一元隨機(jī)變量以及分布

1、關(guān)于一元隨機(jī)變量及分布第1頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四一、隨機(jī)變量及分布21、隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果w (樣本點(diǎn)) ,都有唯一的實(shí)數(shù)X(w)與之對(duì)應(yīng)，則稱X(w)是一個(gè)隨機(jī)變量，簡記為R. V. X注意：(1)隨機(jī)變量X(w)實(shí)質(zhì)是函數(shù)， X(w)取值是值 域(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是隨機(jī)的， X(w)取值也是隨機(jī)(3)實(shí)驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)有一定概率， X(w)取值有一定概率離散型連續(xù)型取值為有限個(gè)和至多可列個(gè)的隨機(jī)變量.可以取區(qū)間內(nèi)一切值的隨機(jī)變量.、分類第2頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四二、離散型隨機(jī)變量及分布、離散型隨機(jī)變量定義

2、：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，如果X的所有可能取的值為有限個(gè)或可數(shù)個(gè)，則稱X為離散型隨機(jī)變量，記為 D.R.V X2、離散型隨機(jī)變量的概率分布：設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，可能取的值為 ，則稱 為X的概率分布或分布列3、分布列的性質(zhì)（1） （2）4、求分布列的步驟： （1）明確X的含義及一切可能取值。（2）利用概率的計(jì)算方法，計(jì)算X取各值的概率。3第3頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四例1設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，試用一個(gè)隨機(jī)變量描述該項(xiàng)一次試驗(yàn)的結(jié)果,求分布列。2/31/3P10X解:設(shè)X為一次試驗(yàn)的成功次數(shù)4由已知條件求隨機(jī)變量分布列的例題例、袋中有只同樣大小的球，編號(hào)為、

3、從中同時(shí)取出只球，以X表示取出的球的最大號(hào)碼，求X的概率分布6/103/101/10P543X解:設(shè)X取出的球的最大號(hào)碼第4頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四例3設(shè)一試驗(yàn)成功的概率為p(0p1),接連重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn),直到首次成功出現(xiàn)為止,求試驗(yàn)次數(shù)的概率分布.解 設(shè)X表示試驗(yàn)次數(shù),X取值為1,2,.,n,., PX=1=p, PX=2=(1-p)p, ., PX=n=(1-p)n-1p.,記 q=1-p, 則X的概率分布為:幾何分布PX=n=qn-1p, (n=1,2,.)5第5頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四 例4某射手有五發(fā)子彈，每次射擊命中目標(biāo)

4、的概率為.，如果命中就停止射擊，不命中就一直射到子彈用盡。（1）射擊次數(shù)X的分布列Y=5-X（）求子彈剩余數(shù)Y的分布列6解:(1)第6頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四例5一袋中有5個(gè)新球，3個(gè)舊球。每次從中任取一個(gè)，有下述兩種方式進(jìn)行抽樣，X表示直到取得新球?yàn)橹顾M(jìn)行的抽樣次數(shù)：（1）不放回地抽??；（2）有放回地抽取。求X的分布列。幾何分布7第7頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四例6一汽車沿一街道行駛，需要通過三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口。每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其它信號(hào)燈為紅或綠獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)顯示時(shí)間相等。以X表示汽車首次遇到紅燈前已通過的路口數(shù)

5、，求X的概率分布。8第8頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四例7設(shè)一個(gè)試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果：成功或失敗，且每次試驗(yàn)成功的概率為P現(xiàn)反復(fù)試驗(yàn)，直到獲得K次成功為止以X表示獲得K次成功時(shí)的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，求X的概率分布910-1分布均勻分布幾何分布常用離散型分布第9頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四三、分布函數(shù)1、定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x為任意實(shí)數(shù)，函 數(shù) 稱為X的分布函數(shù)2、性質(zhì)： （1） （2） 是非減函數(shù) （3） （4） 右連續(xù)， 即 10第10頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四下列四個(gè)函數(shù)中，不能作為隨機(jī)變量分布函數(shù)的是解:故選11

6、第11頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四例.X 的概率分布是：求其分布函數(shù)解：當(dāng) 分布函數(shù)為 12第12頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四四、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) 1、分布列與分布函數(shù)的關(guān)系：3、分布函數(shù)、分布列與事件概率的關(guān)系13第13頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四例X的概率分布是：則其分布函數(shù)解：當(dāng) 分布函數(shù)為 -14第14頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四例2.若X的概率分布如下，分別求其分布函數(shù)X01P1/32/3X345P1/103/106/1015第15頁，共35頁，2022年，5月20

