立體幾何中的向量方法83862

1、 平面aB的法向量分別為n和m則11ano-11ano-【即時(shí)應(yīng)用】(1)若平面aB的法向量分別為a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),并且a丄B,貝Sx的值為(2)若直線M，l2的方向向量分別為a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),則直線1討2的位置關(guān)系是3空間角的向量求法(1)異面直線所成角的求法：設(shè)a、b分別是兩異面直線(2)直線和平面所成角的求法b12的方向向量，li與12所成角為B,貝ycosB貝ycosB=|cos|=如圖所示，設(shè)直線I的方向向量為e，平面a的法向量為n直線I與平面直線I與平面a所成的角為，兩向量e與n的夾角為0，則有二面角的求法如圖a,AB、CD是二

2、面角a-I-B的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱I垂直的直線，則二面角的大小0=.如圖b、C,n1和n2分別是二面角a-I-B的兩個(gè)半平面a,3的法向量，則二面角的大小0滿足COSOMOSv，n2或-COSv，n2【即時(shí)應(yīng)用】已知向量m和n分別是直線I和平面a的方向向量和法向量,1若COSvm,n=-Q,則I與a所成角的大小為(2)長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB=AAQ=2,AD=1,E為CCQ的中點(diǎn)，則異面直線BCq與AE所成角的余弦值為Q4.點(diǎn)到平面的距離的向量求法如圖，設(shè)AB為平面a的一條斜線段，n為平面a的法向量則點(diǎn)B到平面a的距離d=畑1（即向量AB在向量n上的投n影長(zhǎng)）【即時(shí)應(yīng)用】已知在長(zhǎng)

3、方體ABCDA1B1C1D1中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4,則點(diǎn)Aq到截面ABqDq的距離是,、應(yīng)用舉例1利用空間向量證明平行和垂直1)用向量證平行的方法線線平行：證明兩直線的方向向量共線.線面平行:證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直;證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行面面平行:證明兩平面的法向量為共線向量；轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問(wèn)題2).用向量證明垂直的方法線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零.線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示.面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄?/p>

4、表示.【例1】(1)若直線I的方向向量為a，平面a的法向量為n,能使I/a的是()(A)；I=(1,0,0),nI=(-2,0,0)(B)a=(1,3,5),n=(1,0,1)(C)a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)(D)a=(1,-1,3),n=(0,3,1)(2)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中,PC丄平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中，/B=/C=90,AB=4,CD=1,點(diǎn)M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30的角求證:CM/平面PAD;求證:平面PAB丄平面PAD.2用空間向量求空間的角異面直線所成角的求法利用空間向量求異面直線所成的角可利用直線的方向向量

5、轉(zhuǎn)化成向量所成的角利用向量求線面角的方法分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角3求二面角的常用方法(1)分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.(2)分別在二面角的兩個(gè)平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小【例2】如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A丄平面ABCD,AD/BC/FE,AB丄AD,M為EC的中點(diǎn)，AF=AB

6、=BC=FE=推FKT求異面直線BF與DE所成角的大??；證明：平面AMD丄平面CDE;B_(3)求二面角A-CD-E的余弦值3求空間的距離求平面a外一點(diǎn)P到平面a的距離的步驟!(1)求平面a的法向量n；在平面a內(nèi)取一點(diǎn)A,確定向量ap的坐標(biāo)；(3)代入公式&=吐巳求解.|n|【例3(1)在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則點(diǎn)C1到平面A1ED的距離是(2)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a.求點(diǎn)C1到平面AB1D1的距離；求平面CDD1C1與平面AB1D1所成的二面角的余弦值.4用空間向量解決探索性問(wèn)題探索性問(wèn)題的類型及解題策略探索性問(wèn)題分為存在判斷

7、型和位置判斷型兩種：(1)存在判斷型存在判斷型問(wèn)題的解題策略是：先假設(shè)存在，并在假設(shè)的前提下進(jìn)行推理，若不出現(xiàn)矛盾則肯定存在，若出現(xiàn)矛盾則否定假設(shè).(2)位置判斷型與平行、垂直有關(guān)的探索性問(wèn)題的解題策略為：將空間中的平行與垂直轉(zhuǎn)化為向量的平行或垂直來(lái)解決與角有關(guān)的探索性問(wèn)題的解題策略為：將空間角轉(zhuǎn)化為與向nnTH量有關(guān)的問(wèn)題后應(yīng)用公式C0S9=十(其中n，n2是兩平面的|n|n2|法向量或兩直線的方向向量)即可解決.【例4】如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=AC,D為BC的中點(diǎn)，PO丄平面ABC,垂足0落在線段AD上，已知BC=8,PO=4,A0=30D=2(1)證明：AP丄BC;在線段AP上是否存在點(diǎn)M,使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【例5】如圖，四棱錐P-ABCD中,PA丄底面ABCD.四邊形ABCD中，