課標(biāo)版高考文科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題7.3 基本不等式及不等式的應(yīng)用（講解練）教學(xué)講練

1、專題七不等式7.3基本不等式及不等式的應(yīng)用 課標(biāo)文數(shù)考點(diǎn)一基本不等式考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.兩個(gè)重要不等式(1)若a、bR,則a2+b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”.(2)若a、b(0,+),則,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”.2.算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)若a、b(0,+),則叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù),叫做正數(shù)a、b的幾何平均數(shù).3.用基本不等式求最值的方法(1)若a、b(0,+),則當(dāng)ab為定值時(shí),a+b有最小值,最小值為2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”.(2)若a、b(0,+),則當(dāng)a+b為定值時(shí),ab有最大值,最大值為,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”.(3)若a、bR,則.當(dāng)a、b(0,+)時(shí),a+b,

2、當(dāng)a2+b2為定值時(shí),a+b有最大值,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”.4.基本不等式的幾種變形及相關(guān)結(jié)論(1)幾種變形對(duì)于基本不等式,不僅要記住原始形式,而且還要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等,如:ab(a、bR);(a0,b0).(2)常用的結(jié)論若a、b(0,+),則(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)).若a(0,+),則a+2(當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào));若a0,則a+2(當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào))或a+-2(當(dāng)且僅當(dāng)a=-1時(shí)取等號(hào)).若a、bR,則2(a2+b2)(a+b)2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).a2+b2+c2ab+ac+bc,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào).【知識(shí)拓展】1.用基本不等式求最值時(shí)要注

3、意三點(diǎn):“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù),“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),和或積為定值,“三相等”是指等號(hào)成立的條件.2.連續(xù)使用基本不等式時(shí),等號(hào)要同時(shí)成立.考向一用基本不等式求最值的條件考向突破例1下列命題中正確的是.(填寫正確命題的序號(hào))若a,bR,則+2;當(dāng)x0且x1時(shí),lg x+2;當(dāng)x時(shí),y=sin x+的最小值為4;當(dāng)x3時(shí),y=x+的最小值為7.解析由a,bR可知0不一定成立,故錯(cuò)誤.當(dāng)x0且x1時(shí),lg x0不一定成立,故錯(cuò)誤.當(dāng)x時(shí),sin x(0,1.y=+sin x2=4,當(dāng)且僅當(dāng)sin x=2時(shí),“=”成立.但sin x不可能等于2,故不正確.x3

4、,x-30,y=x+=x-3+37,當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí),“=”成立,故正確.答案例2(2018山東平度一模,6)若直線2mx-ny-2=0(m0,n0)過(guò)點(diǎn)(1,-2),則+的最小值為()A.2B.6C.12D.3+2考向二利用基本不等式求最值解析直線2mx-ny-2=0(m0,n0)過(guò)點(diǎn)(1,-2),2m+2n-2=0,即m+n=1.又m0,n0,+=(m+n)=3+3+2,當(dāng)且僅當(dāng)=,即n=m時(shí)取等號(hào),+的最小值為3+2,故選D.答案D 考點(diǎn)二不等式的應(yīng)用1.利用基本不等式求最值若p,k為常數(shù),則:(1)若ab=k,則當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),a+b有最小值2(a0,b0);(2)若a+b=p,則當(dāng)

5、且僅當(dāng)a=b時(shí),ab有最大值(a0,b0).2.利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題(1)解答不等式應(yīng)用題,要認(rèn)真審題,分清題意,建立合理的不等式模型.(2)不等式問(wèn)題中蘊(yùn)含著豐富的函數(shù)思想,是不等式與函數(shù)的結(jié)合點(diǎn),又是數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法的交匯點(diǎn).處理不等式問(wèn)題,常常離不開(kāi)函數(shù)的圖象與性質(zhì),如函數(shù)的定義域、值域、最大值、最小值、單調(diào)性等,而數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)換思想等貫穿于解題的始終,應(yīng)深入領(lǐng)悟.方法1利用基本不等式求最值1.利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值,主要有兩種思路:(1)對(duì)條件使用基本不等式,建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解.(2)對(duì)條件變形,進(jìn)行“1”的代換求目

6、標(biāo)函數(shù)最值.2.有些題目雖然不具備直接用基本不等式求最值的條件,但可以通過(guò)添項(xiàng)、分離常數(shù)、平方等手段使之能運(yùn)用基本不等式.3.若一次應(yīng)用基本不等式不能達(dá)到目的,則需多次應(yīng)用基本不等式,但要注意等號(hào)成立的條件必須要一致.方法技巧提醒:若可用基本不等式,但等號(hào)不成立,則一般是利用函數(shù)單調(diào)性求解.例1(2018湖南師大附中月考(五),9)已知ABC的面積為1,內(nèi)切圓半徑也為1,若ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則+的最小值為()A.2B.2+C.4D.2+2解析因?yàn)锳BC的面積為1,內(nèi)切圓半徑也為1,所以(a+b+c)1=1,所以a+b+c=2,所以+=+=2+2+2,當(dāng)且僅當(dāng)a+b=c,即c=2-

7、2時(shí),等號(hào)成立,所以+的最小值為2+2,故選D.答案D方法2不等式的綜合應(yīng)用1.利用不等式的性質(zhì)、不等式的證明方法、解不等式等知識(shí)可以解決函數(shù)中的有關(guān)問(wèn)題,主要體現(xiàn)在:利用不等式求函數(shù)的定義域、值域、最值、證明單調(diào)性等.2.利用函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系,可解決一元二次方程根的分布問(wèn)題.3.不等式與數(shù)列的綜合題經(jīng)常出現(xiàn)在高考?jí)狠S題中,主要體現(xiàn)在比較數(shù)列中兩項(xiàng)的大小問(wèn)題中.4.應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的步驟:(1)仔細(xì)閱讀題目,透徹理解題意;(2)分析實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系,引入未知數(shù),并用它表示其他的變量,把要求最值的變量設(shè)為函數(shù);(3)應(yīng)用基本不等式求出函數(shù)的最值;(4)還原實(shí)際問(wèn)題,作出解答.例2(2019江西吉安期末,16)已知函數(shù)f(x)=,則f(x)的最大值為.解析設(shè)t=sin x+2,則t1,3,則sin2x=(t-2)2,g(t)=t+-4(1t3),由“對(duì)勾函數(shù)”的性質(zhì)可得g(t)在1,2)上為減函數(shù),在(2,3上為增函數(shù),又g(1)=1,g(3)=,所以g(t)max=g(1)