利用余數(shù)定理進(jìn)行因式分解

1、利用余數(shù)定理進(jìn)行因式分解利用余數(shù)定理進(jìn)行因式分解7/7利用余數(shù)定理進(jìn)行因式分解利用余數(shù)定理進(jìn)行因式分解作者：日期:利用余數(shù)定理進(jìn)行因式分解深圳市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校蘇永潮因式分解是多項(xiàng)式運(yùn)算中很重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，在初中,我們完整解決了二次函數(shù)的因式分解,那么對(duì)于高次多項(xiàng)式的因式分解，又該如何進(jìn)行呢？本文介紹一個(gè)比較簡(jiǎn)單的手段。基本技術(shù)：長(zhǎng)除法我們看一個(gè)簡(jiǎn)單計(jì)算321121113212220將上式中的132代替成100302，11代替成101,則有21011003021020220用x代替上式中的1，就可以獲取2x1x23x2x2x0 x22x2x22x2x22x0這就是長(zhǎng)除法,我們這里以實(shí)戰(zhàn)為主，就不介紹

2、其中的理論了。稱x23x2為被除式，x1為除式，x2為商式，0為余數(shù)例1、計(jì)算：(x32x7)(x2)x22x6解:x2x30 x22x7x32x22x7x32x22x7x32x24x7x30 x26x7x30 x26x12x30 x23x5因此，x32x7(x2)(x22x6)5注:若被除式多項(xiàng)式缺少了某些項(xiàng),可以用0補(bǔ)足。定理1、余數(shù)定理我們還是先看一個(gè)長(zhǎng)除法:(x32x2x7)(x1)經(jīng)過(guò)如例所顯現(xiàn)的方法,我們可以獲取x32x2x7(x1)(x23x2)9記被除式f(x)x32x2x7，商式Q(x)x23x2,余數(shù)R9則f(x)(x1)Q(x)9代入x1，可以獲取f(1)(11)Q(1)

3、RR,即f(x)被x1除的余數(shù)為f(1)一般地，多項(xiàng)式f(x)被xa除，所得的余數(shù)為Rf(a),把這個(gè)結(jié)論拓展我們可以得到：余數(shù)定理多項(xiàng)式f(x)被axb除，所得的余數(shù)為Rf(b)a例2、求4x32x27x4被以下各式所除得的余數(shù)1)x1?2）x3?)3x2解：令f(x)4x32x27x4則1)f(x)被除所得的余數(shù)為f(1)5x12）f(x)被x3除所得的余數(shù)為f(3)1513）f(x)被3x2除所得的余數(shù)為f(2)290327定理2、因數(shù)定理我們來(lái)觀察x23x2被x1除所得的余數(shù)。記f(x)x23x2則余數(shù)Rf(1)0換言之，x1是f(x)的因式f(1)0實(shí)行到一般狀況,我們可以獲取因數(shù)定

4、理axb是f(x)的因式f(b)0a利用這個(gè)定理，我們可以進(jìn)行高次式的因式分解例4、若3x3hx25xk恰好能被x3整除，被x除余數(shù)為4,求h,k,并將多項(xiàng)式13x3hx25xk進(jìn)行因式分解。解:記f(x)3x3hx25xk,則f(3)0代入得9hk66f(1)4hk2解得h8,k6因此f(x)3x38x25x6由于f(x)必有因式x3,設(shè)其商式為ax2bxc則f(x)(x3)(ax2bxc)ax3(b3a)x2(c3b)x3c3x38x25x6a3a3b3a8比較系數(shù)可以獲取解得b1c3b5c23c6即f(x)(x3)(3x2x2)(x3)(x1)(3x2)例5、因式分解x3x24x4解:記

5、f(x)x3x24x4(考慮到f(x)為三次式,因此f(x)可能分解為(xa)(xb)(xc)，其常數(shù)項(xiàng)為abc4，因此a,b,c為4的因子）由于4的因子有1,2,4f(1)11440，因此x1為其一個(gè)因子(對(duì)于其他因式,有三個(gè)方法求）法一、試錯(cuò)法。f(1)11440 x1不是因子f(2)84840 x2是因子f(2)84840 x2是因子因此f(x)(x1)(x2)(x2)法二、長(zhǎng)除法。x20 x4x1x3x24x4x3x24x4x3x24x4x3x24x4x3x24x0因此f(x)(x1)(x24)(x1)(x2)(x2)法三、比較系數(shù)法。設(shè)f(x)(x1)(ax2bxc)，則f(x)ax

6、3(ba)x2(cb)xcx3x24x4a1a1因此ba1b0即f(x)(x1)(x24)(x1)(x2)(x2)cb4c4c4小結(jié)：用因數(shù)定理分解因式,在求出一個(gè)因式后，其他因子可以有以上三種方法。例7、解方程2x311x27x60解：記f(x)2x311x27x66的因子有1,2,3,6f(1)211760 x1是一個(gè)因子由長(zhǎng)除法得f(x)(x1)(2x213x6)(x1)(2x1)(x6)因此方程2x311x27x60的根為1,1,62例8、設(shè)多項(xiàng)式x2nk有一個(gè)x3因子,且被x1除時(shí)余數(shù)為80,求n,k，并將多項(xiàng)式x2nk進(jìn)行因式分解解:記f(x)x2nk則f(3)0809nk0解得n2,k81f(1)1k80f(x)x481(x29)(x29)(x29)(x3)(x3)練習(xí)1、因式分解