勾股定理的九種證明方法

1、勾股定理的證明方法一、傳說中畢達哥拉斯的證法（圖1）1A1A血/7%A/左邊的正方形是由1個邊長為左的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直 角邊分別為，斜邊為亡的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為 樸的正方形和4個直角邊分別為出、禺，斜邊為樸的直角三角形拼成的。因為這兩 個正方形的面積相等（邊長都是+3）,所以可以列出等式a2 -b2 + 4x =+0、，化簡得二、美國第20任總統(tǒng)茄菲爾德的證法（圖3）a這個直角梯形是由2個直角邊分別為吃、鳥，斜邊為亡的直角三角形和1個直 角邊為Q的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所-2x-ab =以可以列出等式三、

2、相似三角形的證法：4相似三角形的方法：在學習了相似三角形以后，我們知道在直角三角 A形中，斜邊上的高把這個直角三角形所分成的兩個三直角角形與原三角形相似。如圖，RtAABC中，ZACB=90。作CD丄AB,垂足為D。貝VBCDsBAC,ACADsABAC。由厶BCDsBAC 可得 BC2=BD X BA,由厶CADsBAC 可得 AC2=AD X AB。我們發(fā)現(xiàn)，把、兩式相加可得BC2+AC2=AB（AD+BD），而 AD+BD=AB，因此有BC2+AC2=AB2，這就是a2+b2=c2。這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。四、古人的證法:如圖，將圖中的四個直

3、角三角形涂上深紅色，把中間小正方形涂上白色，以弦 為邊的正方形稱為弦實，然后經(jīng)過拼補搭配，“令出入相補，各從其類”，他肯定 了勾股弦三者的關(guān)系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之為弦實，開方除 之，即弦也”。趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數(shù)學家高超的證題思想，較 為簡明、直觀。五、項明達證法：作兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 a、 b（ba），斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、 A、 C 三點在一條直線上.過點Q作QPBC,交AC于點P.過點B作BM丄PQ,垂足為M；再過點F作FN丄PQ,垂足為N./ ZBCA = 90, QPBC,

4、 ZMPC = 90,/ BM 丄 PQ, ZBMP = 90,BCPMBCPM是一個矩形，即ZMBC = 90.ZABC + ZMBA = ZMBC = 90, ZQBM = ZABC,又 ZBMP = 90,ZBCA = 90, BQ = BA = c, RtABMQ 竺 RtABCA.同理可證 RtAQNF 竺 RtAAEF.即 aA2+bA2=cA2六、歐幾里德射影定理證法:如圖，RtABC中，ZABC=90。，AD是斜邊BC上的高，通過證明三角 形相似則有射影定理如下：1) (BD) a2；=ADDC,(2) (AB) a2；=ADAC ,(3) (BC) a2；=CDAC 。由公式

5、(2) + (3)得：(AB) a2；+ (BC) a2；=ADAC+CDAC = (AD+CD)AC= (AC)人2；,即 (AB) a2；+ (BC) a2；= (AC)人2七、楊作玫證法:七、楊作玫證法:做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b (ba),斜 邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.過A作 AF丄AC, AF交GT于F, AF交DT于R過B作BP丄AF，垂足為P.過D作 DE與CB的延長線垂直，垂足為E, DE交AF于H./ ZBAD = 90,ZPAC = 90, ZDAH = ZBAC.又 ZDHA = 90,ZBCA = 90

6、, AD = AB = c, Rt A DHA 竺 Rt A BCA DH = BC = a, AH = AC = b.由作法可知，PBCA是一個矩形, 所以Rt A APB 竺 Rt A BCA即PB = CA = b, AP= a,從而 PH = b a./ Rt A DGT 竺 Rt A BCA ,Rt A DHA 竺 Rt A BCA. Rt A DGT 竺 Rt A DHA DH = DG = a,ZGDT = ZHDA 丈:ZDGT = 90,ZDHF = 90,ZGDH = ZGDT + ZTDH = ZHDA+ ZTDH = 90, DGFH 是一個邊長為 a 的正方形 GF

7、= FH = a TF丄 AF, TF = GTGF = b a TFPB是一個直角梯形，上底TF=b a,下底BP= b,咼FP=a + (b a)用數(shù)字表示面積的編號(如圖),則以 c 為邊長的正方形的面積為c 2 = S + S + S + S + S12345S+S+ S = lb + (b - a ) la + (b - a )1b 2 - ab:8342=2S=S+S，589，S+S1=b2 ab S3 428= b 2 - S - S= 1 8把代入，得c2=S + S + b 2 - S - S + S + S121889b 2 + S + S =29八、陳杰證法：設(shè)直角三角形

8、兩直角邊的長分別為a、b （ba）,斜邊的長為c做兩個邊長一條直線上 用數(shù)字表示面積的編號（如圖） 在EH = b上截取ED = a,連結(jié)DA、DC, 則 AD = cbFa3a一條直線上 用數(shù)字表示面積的編號（如圖） 在EH = b上截取ED = a,連結(jié)DA、DC, 則 AD = cbFa3a174 cc52 G又:Z CMD = 90，CM = a，Z AED = 90， AE = b，: EM = EH + HM = b + a , ED = a， DM = EM又:Z CMD = 90，CM = a，Z AED = 90， AE = b， Rt A AED 竺 RtADMC. Z E

9、AD = Z MDC，DC = AD = c: Z ADE + Z ADC+ Z MDC =180，Z ADE + Z MDC = Z ADE + Z EAD = 90， ZADC = 90作ABDC, CBDA，貝V ABCD是一個邊長為c的正方形.: Z BAF + Z FAD = Z DAE + Z FAD = 90， Z BAF=Z DAE連結(jié) FB,在 A ABF 和 A ADE 中,: AB =AD = c，AE = AF = b，ZBAF=ZDAE， A ABF 竺 A ADE, ZAFB = ZAED = 90, BF = DE = a.點B、F、G、H在一條直線上.在 Rt

10、A ABF 和 Rt A BCG 中，/ AB = BC = c, BF = CG = a, Rt A ABF 竺 Rt A BCGa 2 二 S + S37 c 2 二 S + S + S + Sb 2 a 2 二 S + S372 3 4 5 1 2 6S 二 S 二 S 二 S + S1 5 4 6 7 a 2 + b 2 二 S + S + S + S + S37126=S + S + S +（S + S ）2 3 1 6 7=S + S + S + S2345=c2a 2 + b 2 = c 2.DAD辛卜松證法：aab=c2a 2 + b 2 = c 2.DAD辛卜松證法：aabba Caba 2ababaa設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b,斜邊的長為c.作邊長是a+b的正 方形ABCD.把