線性重點(diǎn)規(guī)劃的常見(jiàn)題型及其解法教師版題型全歸納好

1、卷課題線性規(guī)劃的常用題型及其解法答案線性規(guī)劃問(wèn)題是高考日勺重點(diǎn)，而線性規(guī)劃問(wèn)題具有代數(shù)和幾何日勺雙重形式，多與函數(shù)、平面向量、數(shù) 列、三角、概率、解析幾何等問(wèn)題交叉滲入，自然地融合在一起，使數(shù)學(xué)問(wèn)題日勺解答變得更加新穎別致.歸納起來(lái)常用日勺命題探究角度有：1 .求線性目日勺函數(shù)勺最值.求非線性目日勺函數(shù)勺最值.求線性規(guī)劃中勺參數(shù).線性規(guī)劃日勺實(shí)際應(yīng)用.本節(jié)重要解說(shuō)線性規(guī)劃日勺常用基本類(lèi)題型.圄鼬展現(xiàn)x+yN3，【母題一】已知變量x，y滿足約束條件L-y-1，則目日勺函數(shù)z=2x+3y日勺取值范疇為（）2xyW3，A. 7，23B. 8，23C. 7，8D. 7，25三-二=二】 求此類(lèi)目曰勺函

2、數(shù)曰勺最值常將函數(shù)z=ax+by轉(zhuǎn)化為直線曰勺斜截式：y=axb，通過(guò)求 直線曰勺截距|曰勺最值，間接求出z曰勺最值.x+y3，表達(dá)曰勺平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,【解析】畫(huà)出不等式組卜一yA1, 、2xyW3,表達(dá)曰勺平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,由目曰勺函數(shù)z=2由目曰勺函數(shù)z=2x+3y得y=一爭(zhēng)+號(hào)，平移直線y=2一芋知在點(diǎn)g處目曰勺函數(shù)取到最小值，解方程組x+y=3,Jxx+y=3,Jx=2,得1 、2xy=3,y=1,因此B(2,1), zmin=2X2+3X1=7，在點(diǎn)A處目曰勺函數(shù)取到最大值，解方程組xy= 1, 2xy=3,x=4b=5因此 A（4,5）, max = 2X4

3、+ 3X5 = 23-【答案】Ax4y+3W0,【母題二】變量x, y滿足13x+5y-250,、xN1,設(shè)z=f，求z日勺最小值；2x1設(shè)z=x2+y2，求z勺取值范疇；設(shè)z=x2+y2+6x4y+13，求z勺取值范疇.1 】，點(diǎn)、(x, y)在不等式組表達(dá)曰勺平面區(qū)域內(nèi)，2二1 =|-廣 表達(dá)點(diǎn)(x, y)和& 0)連線曰勺斜*x率；x2+y2表達(dá)點(diǎn)(x, y)和原點(diǎn)距離曰勺平方；x2+y2+6x4y+13 = (x+3)2+(y2)2表達(dá)點(diǎn)(x, y)和點(diǎn)(一3,2) 曰勺距離曰勺平方.x4y+3W0,【解析】由約束條件”x+5y25W0,作出(x, y)曰勺可行域如圖所示.、xN1,解

4、得A(1,習(xí)解得A(1,習(xí)解得 C(1,1).解得 B(5,2).由,、3x+5y25 = 0,.fx=1,由,、x4y+3 = 0,x4y+3=0,由、3x+5y25 = 0,.，z= y =y%2x 1 x2.一 一一 (1、.、一 . _20 1 2.z曰勺值即是可行域中曰勺點(diǎn)與(2, 0)連線曰勺斜率，觀測(cè)圖形可知z . =7XT=2.2min _12 952(2)z=x2+y2曰勺幾何意義是可行域上曰勺點(diǎn)到原點(diǎn)O曰勺距離曰勺平方.結(jié)合圖形可知，可行域上曰勺點(diǎn)到原點(diǎn)曰勺距離中，dmin=IOCI=V2, dmax=!OBI=/29.2WzW29.(3)z=x2+y2+6x4y+ 13

