾由此可知，a，b都是3的倍數(shù)例9 設(shè)p是質(zhì)數(shù)，證明：滿足a2=pb2的正整數(shù)a，b不存在證 用反證法假定存在正整數(shù)a，b，使得a2=pb2令(a，b)=d，a=a1d，b=b1d，則(a1，b1)=1所以與(a1，b1)=1矛盾例10 設(shè)p，q均為自然數(shù)，且求證：29p證 注意到29是質(zhì)數(shù)令a=101119所以 ap=29qb，29ap，29是質(zhì)數(shù)，且29a，所以29p練習(xí)二十四1求證：對(duì)任意自然數(shù)n，27n1能被3整除2證明：當(dāng)a是奇數(shù)時(shí)，a(a2-1)能

10、被24整除3已知整數(shù)x，y，使得7(13x+8y)，求證：7(9x5y)4設(shè)p是大于3的質(zhì)數(shù)，求證：24(p2-1)5求證：對(duì)任意自然數(shù)n，n(n-1)(2n-1)能被6整除6求證：三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的立方和能被9整除7已知a，b，c，d為整數(shù)，abcd能被a-c整除，求證：adbc也能被a-c整除質(zhì)數(shù)、合數(shù)一、內(nèi)容提要1 正整數(shù)的一種分類： 質(zhì)數(shù)的定義：如果一個(gè)大于1的正整數(shù)，只能被1和它本身整除，那么這個(gè)正整數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（質(zhì)數(shù)也稱素?cái)?shù)）。合數(shù)的定義：一個(gè)正整數(shù)除了能被1和本身整除外，還能被其他的正整數(shù)整除，這樣的正整數(shù)叫做合數(shù)。根椐質(zhì)數(shù)定義可知質(zhì)數(shù)只有1和本身兩個(gè)正約數(shù)，質(zhì)數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)2如果

11、兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和或差是奇數(shù)那么其中必有一個(gè)是2，如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積是偶數(shù)那么其中也必有一個(gè)是2，3任何合數(shù)都可以分解為幾個(gè)質(zhì)數(shù)的積。能寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)的積的正整數(shù)就是合數(shù)。二、例題例1兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)a (a5)。求這兩個(gè)數(shù)解：兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)必有一個(gè)是2所求的兩個(gè)質(zhì)數(shù)是2和a2。例2己知兩個(gè)整數(shù)的積等于質(zhì)數(shù)m, 求這兩個(gè)數(shù)解：質(zhì)數(shù)m只含兩個(gè)正約數(shù)1和m, 又（1）（m）=m所求的兩個(gè)整數(shù)是1和m或者1和m.例3己知三個(gè)質(zhì)數(shù)a,b,c它們的積等于30求適合條件的a,b,c的值解：分解質(zhì)因數(shù)：30235適合條件的值共有： 應(yīng)注意上述六組值的書寫排列順序，本題如果改為4個(gè)質(zhì)數(shù)a,b,c,d它們的積等

12、于210,即abcd=2357那么適合條件的a，b，c，d值共有24組，試把它寫出來。例4試寫出4個(gè)連續(xù)正整數(shù)，使它們個(gè)個(gè)都是合數(shù)。解：（本題答案不是唯一的）設(shè)N是不大于5的所有質(zhì)數(shù)的積，即N235那么N2，N3，N4，N5就是適合條件的四個(gè)合數(shù)即32，33，34，35就是所求的一組數(shù)。本題可推廣到n 個(gè)。令N等于不大于n+1的所有質(zhì)數(shù)的積，那么N2，N3，N4，N（n+1）就是所求的合數(shù)。三、練習(xí)小于100的質(zhì)數(shù)共_個(gè)，它們是_己知質(zhì)數(shù)P與奇數(shù)Q的和是11，則P，Q己知兩個(gè)素?cái)?shù)的差是41，那么它們分別是如果兩個(gè)自然數(shù)的積等于19，那么這兩個(gè)數(shù)是如果兩個(gè)整數(shù)的積等于73，那么它們是如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)

