2021課標(biāo)版理數(shù)高考總復(fù)習(xí)專題9.1直線方程與圓的方程（講解練）理科數(shù)學(xué)教學(xué)講練

1、專題九平面解析幾何 9.1直線方程與圓的方程高考理數(shù)考點(diǎn)一直線方程考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.直線的傾斜角與斜率名稱定義求法范圍傾斜角當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí),規(guī)定它的傾斜角為0解法一:構(gòu)造三角形求角;解法二:利用斜率求角,即由k=tan (90)求00,則圓的半徑為|r|,實(shí)數(shù)r可以取負(fù)值.(2)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中,若D2+E2-4F=0,方程表示點(diǎn);若D2+E2-名稱方程圓心半徑標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)(a,b)r一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)-

2、,-4F0),則圓心(a,b)到直線x-y-3=0的距離d=,r2=+,即2r2=(a-b-3)2+3.由于所求圓與直線x-y=0相切,=r,(a-b)2=2r2.又圓心在直線x+y=0上,a+b=0.聯(lián)立,解得故圓C的方程為(x-1)2+(y+1)2=2.解法三:設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則圓心為,半徑r=,圓心在直線x+y=0上,-=0,即D+E=0,又圓C與直線x-y=0相切,=,即(D-E)2=2(D2+E2-4F),D2+E2+2DE-8F=0.又知圓心到直線x-y-3=0的距離d=,由已知得d2+=r2,(D-E+6)2+12=2(D2+E2-4F),聯(lián)立,解

3、得故所求圓的方程為x2+y2-2x+2y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.答案(x-1)2+(y+1)2=2方法1對(duì)稱問題的處理方法常見對(duì)稱問題的處理方法:(1)中心對(duì)稱若點(diǎn)M(x1,y1)與N(x,y)關(guān)于P(a,b)對(duì)稱,則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得若直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則在已知直線上取一點(diǎn),求出對(duì)稱點(diǎn),再利用兩直線平行,斜率相等,由點(diǎn)斜式得到所求直線方程.(2)軸對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱若兩點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)關(guān)于直線l:Ax+By+C=0對(duì)稱,則線段P1P2的中點(diǎn)在對(duì)稱軸l上,而且過點(diǎn)P1,P2的直線垂直于對(duì)稱軸l,由方程組方法技巧可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2,y

4、2)(其中A0,x1x2).直線關(guān)于直線的對(duì)稱此類問題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題來解決,有兩種情況:一是已知直線與對(duì)稱軸相交;二是已知直線與對(duì)稱軸平行.例1已知直線l:2x-3y+1=0,點(diǎn)A(-1,-2),求:(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)直線m:3x-2y-6=0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m的方程;(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(-1,-2)對(duì)稱的直線l的方程.解題導(dǎo)引(1)設(shè)點(diǎn)A(x,y),利用垂直平分列關(guān)于x,y的方程組,解方程組得點(diǎn)A的坐標(biāo).(2)在直線m上取一點(diǎn)M(2,0),求出點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo),再求出直線m與l的交點(diǎn)N的坐標(biāo),從而由兩點(diǎn)式求出直線m的方程.(3)利

5、用相關(guān)點(diǎn)法求出直線l的方程.解析(1)設(shè)A(x,y),由已知得解得A.(2)在直線m上取一點(diǎn),如M(2,0),則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)必在m上.設(shè)M的對(duì)稱點(diǎn)為M(a,b),則解得則M.易知m與l不平行,設(shè)m與l的交點(diǎn)為N,則由得N(4,3).又m經(jīng)過點(diǎn)N(4,3),由兩點(diǎn)式得直線m的方程為9x-46y+102=0.(3)設(shè)P(x,y)為l上任意一點(diǎn),則P(x,y)關(guān)于點(diǎn)A(-1,-2)的對(duì)稱點(diǎn)為P(-2-x,-4-y),P在直線l上,2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,化簡(jiǎn)得2x-3y-9=0,直線l的方程為2x-3y-9=0.例2(2018豫北六校聯(lián)考,15)已知點(diǎn)P在直線l:3

6、x-y-1=0上,A(4,1),B(0,4),則|PA|-|PB|最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.解題導(dǎo)引 解析設(shè)點(diǎn)B(0,4)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為B(x0,y0),則有解得即B(3,3),直線AB的方程為2x+y-9=0,易知當(dāng)點(diǎn)P與B、A共線時(shí),|PA|-|PB|最大.由得P(2,5),即|PA|-|PB|取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,5).答案(2,5)方法2解與圓有關(guān)的最值問題的方法涉及與圓有關(guān)的最值問題,一般要借助圖形性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合和函數(shù)思想求解,一般地:(1)最小圓(圓的面積最小)問題,轉(zhuǎn)化為求半徑最小值問題;(2)圓上的點(diǎn)到圓外的點(diǎn)(直線)的距離的最值,應(yīng)先求圓心到圓外的點(diǎn)(直線)的距離,

7、再加上半徑或減去半徑求得最值;(3)u=型的,轉(zhuǎn)化為直線斜率的最值問題求解;(4)t=ax+by型的,轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題求解;(5)m=(x-a)2+(y-b)2型的,轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離平方的最值問題求解.例3已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.解題導(dǎo)引 解析(1)原方程化為(x-2)2+y2=3,表示以點(diǎn)(2,0)為圓心,為半徑的圓.設(shè)=k,則y=kx,當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí),斜率k取最值,此時(shí)有=,解得k=,故的最大值為,最小值為-.(2)設(shè)y-x=b,則y=x+b,當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí),縱截距b取得最值,此時(shí)=,解得b=-2.所以y-x的最大值為-2+