直線與平面垂直練習(xí)題-

1、直線與平面垂直練習(xí)題、解答題1如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA丄平面ABCD，底面ABCD為直角梯形,AD/BC,ZABC=90。,SA二AB=1,BC二邁.1求證：BA丄平面SAD；2求異面直線AD與SC所成角的大小.2.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA丄AC,PC丄BC,M為PB的中點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，且AMB為正三角形.(1)求證：BC丄平面PAC；若PA=2BC，三棱錐P-ABC的體積為1,求點(diǎn)B到平面DCM的距離.3如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，/BAD=60。，N是PB的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，過A,D,N的

2、平面交PC于點(diǎn)M.求證：EN/平面PDC；求證：BC丄平面PEB；求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.A4如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAB丄平面ABC,AB=6,BC二23,AC二26,d為線段AB上的點(diǎn)，且AD=2DB,PD丄AC.1.求證:PD丄平面ABC；n2若ZPAB二-，求點(diǎn)B到平面PAC的距離.5如圖所示，在三棱錐A-BCD中，O,E分別是BD,BC的中點(diǎn),CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=Q1求證：AO丄平面BCD；2求異面直線AB與CD所成角的余弦值；6.如圖，在三棱錐PABC中,AB=BC=2、遼,PA=PB=PC=AC=4,0為AC的中點(diǎn).1.證明：PO丄平面

3、ABC；2若點(diǎn)M在棱BC上，且MC=2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離.7.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，上BAD=60。,PA丄平面ABCD,E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn).求證：DF丄平面PAB求證:BEII平面PDF.AA1=AB,ABC二90。側(cè)面兔ABB丄底面ABC.1求證:AB】丄平面兔BC；2.若AC二5,BC二3,ZAAB二60。，求三棱柱ABCABC的體積.9.直三棱柱ABCABC中,AC二BC二AA二4,AC丄BC.c1.證明:AC丄平面ABC;2設(shè)四邊形AACC的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為D,求三棱錐C-ABD的體積.111110如圖,D是AC的中點(diǎn)，四邊形BD

4、EF是菱形，平面BDEF丄平面ABC,ZFBD=60。,AB丄BC，AB二BC二邁.1若點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，證明:BF丄平面AMC；2求六面體ABCDE的體積.11.如圖,三角形ABC中，ACBC=AB，abed是邊長為1的正方形，平面abed丄平面ABC，若G,F分別是EC,BD的中點(diǎn).1求證：GF/平面ABC；2求證：AC丄平面EBC；3求幾何體ADEBC的體積.二、計(jì)算題_12如圖，在直三棱柱ABC-ABC中,AA12勇，AC2AB4，ZBAC60。/?/?1證明：BC丄平面ABCC；2求三棱錐C1ABB的體積。參考答案、解答題答案：1.證明：SA丄平面ABCD,ADu平面ABCDSA丄B

5、A又.ZABC=90。,ADIIBC,.BA丄AD,又SAcAD=A,BA丄面SAD.ADIIBC,異面直線AD與SC所成角是ZBCS或其補(bǔ)角，BC丄SA,BC丄BA，且SAcBA=A,BC丄平面SAB,SBu平面SAB,.BC丄SB在RtASAB中，丁SB2=SA2+AB2=2,BC=f2,.ZBCS=45。,異面直線AD與SC所成角的大小為452答案：（1）證明：在正AMB中，d是AB的中點(diǎn)，所以MDAB.因?yàn)镸是PB的中點(diǎn)，D是AB的中點(diǎn)，所以MDIIPA，故PA丄AB.又PA丄AC，ABcAC=A,AB,ACu平面ABC，所以pA丄平面ABC.因?yàn)锽Cu平面ABC，所以PA丄BC.又P

6、C丄BC,PAcPC=P,PA,PCu平面PAC,所以BC丄平面PAC.(2)設(shè)(2)設(shè)AB=x，則3PB二2MD-衣BC七，AC二11三棱錐P-ABC的體積為V=-S-PA=-x3=1，得x=23ABC8設(shè)點(diǎn)B到平面DCM的距離為億因?yàn)锳MB為正三角形，所以AB=MB=2.因?yàn)锽Cf3BC丄AC，所以AC=1.iiiii_.3所以=2S-abc=2X2XBCXAC=2X22=+因?yàn)樗?空3,由（1）知MD/PA，所以MD丄DC.在ABC中,CD=在ABC中,CD=2AB=1，所以SMCD-_：3=2XMDXCD=2-3X1=A因?yàn)閂=V，M-BCDB-MCD，3=TOC o 1-5 h z所

7、以1S-MD=1S-，3=3BCD3MCD HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 33所以h二三故點(diǎn)B到平面DCM的距離為丁解析：3答案：（1）因?yàn)锳D/BC，BCu平面PBC，ADg平面PBC，所以AD/平面PBC.又平面ADMNc平面PBC=MN，所以AD/MN.又因?yàn)锳D/BC，所以MN/BC.1又因?yàn)镹為PB的中點(diǎn)，所以M為PC的中點(diǎn)，所以MN=BC.11因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，DE=AD=BC=MN，所以DE/MN，所以四邊形DENM為平行四邊形，所以EN/DM.又因?yàn)镋Ng平面PDC，DMu平面PDC，所以EN/平面PDC.因?yàn)樗倪呅蜛BC