13、的積等于15，則它們是5,兩個(gè)質(zhì)數(shù)x和y，己知xy=91,那么x=_,y=_,或x=_,y=_.6, 三個(gè)質(zhì)數(shù)a,b,c它們的積等于1990. 那么7,能整除311513的最小質(zhì)數(shù)是8，己知兩個(gè)質(zhì)數(shù)A和B適合等式AB99，ABM。求M及的值9，試寫出6個(gè)連續(xù)正整數(shù)，使它們個(gè)個(gè)都是合數(shù)。10，具備什么條件的最簡(jiǎn)正分?jǐn)?shù)可化為有限小數(shù)？11，求適合下列三個(gè)條件的最小整數(shù)：大于1沒有小于10的質(zhì)因數(shù)不是質(zhì)數(shù)12，某質(zhì)數(shù)加上6或減去6都仍是質(zhì)數(shù)，且這三個(gè)質(zhì)數(shù)均在30到50之間，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)是13，一個(gè)質(zhì)數(shù)加上10或減去14都仍是質(zhì)數(shù)，這個(gè)質(zhì)數(shù)是。練習(xí)題參考答案1.25個(gè)2.2，93.2，434.1，19

14、；1，73或1，735略6.190025199有6組7.28.略9.令N2357210，所求合數(shù)為N2，N3，10. 分母只含2和5的質(zhì)因數(shù)11. 111112.3713.3完全平方數(shù)和完全平方式甲內(nèi)容提要一定義如果一個(gè)數(shù)恰好是某個(gè)有理數(shù)的平方，那么這個(gè)數(shù)叫做完全平方數(shù).例如0，1，0.36，121都是完全平方數(shù).在整數(shù)集合里，完全平方數(shù)，都是整數(shù)的平方.如果一個(gè)整式是另一個(gè)整式的平方，那么這個(gè)整式叫做完全平方式. 如果沒有特別說明，完全平方式是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)研究的.例如：在有理數(shù)范圍m2, (a+b2)2, 4x212x+9, 144都是完全平方式.在實(shí)數(shù)范圍（a+）2, x2+2x+2, 3

15、也都是完全平方式.二. 整數(shù)集合里，完全平方數(shù)的性質(zhì)和判定1. 整數(shù)的平方的末位數(shù)字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位數(shù)字為2，3，7，8的整數(shù)必不是平方數(shù).2. 若n是完全平方數(shù)，且能被質(zhì)數(shù)p整除, 則它也能被p2整除.若整數(shù)m能被q整除，但不能被q2整除, 則m不是完全平方數(shù).例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方數(shù).又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方數(shù).三. 完全平方式的性質(zhì)和判定 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)如果ax2+bx+c (a0)是完全平方式，則b24ac=0且a0；如果 b24ac=0且a0；則ax2+bx+c (a0)是完全平

16、方式. 在有理數(shù)范圍內(nèi)當(dāng)b24ac=0且a是有理數(shù)的平方時(shí)，ax2+bx+c是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方數(shù)的關(guān)系1. 完全平方式（ax+b）2 中當(dāng)a, b都是有理數(shù)時(shí), x取任何有理數(shù)，其值都是完全平方數(shù)；當(dāng)a, b中有一個(gè)無理數(shù)時(shí)，則x只有一些特殊值能使其值為完全平方數(shù).某些代數(shù)式雖不是完全平方式，但當(dāng)字母取特殊值時(shí)，其值可能是完全平方數(shù). 例如： n2+9, 當(dāng)n=4時(shí)，其值是完全平方數(shù).所以，完全平方式和完全平方數(shù)，既有聯(lián)系又有區(qū)別.五. 完全平方數(shù)與一元二次方程的有理數(shù)根的關(guān)系在整系數(shù)方程ax2+bx+c=0(a0)中若b24ac是完全平方數(shù)，則方程有有理數(shù)根；若方程有有

