壓軸題命題區(qū)間(六) 增分點 直線與圓專練

1、增分點7直線與圓專練一、選擇題1與直線x+y2=0和曲線x2+y212x1勿+54=0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A(x+2)2+(y2)2=2B(x2)2+(y+2)2=2C(x+2)2+(y+2)2=2D(x2)2+(y2)2=2解析：選D由題意知，曲線方程為(x6)2+(y6)2=18,過圓心(6,6)作直線x+y2=0的垂線，垂線所在直線方程為y=x,則所求的最小圓的圓心必在直線y=x上.又(6,6)到直線x+y-2=0的距離=16+6221=5；2，故最小圓的半徑為“J2,圓心坐標(biāo)為(2,2),所以半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-2)2=2.已知直線Z：x+與一1

2、=0(aGR)是圓Czx2+y24x2y+1=0的對稱軸.過點A(4,a)作圓C的一條切線，切點為，則ABI=()A.2B.4)2C.6D.2,10解析：選C圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=4,圓心為C(2,1),半徑r=2,因此2+a-1=0,a=-1,即A(-4,-1),ABI=：AC|2-r2=p(2+4)2+(1+1)2-4=6若曲線y=1+J4x2與直線kxy2k+4=0有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是()1212故實數(shù)k的取值解析：選C注意到y(tǒng)M1,曲線y=1+；4x2是圓x2+(y-1)2=4在直線y=1的上方部分的半圓.又直線kx-y-2k+4=0y-4=k(

3、x-2)知恒過定點A(2,4).如圖，由B(-2,1),413知kAB=2-(-2)=4,當(dāng)直線與圓相切時,范圍是023_X+yW4,4.已知點P的坐標(biāo)(x,y)滿足y：x,過點P的直線l與圓C：x2+y2=14相交xN1,于A,B兩點，則ABI的最小值是()A.26B.4C/6D.2解析：選B根據(jù)約束條件畫出可行域如圖中陰影部分所示.471_-71設(shè)點P到圓心的距離為d,求ABI的最小值等價于求d的最大值，易知dmax=寸12+32=；10,所以ABIu2寸14一10=45.已知P是過三點0(0,0),A(1,1),B(42)的圓M上一點，圓M與x軸、y軸的交點(非原點)分別為S,T,則IP

4、SMP71的最大值為()A.25B.50C.75D.100解析：選B設(shè)圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0).F=o,貝D+E+F+2=0,、4D+2E+F+20=0,解得D=8,E=6,F=0所以圓M的方程為x2+y28x+6y=0,即(x4)2+(y+3)2=25令y=0,得x28x=0,解得x=0或x=8令x=0,得y2+6y=0,解得y=0或y=6所以S(8,0),T(0,6).而圓心(4,一3)在直線ST上,所以PS丄PT即IPSI2+PT|2=(2r)2=100.所以IPSIIPTI1(IPS|2+IPT|2)=50.所以(PSIIPTI)=50.max6

5、.(2018合肥質(zhì)檢)設(shè)圓兀2+y2_2r_2y_2=0的圓心為C,直線l過(0,3)與圓C交于A,B兩點，若IABI=2；3，則直線l的方程為()3x+4y_12=0或4x_3y+9=03x+4y_12=0或兀=04x_3y+9=0或兀=03r_4y+12=0或4r+3y+9=0解析：選B當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=0,計算出弦長為2：3,符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為y=kx+3,由弦長為2”J3可知，圓心到該直線的距離為1,從而有到該直線的距離為1,從而有Ik+2I2+1=1,解得k=4，所以直線l的方程為3x+4y-12=0綜上，直線l的方程為x=0或

6、3x+4y-12=0.7.若過點P(2,1)的直線l與圓C：x2+y2+2r4y_7=0相交于兩點A,B,且ZACB=60(其中C為圓心)，則直線l的方程是()A.4x_3y_5=0B.x=2或4x_3y_5=0C.4x_3y+5=0D.x=2或4x_3y+5=0解析：選B由題意可得，圓C的圓心為C(-1,2)，半徑為2.3因為ZACB=60。，所以ABC為正三角形，邊長為2竹，所以圓心C到直線l的距離為3若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=2，與圓相交且圓心C到直線l的距離為3,滿足條件；若直線l的斜率存在，不妨設(shè)ll的斜率存在，不妨設(shè)l:y-1=k(x-2)，則圓心C到直線l的距離d

7、=I3k+1IXk2+1=3，解得k4=3,所以此時直線l的方程為4x-3y-5=0.8已知直線x+y_k=0(k0)與圓x2+y2=4交于不同的兩點A,B,O是坐標(biāo)原點，且有IOA+OBIMIilF|，那么k的取值范圍是()A.&3,+8)B.五，+8)C.h-2,2-J2)D.h3,2邊)解析：選C當(dāng)IOA+OBBI=33|Ag|時，O,A,B三點為等腰三角形的三個頂點，其中OA=OB,NAOB=120。，從而圓心O到直線x+y-k=0(k0)的距離為1,此時k=遠(yuǎn).當(dāng)無)2時，idf+OBl33|J|又直線與圓兀2+護=4有兩個不同的交點，故無2遠(yuǎn)，綜上,k的取值范圍為V2,2/2).9