5、= (x+3)2+(y2)2 曰勺幾何意義是:可行域上曰勺點(diǎn)到點(diǎn)(一 3,2)曰勺距離曰勺平方.結(jié)合圖形可知，可行域上曰勺點(diǎn)到(一 3,2)曰勺距離中，d . =1( 3)=4, mindmaxdmax= ：(35)2+(22)2=816WzW64.=F5：E -技 15=求目日勺函數(shù)日勺最值日勺一般環(huán)節(jié)為：一畫(huà)二移三求.其核心是精確作出可行域，理解目日勺函數(shù)日勺意 義.常用日勺目日勺函數(shù)有：截距型：形如z=ax+by.求此類(lèi)目勺函數(shù)勺最值常將函數(shù)z=axby轉(zhuǎn)化為直線日勺斜截式：y=bx+Z，通過(guò)求直線勺截距奪日勺 最值，間接求出z日勺最值.距離型：形一：如z=./(xa)2+(yb)2,

6、z=.x2+y2+Dx+Ey+F，此類(lèi)目日勺函數(shù)常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x,y) 與定點(diǎn)日勺距離；形二：z=(xa)2+(yb)2, z=x2+y2+Dx+Ey+F,此類(lèi)目日勺函數(shù)常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)勺距離勺 平方.斜率型：形如z=y, z=a1, z=f, 1=呻，此類(lèi)目日勺函數(shù)常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)所在直xcxdcxdx線勺斜率.【提示】注意轉(zhuǎn)化曰勺等價(jià)性及幾何意義.颶型閂聽(tīng)角度一：求線性目日勺函數(shù)日勺最值x+y7W0,1.(-新課標(biāo)全國(guó)II卷)設(shè)x, y滿足約束條件卜一3y+1W0,則z=2xy日勺最大值為()、3xy5N0,A. 10B. 8C. 3D. 2【解析】作出可行域如圖中陰影部

7、分所示，由z=2xy得y=2xz，作出直線y=2x，平移使之通過(guò)可行域，觀測(cè)可知，當(dāng)直線通過(guò)點(diǎn)A（5,2）時(shí)，相應(yīng)曰勺z值最大.故z尸2X52 = 8.max【答案】Bx+2N0,2. （高考天津卷）設(shè)變量x, y滿足約束條件卜一y+3N0,則目日勺函數(shù)z=x+6y日勺最大值為（）2x+y-3 W0, TOC o 1-5 h z A. 3B. 4C. 18D. 40【解析】作出約束條件相應(yīng)曰勺平面區(qū)域如圖所示，當(dāng)目曰勺函數(shù)通過(guò)點(diǎn)（0,3）時(shí)，z獲得最大值18.【答案】C3. （高考陜西卷）若點(diǎn)（x, y）位于曲線y=lxl與y=2所圍成日勺封閉區(qū)域，則2x-y勺最小值為（）A. 6B. 2C.

8、 0D. 2【解析】如圖，曲線y=lxl與y=2所圍成曰勺封閉區(qū)域如圖中陰影部分，jcjc令z=2xy，則y=2xz，作直線y = 2x，在封閉區(qū)域內(nèi)平行移動(dòng)直線y=2x，當(dāng)通過(guò)點(diǎn)（一2,2）時(shí)，z獲得最小值，此時(shí)z=2x（2）2=6.【答案】A角度二：求非線性目日勺日勺最值4.4.（-高考山東卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，2xy2N0,M為不等式組x+2y 1N0, 所示日勺區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)， 3x+y8 W0則直線OM斜率日勺最小值為（）B.A. B.D.【解析】已知曰勺不等式組表達(dá)曰勺平面區(qū)域如圖中陰影所示，r3s+yS0s+2yl=r3s+yS0s+2yl=0顯然當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重疊時(shí)直線OM

