第一輪復(fù)習(xí)放縮法技巧全總結(jié)

1、放縮法在數(shù)列不等式中的應(yīng)用數(shù)列不等式是高考大綱在知識點(diǎn)交匯處命題精神的重要體現(xiàn)，在高考試題中占有重要地 位，在近幾年的高考試題中，多個(gè)省份都有所考查，甚至作為壓軸題。而數(shù)列不等式的求 解常常用到放縮法，筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在用放縮法處理此類問題時(shí)，普遍感到困 難，找不到解題思路?，F(xiàn)就放縮法在數(shù)列不等式求解過程中常見的幾種應(yīng)用類型總結(jié)如 下。直接放縮，消項(xiàng)求解例1在數(shù)列】, b 中，a =2, b = 4 ,且a , b , a成等差數(shù)列，b , a , b成等比數(shù)列.n n11n n n+1n n+1 n+1n g N *,(I)求a , a , a及b ,b ,b ,由此猜測a , b

2、的通項(xiàng)公式,并證明你的結(jié)論；234234n n(II)證明：_ + + + A . a + b a + b a + b 121122n n分析:(I )數(shù)學(xué)歸納法。(II)本小題的分母可化為不相同的兩因式的乘積，可將其放縮為等差型兩項(xiàng)之積， 通過裂項(xiàng)求和。(I)略解 a = n (n +1) b = (n +1)2 .(II)= 1 2(n + 1)n a1 + b16 12n n11+n(n +1)/6 22x3 3 x 4綜上，原不等式成立.1 15綜上，原不等式成立.+ =6 4 12點(diǎn)評：數(shù)列和式不等式中，若數(shù)列的通項(xiàng)為分式型，可考慮對其分母進(jìn)行放縮，構(gòu)造等差 型因式之積。再用裂項(xiàng)的方

3、法求解。另外，熟悉一些常用的放縮方法，如：上 - -(k =1,2,2n n + k n +1n)1 1 如：上 - -(k =1,2,2n n + k n +1n n +1 n( n +1) n 2n( n 1) n 1 n例2設(shè)數(shù)列a 滿足a1 = 1, a = ca +1 c,c g N *其中c為實(shí)數(shù)證明：a g 0,1對任意n g N*成立的充分必要條件是c g 0,1； 設(shè) 0 c 1 (3c) n1, n g N *;分析:(I )數(shù)學(xué)歸納法證明(II)結(jié)論可變形為1 a” (3c) n1，即不等式右邊為一等比數(shù)列通項(xiàng)形式，化歸思路為對1-七用放縮法構(gòu)造等比型遞推數(shù)列， TOC

4、o 1-5 h z 艮口 1 a = c(1 a )(1 + a + a 2) V 3c(1 a ) nn1n1 n 1n1解：(1)解略。(II)設(shè)0 c 2時(shí)，. 0 c -，由(1)知 a e 0,1，所以 1 + a + a2 03n1n1 n1n1點(diǎn)評：直接對多項(xiàng)式放大后，得到的是等比型遞推數(shù)列，再逐項(xiàng)遞推得到結(jié)論。通過放縮 得到等比型遞推數(shù)列是求解數(shù)列不等式的另一個(gè)重要的類型。利用基本不等式放縮例 3 已知數(shù)列a ， a 0， a = 0， a 2 + a 1 = a 2(n e N )，記 nn1n+1n+1nS = a + a + a，T = + +n 12 n n 1 + a

5、.(1 + a. )(1 + a )(1 + a. )(1 + a )(1 + a )求證：當(dāng) n e N時(shí)，(I) a n 2 ；(III) T 0的條件下，a a的等價(jià)形式為a 2 a 2，要證a 2 0,即證an 1，可用數(shù)學(xué)歸納法證明 由ana=1 a.累加及a. 1可得 和式通項(xiàng)的分母由1 + a累乘得到的，條件中可有a (1 + a ) = 1 + a 2得到，但nk+1k+1k(1 + a ) =的分子分母次數(shù)不同，可用基本不等式將其化為等比型遞推數(shù)列k+1ak+1解略。解略。(I)證明：由a 2 + a=1 + a 2 N 2a，得k+1k+1kk所以m1 W-4(a N 3)

6、，(1+ a )(1+ a ) (1+ a )2n2 a34n2 TOC o 1-5 h z 于正(1+ a )(1+ a ) (1+ a ) 2n2(a2 + a ) 2n2 2n2 3)，23n22故當(dāng)n N 3時(shí)，T 1 +1 +1 + +上 3,又因?yàn)門 T T，所以T 3 .n22n - 21 2 3n點(diǎn)評：本題第三問，基本不等式的應(yīng)用使構(gòu)造等比型遞推數(shù)列成為可能，在公比|0| 0 ,工a 1, k = 1,2, nkk +1k+2ii=12 一求證：0 a - a 廠（k = 1,2,.）.分析：有時(shí)數(shù)列不等式的證明可以在數(shù)列單調(diào)性的前提下進(jìn)行放縮。證明：若有某個(gè)a a ，則a a

7、 - a + a a ，從而從a起，數(shù)列a 單調(diào)遞 kk+1k +1kk+1k+2k+2kn增，和S = a + a + . + a會隨n的增大而趨向于無窮，與工a 0 得 a - a a - a ， kk+1k+2k k+1k +1k+2即 b b , k = 1,2,由于 1 a + a + akk +112k故b故bk 0,1(1 + a )(1 + a )(1 + a )12n1(1 + a 2) n-1 T 上1+ ,+ T 2而a2 =二 2所以問題得證1 + a2放縮法在數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用數(shù)列不等式是與自然數(shù)有關(guān)的命題，數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的重要方 法。應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，通常要利用放縮法對條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，才能實(shí)現(xiàn)由n = k 時(shí)成立到n = k +1時(shí)也成立的過渡。舉例略。綜合以上分析，我們發(fā)現(xiàn)，在數(shù)列不等式的求解過程中，通過放縮法的應(yīng)用，主要使 數(shù)列不等式轉(zhuǎn)化為以下兩種類型：（1）可直接裂項(xiàng)的形式，再求和證明求解。（等差型） （2）等比型遞推數(shù)列，以 1時(shí)，數(shù)列前n項(xiàng)和有界。（等比型）數(shù)列不等式是一類綜合性較強(qiáng)的問