8、.若圓(x3)2+(y+5)2=r2上有且只有兩個點到直線4x-3y-2=0的距離等于1則半徑r的取值范圍是()A.(4,6)B.4,6C.(4,5)D.(4,5|m+2|解析：選A設(shè)直線4x-3y+rn=0與直線4x-3y-2=0間距等于1則有廠=1,m=3或m=-7.圓心(3,-5)到直線4x-3y+3=0的距離等于6,圓心(3,-5)到直線4x-3y-7=0的距離等于4,因此所求的圓的半徑的取值范圍是(4,6).10.已知圓C關(guān)于x軸對稱，經(jīng)過點(0,1),且被y軸分成兩段弧，弧長之比為2：1,則圓的方程為()此罟)2此罟)2+護=3解析：選C法一：(排除法)由圓心在x軸上，可排除A、B

9、,又圓過(0,1)點，故圓的半徑大于1,排除D,選CyByB法二：(待定系數(shù)法)設(shè)圓的方程為(x-a)2+y2=r2,圓C與y軸交于A(0,1),B(0,-1),*1TI1由弧長之比為2：1,易知ZOCA=1ZACB=1X120=60,則tan60=而=而，所以a=IOCa=IOCI=，即圓心坐標(biāo)為(，0),r2=ACI2=12+4=3所以圓的方程為+y2=411.已知圓O：x2+y2=1,圓m：(xa)2+(ya+4)2=1若圓M上存在點P,過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A,B,使得ZAPB=60,則實數(shù)a的取值范圍為.解析：如圖，圓O的半徑為1,圓M上存在點P,過點P作圓O的兩條切線，

10、切點為A,B,使得ZAPB=60,則NAPO=30,在RtPAO中，IPOI=2,IPOI.=IMOI1,IPOI=IMOI+1,minmax|MOI=；a2+(a-4)2,由Ja2+(a-4)2-1W2W、Ja2+(a-4)2+1,解得2乎WaW2+#答案:I?，2+12.已知圓O：兀2+y2=9,過點C(2,1)的直線l與圓O交于P,Q兩點，則當(dāng)OPQ的面積最大時，直線l的方程為()兀一y3=0或7xy15=0 x+y+3=0或7x+y15=0 x+y3=0或7xy+15=0 x+y3=0或7x+y15=0解析：選D當(dāng)直線l的斜率不存在時，則l的方程為x=2,則P,Q的坐標(biāo)為(2,5),(

11、2,-V5),所以S“pq=2X2X2、/5=275當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y-1=k(x八99-丿2=2，當(dāng)且僅當(dāng)9-d2=d2，即d2=2時，S,則圓心到直線PQ的距離d=2,又PQ八99-丿2=2，當(dāng)且僅當(dāng)9-d2=d2，即d2=2時，S=2x2麗五心=陌二d20W9-d2+d29l994k24k+19OPQ取得最大值2因為2詬2,所以SgpQ的最大值為2此時k2+1=9,解得k=-1或k=-7,此時直線l的方程為x+y-3=0或7x+y-15=0.二、填空題13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓(x2)2+(y2)2=1上存在點M,使得點M關(guān)于x軸的對稱點N在直線kx+y+3=

12、0上，則實數(shù)k的最小值為.解析：法一：由題意，設(shè)M(2+cos0,2+sin0),則N(2+cos,-2-sin0),將N的坐標(biāo)代入kx+y+3=0,可得sin0-kcos0=2k+1.因為sin0-kcos0=k2+1sin(0),其中tantp=k,所以I2k+1IW：k2+1，即3k2+4kW0,解得一fwkW。，故k的最小值為一43-法二：圓(x-2)2+(y-2)2=1關(guān)于x軸對稱的圓的方程為(x-2)2+(y+2)2=1.問題轉(zhuǎn)化為直線Ax+y+3=0與圓(x-2)2+(y+2)2=1有公共點N.12k2+31|所以2+1W1,即l2k+HWk2+l,4解得一gWkwo,4故k的最

13、小值為一3.答案：一414.(2016全國卷III)已知直線l：x-j3y+6=0與圓x2+y2=i2交于A,B兩點，過A,B分別作B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點，則ICDl=.:k=，:ZBPD=30,AB3從而NBDP=60在RtABOD中，OBI=2V3,ODI=2取AB的中點H,連接OH,則OH丄AB,OH為直角梯形ABDC的中位線，OCI=ODI,ICDI=2IODI=2X2=4答案：415.已知A(2,0),B(0,2)，實數(shù)k是常數(shù)，M,N是圓x2+y2+kx=0上不同的兩點,P是圓x2+y2+kx=0上的動點，如果M,N關(guān)于直線xy1=0對稱，則APAB面積的最大值是.解析：由題意知圓心(一20在直線xy1=0上，所以一1=0,解得k=2,得圓心的坐標(biāo)為(1,0)，半徑為1又知直線AB的方程為xy+2=0,所以圓心(1,0)到直線AB的距離為昭，所以AB的距離為昭，所以APAB面積的最大值為2x22X（1+32）=3+詁2.答案：3+遠(yuǎn)16.兩條平行直線和圓的位置關(guān)系定義為：若兩條平行直線和圓有四個不同的公共點則稱兩條平行線和圓“相交”；若兩條平行直線和圓沒有公共點，則稱兩條平行線和圓“相離”；若兩條平行直線和圓有一個，兩個或三個不同的公共點，則稱兩條平行線和圓“相切，已知直線