9、曰勺斜率最小，由直線方程x+2y1=0和3x+y8 = 0,解得4（3,-1），故OM斜率曰勺最小值為一；.【解析】C -5.已知實(shí)數(shù)x, y則尸2產(chǎn)勺取值范疇.0 -5.已知實(shí)數(shù)x, y則尸2產(chǎn)勺取值范疇.xW 寸2y,【解】由不等式組畫(huà)出可行域如圖中陰影部分所示，目曰勺函數(shù)z=2x+目曰勺函數(shù)z=2x+y 1x1=2+y1x1曰勺取值范疇可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)（x，y）與（1，一1）所在直線曰勺斜率加上2曰勺取值范疇，由圖形知，4點(diǎn)坐標(biāo)為（湯，1）,則點(diǎn)（1，一1）與（逝，1）所在直線曰勺斜率為2.儀2，點(diǎn)（0,0）與（1， 1）所在直線曰勺斜率為一1，因此z曰勺取值范疇為（一8，1U2、.M+4，+

10、8）.【答案】（一8，1U2；24，8）x+yW26.（-鄭州質(zhì)檢）設(shè)實(shí)數(shù)x, y滿足不等式組1yxW2,則x2+y2日勺取值范疇是（）、yN1,A. 1, 2B. 1, 4C. h2, 2D. 2, 4【解析】如圖所示，不等式組表達(dá)曰勺平面區(qū)域是ABC曰勺內(nèi)部（含邊界），x2+y2表達(dá)曰勺是此區(qū)域內(nèi)曰勺點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)距離曰勺 平方.從圖中可知最短距離為原點(diǎn)到直線BC曰勺距離，其值為1;最遠(yuǎn)曰勺距離為AO,其值為2，故x2+y2 曰勺取值范疇是1,4.【答案】BxN0,7.（-高考北京卷）設(shè)D為不等式組2xyW0,所示日勺平面區(qū)域，區(qū)域D上日勺點(diǎn)與點(diǎn)（1,0）之間日勺距、x+y3W0離日勺

11、最小值為【解析】作出可行域，如圖中陰影部分所示，則根據(jù)圖形可知，點(diǎn)B（1,0）到直線2則根據(jù)圖形可知，點(diǎn)B（1,0）到直線2x-y = 0曰勺距離最小，d=12x101 2匕污22+1 5故最小距離2 5【答案】%-*8.設(shè)不等式組x2y+3N0, 所示日勺平面區(qū)域是Q,平面區(qū)域Q2與Q有關(guān)直線3x4y9 = 0對(duì)、yNx稱(chēng).對(duì)于Q中日勺任意點(diǎn)A與Q2中日勺任意點(diǎn)B, lABI最小值等于（）28A. ；B. 4C. 12D. 2【解析】不等式組x2y+3N0 ，所示曰勺平面區(qū)域如圖所示，、yNxx=1 解方程組（y=x【答案】Bx=x=1 解方程組（y=x【答案】Bx=1,13491.，得.點(diǎn)

12、4（1,1）到直線3x4y9 = 0曰勺距離d=一7一 = 2,則IABI曰勺最小值為4.y=15角度三：求線性規(guī)劃中日勺參數(shù)xN0, 49.若不等式組jx+3yN4,所示日勺平面區(qū)域被直線y=kx+4分為面積相等日勺兩部分，則k日勺值是、3x+yW4A.B.C.D.【解析】不等式組表達(dá)日勺平面區(qū)域如圖所示.,一4 一 , （4、4,、 ,一由于直線y=kx+g過(guò)定點(diǎn)（0, 3、.因此只有直線過(guò)AB中點(diǎn)時(shí)，直線y=kx+g能平分平面區(qū)域.由于4（1,1）,f因B(0,4),因此 AB 中點(diǎn) D1,.當(dāng) y=kx+3過(guò)點(diǎn)g, |)f因【解析】Ax+y2N0,10.（-高考北京卷）若x, y滿足k

13、x-y+20,且z=y-x勺最小值為一4，則k日勺值為（）、yN0，C.1DC.xy2N0,【解析】D 作出線性約束條件0時(shí)，如圖所示，此時(shí)可行域?yàn)閥軸上方、直線x+y2 = 0曰勺右上方、直線kxy+2=0曰勺 右下方曰勺區(qū)域，顯然此時(shí)z=yx無(wú)最小值.當(dāng)kV 1時(shí)，z=yx獲得最小值2;當(dāng)k= 1時(shí)，z=yx獲得最小值一2,均不符合題意.當(dāng)一1VkV0時(shí)，如圖所示，此時(shí)可行域?yàn)辄c(diǎn)A（2,0）, g（k，），。（0，2）所圍成曰勺三角形區(qū)域，當(dāng) 直線z=yx通過(guò)點(diǎn)g（k，0）時(shí)，有最小值，即一（一9=4 k=；.【答案】Dxy2W0,11.（-高考安徽卷）x, y滿足約束條件zC或zA=zC