8、D是邊長為2的菱形，且ZBAD=60。,E為AD中點(diǎn)，所以BE丄AD又因?yàn)镻E丄AD,PEnBE=E，所以AD丄平面PEB.因?yàn)锳D/BC，所以BC丄平面PEB.(3)如圖建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,則則A(-1,0,0),Bk,V3,0),C(2,J3,o)PC,0,V3)ABCo)ABCo),PB丄八廳,-爲(wèi)),BC=(-2,0,0).設(shè)平面PBC的法向量設(shè)平面PBC的法向量n=(x,y,z)，則、；3y-3z=0-2x=0nx=0,y=z，令y=1,n=(0n=(0丄1),J6直線AB與平面PBC所成角的正弦值為解析：4答案：1.連接CD，據(jù)題知AD=4,BD=2,AC2+BC2=AB

9、2,ZACB=90。,.cosZABC=蘭3=3,63CD2=22+(2問2-2x2x2腭cosZABC=8,.CD=2邁,CD2+AD2=AC2，則CD丄AB.平面PAB丄平面ABC,CD丄平面PAB,.CD丄PD,PD丄AC,ACcCD=C,PD丄ABC.2由題1得PD丄AB,ZPAB=n，.PD=AD=4,PA=4邁,4在RtAPCD中,PC=JPD2+CD2=26,PAC是等腰三角形,.可求得sApac=8244設(shè)點(diǎn)B到平面PAC的距離為d,sxPD由V=V，得Sxd=SxPD,d=TABC=3.B_PACP-ABC3PAC3ABCSPAC故點(diǎn)B到平面PAC的距離為3.解析：5答案：1

10、.證明：連接OC.BO=DO,AB=ADAO丄BD.BO=DO,BC=CDCO丄BD在AOC中，由已知可得AO=1,CO=運(yùn),而AC二2,AO2+CO二AC2/.ZAOC=90。，即AO丄OCBDOC=O/.AO丄平面BCD2.取AC的中點(diǎn)M，連接OM,ME,OE由E為BC的中點(diǎn)知MEIIAB,OE/DC直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角.在OME中,EMOM是RtAAOC斜邊AC上的中線.-OM=AC=12./cosZOEM=解析：6答案：1證明：連接BO，由于AB=BC,O為AC的中點(diǎn)，則BO丄AC。99由勾股定理得：BO2+OC2二BC2,1而OC=-AC=2,BC二

11、2邁,2所以B0=2在MAC中，0為AC中點(diǎn)，PA=PC=AC=4,所以P0丄AC,由勾股定理得P0=pA2-A02=-6-4=2爲(wèi)。由于B0=2,PB=4，則PB2二P02+B02,故P0B是直角三角形，且P0丄B0由于B0DAC=0，則P0丄平面ABC。2連接0M，過M作MD丄AC于點(diǎn)D，因?yàn)镻0丄平面ABC所以P0丄MD，又MD丄AC，所以MD丄平面PAC。由于BC=241，MC=2MB，24忑則MC二3BC二亍。在ABC中，由于0B=0C=2，BC二2近，則A0BC是等腰直角三角形，且ZC=45。4則MD=DC=MCcosC，則0D則0D=0CDC33在Rt在RtAMOD中，由勾股定理

12、有:25MMD2+。2-亍由于P0由于P0丄0M，則SAp0m-0M-P02而而V-P0-S-P0丄xC0-DMPM0C3AM0C32設(shè)點(diǎn)C到平面POM的距離為d。1設(shè)點(diǎn)C到平面POM的距離為d。1二V二一d-S。C-POM3POM則Vp-MOC故d=3VPMOCSPOM即點(diǎn)C到平面POM的距離為琴。解析：7答案：（1）連BD,.在菱形ABCD中，ZBAD=60。.ABD為等邊三角形，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，DF丄AB,又PA丄平面ABCD,DFu平面ABCD,PA丄DF,/APnAB=A,DF丄平面PAB,(2)證明：取PD中點(diǎn)G點(diǎn)，連EG,E、G分別是PC,PD中點(diǎn)，TOC o 1-5 h z11E

13、G/CD且EG二一CD22又FB/丄CD且FB二丄CD,22EG/FB且EG_FB。四邊形EBFG是平行四邊形，.BE/FG/BE乞平面PDF，F(xiàn)Gu平面PDF,.BE/平面PDF.解析：8答案：1.在側(cè)面名ABB中,名A二AB,四邊形名ABB為菱形,.AB丄AB.11側(cè)面AABB丄底面ABC,ZABC二90。,.CB丄平面AABB./ABu平面AABB.CB丄AB1111又ABBC二B,.AB丄平面ABC.1112如圖，過A1作D丄AB，垂足為D.平面ABC丄平面AABB，平面ABCc平面AABB二AB,1111A1D丄平面ABC,.A1D為三棱柱ABC-A1BU的高.BC二3,AC二5,ZABC二90。,AB=4,又AA=AB,Z”AB二60。,.AB為等邊三角形,.AD二二xAB二2j3.12BBBC二BiBCu平面BCCBBCBC丄平面ABC11由已知可得四邊形BCCB為正方形nBC丄BC1111ABC1BC二B12解法一在AABC中，AC=4,AB=2，且ZBAC=60。，所以BC/42+22-2x4x2xcos60P二2J3，故AB丄BC，又BC丄BB,所以BC丄平面ABB，又BC