17、理數(shù)根，則b24ac是完全平方數(shù).在整系數(shù)方程x2+px+q=0中若p24q是整數(shù)的平方，則方程有兩個(gè)整數(shù)根；若方程有兩個(gè)整數(shù)根，則p24q是整數(shù)的平方.乙例題例1. 求證：五個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和不是完全平方數(shù).證明：設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)為m2, m1, m, m+1, m+2. 其平方和為S.那么S（m2）2（m1）2m2（m+1）2（m+2）25（m2+2）.m2的個(gè)位數(shù)只能是0，1，4，5，6，9m2+2的個(gè)位數(shù)只能是2，3，6，7，8，1m2+2不能被5整除.而5（m2+2）能被5整除，即S能被5整除，但不能被25整除.五個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和不是完全平方數(shù). 例2 m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，（m1）x2+

18、2mx+3m2 是完全平方式？解：根據(jù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)完全平方式的判定，得 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（m1）x2+2mx+3m2 是完全平方式=0，即（2m）24(m1)(3m2)=0.解這個(gè)方程， 得 m1=0.5, m2=2.解不等式m10 ， 得m1.即 它們的公共解是m=2.答：當(dāng)m=2時(shí)，（m1）x2+2mx+3m2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求證： a=b=c.證明：把已知代數(shù)式整理成關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，得原式3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc它是完全平方式， 0. 即4(a+b+c)212(ab+ac+b

19、c)=0. 2a2+2b2+2c22ab2bc2ca=0,(ab)2+(bc)2+(ca)2=0.要使等式成立，必須且只需： 解這個(gè)方程組，得a=b=c.例4. 已知方程x25x+k=0有兩個(gè)整數(shù)解，求k的非負(fù)整數(shù)解.解：根據(jù)整系數(shù)簡(jiǎn)化的一元二次方程有兩個(gè)整數(shù)根時(shí)，是完全平方數(shù).可設(shè)= m2 (m為整數(shù))，即（5）24k=m2 (m為整數(shù))，解得，k=.k是非負(fù)整數(shù)， 由25m20，得，即5m5；由25m2是4的倍數(shù)，得m=1, 3, 5.以 m的公共解1, 3, 5，分別代入k=.求得k= 6, 4, 0.答：當(dāng)k=6, 4, 0時(shí)，方程x25x+k=0有兩個(gè)整數(shù)解求證：當(dāng)k為整數(shù)時(shí)，方程4

20、x2+8kx+(k2+1)=0沒有有理數(shù)根. 證明：（用反證法）設(shè)方程有有理數(shù)根，那么是整數(shù)的平方.（8k）216(k2+1)16（3k21）.設(shè)3k21m2 (m是整數(shù)).由3k2m21，可知k和m是一奇一偶，下面按奇偶性討論3k2m21能否成立.當(dāng)k為偶數(shù)，m為奇數(shù)時(shí)，左邊k2是4的倍數(shù)，3k2也是4的倍數(shù)；右邊m2除以4余1，m21除以4余2.等式不能成立.； 當(dāng)k為奇數(shù)，m為偶數(shù)時(shí)，左邊k2除以4余1，3k2除以4余3右邊m2是4的倍數(shù)，m21除以4余1等式也不能成立.綜上所述，不論k, m取何整數(shù)，3k2m21都不能成立.3k21不是整數(shù)的平方，16（3k21）也不是整數(shù)的平方.當(dāng)k為整數(shù)時(shí)，方程4x2+8kx+(k2+1)=0沒有有理數(shù)根丙練習(xí)如果m是整數(shù)，那么m2+1的個(gè)位數(shù)只能是.如果n是奇數(shù)，那么n21除以4余數(shù)是，n2+2除以8余數(shù)是，3n2除以4的余數(shù)是.如果k不是3的倍數(shù)，那么k21 除以3余數(shù)是.一個(gè)整數(shù)其中三個(gè)數(shù)字是1，其余的都是0，問