14、zB或 zB=z，czA，解得 a= 1 或 a=2.法二：目曰勺函數(shù)z=yax可化為y=ax+z,令10: y=ax,平移10法二：目曰勺函數(shù)z=yax可化為y=ax+z,令10: y=ax,平移10,則當(dāng)10 AB或l0 AC時(shí)符合題意，故 a= 1 或 a=2.【答案】D yN0, 12.在約束條件,/x 十 yWs,y+2xW4.下，當(dāng)3WW5時(shí)，目日勺函數(shù)z=3x+2y日勺最大值日勺取值范疇是()A. 6, 15C. 6, 8B. 7, 15D. 7, 8【解析】由x+y=s,、y+2x=4,x=4s,得y=2s4,則交點(diǎn)為B(4s,2s4),y+2x=4與x軸曰勺交點(diǎn)為A(2,0)

15、,與y軸曰勺交點(diǎn)為C (0,4), x+y=s與y軸曰勺交點(diǎn)為C(0, s).作出當(dāng)s=3和s = 5時(shí)約束條件表達(dá)曰勺平面 區(qū)域，即可行域，如圖(1) (2)中陰影部分所示.(1)(2)當(dāng)3WsV4時(shí)，可行域是四邊形OABC及其內(nèi)部，此時(shí)，7WzmaxV8;當(dāng)4WsW5時(shí)，可行域是OAC及其內(nèi)部，此時(shí)，zmax=8.綜上所述，可得目曰勺函數(shù)z=3x+2y曰勺最大值曰勺取值范疇是7, 8.【答案】D若z=x十若z=x十yF日勺最小值為3,則a日勺值為 x+1213.(-通化一模)設(shè)x, y滿足約束條件|y0, 烙+十5 3a 4a, A,7J J-r* 1 X 2y 3 I 23 1 D -T

16、- y 1 士、_l、斗 卜/ 、A/ tfk心 nA z 和 曰 A 7 c【解析】. x+1 =1+ x+1，而x+1表達(dá)過(guò)點(diǎn)（x，）與（一1，一1）連線曰勺斜率，易知a0,.可作出可行域，由題意知曰勺最小值是1，即FW） . =? =77 = ! a=1.x+14x+17min3a （1）3a+1 4【答案】1角度四：線性規(guī)劃日勺實(shí)際應(yīng)用A, B兩種規(guī)格日勺產(chǎn)品需要在甲、乙兩臺(tái)機(jī)器上各自加工一道工序才干成為成品.已知A產(chǎn)品需 要在甲機(jī)器上加工3小時(shí)，在乙機(jī)器上加工1小時(shí)；B產(chǎn)品需要在甲機(jī)器上加工1小時(shí)，在乙機(jī)器上加工 3小時(shí).在一種工作日內(nèi)，甲機(jī)器至多只能使用11小時(shí)，乙機(jī)器至多只能使用9小時(shí).A產(chǎn)品每件利潤(rùn)300 元，B產(chǎn)品每件利潤(rùn)400元，則這兩臺(tái)機(jī)器在一種工作日內(nèi)發(fā)明勺最大利潤(rùn) 元.3x+yW11,【解析】 設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，則x, y滿足約束條件x+3yW9,生產(chǎn)利潤(rùn)為z=、xEN, yEN,300 x+400y.畫(huà)出可行域如圖中陰影部分畫(huà)出可行域如圖中陰影部分(涉及邊界)內(nèi)曰勺整點(diǎn)，顯然z=300 x+400y在點(diǎn)A處獲得最大值，由方程組3x程組3x+y=11，、x+3y=9,x=3, 解得y=2,則 zma= 300X3+400X2=1 700.故