7、日，15點(diǎn)6分，星期四1、定義：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，如果存在非負(fù)函數(shù)f(x)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)X有： 則稱X是連續(xù)型隨機(jī)變量，記為:C.R.V X稱f(x)是X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度 五、連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度2、概率密度的性質(zhì)：連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)處處連續(xù)16第16頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四3、密度函數(shù)和分布函數(shù)與事件概率的關(guān)系4、密度函數(shù)和分布函數(shù)的關(guān)系17第17頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四例下列函數(shù)可以作為某一連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度的是_解:(A)（B），（C）中的函數(shù)不是非負(fù)函數(shù)判斷函數(shù)是否為某連續(xù)隨機(jī)

8、變量的密度函數(shù)18第18頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四例若f(x),g(x)均在同一區(qū)間a,b上是概率密度函數(shù)試證(1) f(x)+g(x)不是這區(qū)間上的概率密度函數(shù)(2)對(duì)任一數(shù) （0 ）, f(x)( ) g(x)是 這個(gè)區(qū)間上的概率密度函數(shù)故f(x)+g(x)不是這區(qū)間上的概率密度函數(shù)故 f(x)( ) g(x)是 這個(gè)區(qū)間上的概率密度函數(shù)19第19頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四例若C. R .V X的概率密度是，求待定參數(shù)B及P0X0.5 已知某連續(xù)隨機(jī)變量的密度函數(shù)或分布函數(shù)求其中的未知參數(shù)并利用密度函數(shù)或分布函數(shù)求事件的概率20第

9、20頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四例2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為試確定常數(shù)b的值及PX221第21頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四例3連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為： （1）試確定常數(shù)的值（）如果概率 試確定常數(shù)b 的值。書P68 622第22頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四（2）求P1X3例4.若C .R. V X的分布函數(shù)是求（）待定參數(shù)A，B，C。23第23頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四（2）求PX例.服從柯西分布的隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是求（）待定參數(shù)A，B24第24頁，共35頁，202

10、2年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四例1服從指數(shù)分布的RVX的概率密度為求：X的分布函數(shù) 解：已知密度函數(shù)求分布函數(shù)；已知分布函數(shù)求密度函數(shù)25第25頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四例2若C. R .V X的概率密度是，求X的分布函數(shù) 26第26頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四例3設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為試求X的分布函數(shù)27第27頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四例4連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為： 求X的分布函數(shù)書P68 6解:28第28頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四求X的密度函數(shù)例5.服從柯

11、西分布的隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是例6.若C .R. V X的分布函數(shù)是求X的密度函數(shù)求X的分布函數(shù)29第29頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四例7.某型號(hào)電子管，其壽命為一隨機(jī)變量，概率密度為某一個(gè)電子設(shè)備內(nèi)配有三個(gè)這樣的電子管，求電子管使用小時(shí)都不需要換的概率又設(shè)A為個(gè)電子管使用小時(shí)都不需要換30第30頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四例8.某城市每天用電量不超過百萬千瓦小時(shí)，以X表示每天的耗電率（用電量除以百萬千瓦小時(shí)），它具有概率密度：若該城市每天的供電量僅為80萬千瓦小時(shí)求：供電量不夠需要的概率 故供電量不夠需要的概率為831第31頁，共35頁

12、，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四六、一元隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，y=g(x)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，則Y=g（X）也是一個(gè)隨機(jī)變量，稱它為隨機(jī)變量X的函數(shù)離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布：設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，Y=g（X）也是離散型隨機(jī)變量，并且Y的概率分布可由X的概率分布來確定，設(shè)X的概率分布為：(1)如果 各的值各不相等,則Y=g（X）的概率分布為 （2）如果各 有相等的情形,則應(yīng)把那些相等的值分別合并，并根據(jù)概率的加法公式把相應(yīng)的相加，就得到Y(jié)的概率分布32第32頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四已知X的分布列,分別求其函數(shù) 的分布列解：33第33頁，共35頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)6分，星期四）判斷一數(shù)學(xué)形式是否為某隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)形式）已知離散型隨機(jī)變量的分布列，求其分布函數(shù)