高等代數下課外習題-線性變換

1、第七章線性變換判斷題 TOC o 1-5 h z ，一、 、一3，一 一 一3、1、在向重仝間R中，(x1,x2,x3) (2x1, x2, x2 x3),則 是R的一個線性變換.().2、 是向量空間V的線性變換，向量組1, 2,L , m線性相關，那么(1), ( 2),L , ( m)也線性相關.()._ _ _ . . _ . . . . 3在向量空間Rnx中，則微商(f(x) f(x)是一個線性變換.().4、線性變換在不同基下對應的矩陣是相似的().5、相似矩陣不一定是同一線性變換在不同基下的矩陣().6、向量空間V的線性變換的象與核都是的不變子空間.().7、屬于線性變換同一特征

2、根0的特征向量的線性組合仍是的特征向量.().8、在一個基下可以對角化，則在任何基下可以對角化.().9、設 為n維線性空間V的一個線性變換，則由 的秩+ 的零度=n ,有1V (V)(0).()10、n階方陣a至少有一特征值為零的充分必要條件是|A| 0 .().最小多項式是特征多項式的因式.()12、相似的矩陣有相同的特征多項式()13、設A Pnn, A的特征多項式有n個單根，則存在可逆矩陣T Pn n，使T 1AT具有對角形。()14、若 是數域P n維線性空間的線性變換，的特征值為1, 2, ，則 可對角化特征子空間的維數之和等于n。()是n維線性空間V的一個線性變換，則 V V。(

3、F)二、填空題a11 a2 a131、在V3的基 1, 2, 3下 的矩陣是Aa21 a22 a23a31 a32 a33那么 關于基 3, 12,2 1的矩陣是 .2、在F3中的線性變換(Xi,X2,X3) (2Xi x2,x2 X3,Xi)，那么 關于基1(1,0,0), 2(0,1,0), 3 (0,0,1)的矩陣是 3、( 0l A)X 0的 都是A的屬于0的特征向量4、設V是數域F上的n維向量空間，L(V),的不同的特征根是1, 2,L , t,則可對角化的充要條件是 .3275、矩陣024的特征根是.0056、復矩陣A(aij )n n的全體特征值的和等于 ,而全體特征值的積等于

4、7、數域P上n維線性空間V的全體線性變換所成的線性空間L(V)為 維線性空間, 它與 同構.8、設n階矩陣A的全體特征值為1, 2,L , n , f(x)為任一多項式，則f(A)的全體特征9、設A9、設A 1 3 ,則向量1是A的屬于特征值 的特征向量2 2111 0110、若 A 1 0 0 與 B 1 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 001011、n階方陣A滿足A2A,則k 001相似，貝U k =k 1A的特征值為12、設A是有限維空間V的線性變換，f (入)是A的特征多項式，那么 f (A尸113、已知三階實對稱矩陣A的特征值為1,2

5、 , 3,則A 的特征值為。A 014、A,A2的最小多項式分別是g1(x),g2(x),則矩陣 0 A2的最小多項式是 O1111 115、設四階矩陣 A與B相似，矩陣 A的特征值為 一,一，一，一，則行列式 B 1 E三、單選題:1、“有相同的特征多項式”這是兩個矩陣相似的（）條件。A充分B.必要 C.充分必要 D.以上都不對2、若線性變換與是（），則 的象與核都是的不變子空間。A互逆的B.可交換的C.不等白D.不可換的 TOC o 1-5 h z 3、同一個線性變換在不同基下的矩陣是（）合同的；相似的；相等的；正交的。4、設三階方陣 A有特征彳1為1 1, 21, 32,其對應的特征向量

6、分別是 Xi,X2,X3,1設 Px3,x2,x1 ,則 P AP=（）1001 0 020 02 0 0A. 010 B. 010 C. 010 D. 0 1000200 20010 015、設A為可逆方陣，則 A的特征值（）A .全部為零B.不全部為零C.全部非零D.全為正數6、設A為n階可逆矩陣，是A的一個特征值，A為A的伴隨矩陣，則A的特征值之一（）A. 1 An B. 1 A C. A D . An7、設A、B為n階方陣，且A與B相似，E為n階單位陣，則（）。（A）E A E B（B） A與B有相同的特征值和特征向量（C） A與B相似于一個對角矩陣（D）對任意常數t, tE A與tE

7、 B相似8、n階矩陣A與對角矩陣相似的充要條件是（）。（A） A的n個特征值互不相同（B） A可逆（C） A無零特征值（D） A有n個線性無關的特征向量 2、 1 ,*,一,9、設可逆矩陣 A有一個特征值為2,則（-A ）有一個特征值為（）。3,1,1,4,3（A）（B）（C）（D）一243410、n階方陣A具有n個線性無關的特征向量是A與對角陣相似的（）（A）充要條件（B）充分而非必要條件（C）必要而非充分條件（D）既非充分亦非必要條件四、計算題1112 0 01、設A242與80 2 01、設A3 3a00b32、 F3中，線性變換(1)求a, b的值； (2)求可逆矩陣，使 32、 F3

8、中，線性變換關于基 1(1,1,1),2(1,0,1),3(0,1,1)的矩陣為(1)求關于標準基(1)求關于標準基1, 2, 3的矩陣;(6、已知矩陣A= 00)設 1623，123,求()，()關于基 1 , 2 6、已知矩陣A= 00標.33、設 是 R 的線性變換，(x1，X2,X3) (X1 2x2 X3,X2 X3 ,X1 X2 2x3)(1)求Im()的一個基和維數；(2)求Ker()的一個基和維數.4、判斷矩陣A是否可對角化？若可對角化，求一個可逆矩陣T,使成對角形.1 3 3A 3 1 33315、在線性空間5、在線性空間Pn中定義變換u(Xi，X2，, xn)(0, X2,

9、 xn)(1)證明：(T是Pn的線性變換(2)求(Pn)與 1(o).000相似，求x和y的值，并求A的特征向量。1 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 0020 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 01與 B=0y HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 1x00求232對應的特征向量；求矩陣Ao19、設3階對稱矩陣 A的特征值為6, 3, 3,與特征值6對應的特征向量為 11 ，求A。110、設3階方陣A (a。)的每行元素

10、之和為3,且滿足AB O,其中 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 12B 0120判斷矩陣A是否可對角化？若可對角化，求一個可逆矩陣T,使成對角形.o五、證明題1、證明：若某向量組在線性變換下象線性無關，則該向量組也線性無關。2、Fx的兩個線性變換為：對任意 f (x) Fx, (f (x) f (x), (f (x) xf(x)證明：3、證明：若( ),g() ，則d() ，其中d(x)是Fx中多項式f(x)與g(x)的最大公因式。 3 ,4、令(x1,x2,x3)是R中任息向重，是線性變換：()(x x2,x2,x3 x2)試證可逆。5、設V的兩個線性變換與 是可變換的。試證 的象Im()與核Ker()都是 的不變子空間。6、若A是一個n階矩陣，且A2=A,則A的特征值只能是0和1.設A是n階矩陣，且有r(A