第35次課純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力

1、課時(shí)授課計(jì)劃第三十五次課【教學(xué)課題】： 3-7純彎曲的梁的正應(yīng)力【教學(xué)目的】：掌握純彎曲的梁的正應(yīng)力【教學(xué)重點(diǎn)及處理方法】：純彎曲的梁的正應(yīng)力處理方法：詳細(xì)講解【教學(xué)難點(diǎn)及處理方法】：純彎曲的梁的正應(yīng)力的應(yīng)用處理方法：結(jié)合例題分析講解【教學(xué)方法】：講授法【教具】：【時(shí)間分配】：引入新課5min新課 80 min小結(jié)、作業(yè) 5min第三十五次課【提示啟發(fā)引出新課】在上次課中已經(jīng)討論剪力圖和彎矩圖的繪制及他們之間的關(guān)系。 在這次課中討論純彎曲的梁的正應(yīng)力的計(jì)算?！拘抡n內(nèi)容】3-10純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力在平面彎曲時(shí)，工程上近似地認(rèn)為梁橫截面上的彎矩是由截面上的 正應(yīng)力形成的，而剪力則由截面上的切應(yīng)力所

2、形成。本章將在梁彎曲時(shí) 的內(nèi)力分析的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出梁彎曲時(shí)的應(yīng)力與變形的計(jì)算，建立梁的強(qiáng) 度和剛度條件。為了研究梁橫截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律，取一矩形截面等直梁，在 表面畫些平行于梁軸線的縱線和垂直干梁軸線的橫線。在梁的兩端施加 一對(duì)位于梁縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的力偶，梁則發(fā)生彎曲。梁任意橫截面上的內(nèi) 力只有彎矩而無(wú)剪力，這種彎曲稱為純彎曲，這種梁稱為純彎曲梁。通常從變形的幾何關(guān)系、物理關(guān)系和靜力平衡條件三個(gè)方面來(lái)推導(dǎo) 出純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式。一、實(shí)驗(yàn)觀察梁發(fā)生彎曲變形后，我們可以觀察到以下現(xiàn)象:1、橫向線仍是直線且仍與梁的軸線正交，只是相互傾斜了一個(gè)角 度2、縱向線（包括軸線）都變成了弧線。3、梁

3、橫截面的寬度發(fā)生了微小變形，根據(jù)上述現(xiàn)象，可對(duì)梁的變形提出如下假設(shè)：平面假設(shè)：梁彎曲變形時(shí)，其橫截面仍保持平面，且繞某軸轉(zhuǎn) 過了一個(gè)微小的角度。單向受力假設(shè)：設(shè)梁由無(wú)數(shù)縱向纖維組成，則這些纖維處于單 向受拉或單向受壓狀態(tài)?？梢钥闯?，梁下部的縱向纖維受拉伸長(zhǎng)，上部的縱向纖維受壓縮短， 其間必有一層纖維既不伸長(zhǎng)也木縮短，這層纖維稱為中性層。中性層和 橫截面的交線稱為中性軸，即圖中的Z軸。梁的橫截面繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè) 微小角度。二、變形的幾何關(guān)系圖中梁的兩個(gè)橫截面之間距離為dx，變形后中性層纖維長(zhǎng)度仍為 dx且dx=Pd0。距中性層為y的某一縱向纖維的線應(yīng)變s為：即梁內(nèi)任一縱向纖維的線應(yīng)變8與它到中性層

4、的距離y成正比。三、變形的物理關(guān)系由單向受力假設(shè)，當(dāng)正應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，將虎克定律 代入上式，得：可見矩形截面梁在純彎曲時(shí)的正應(yīng)力的分布有如下特點(diǎn)：中性軸上的線應(yīng)變?yōu)榱悖云湔龖?yīng)力亦為零。到中性軸距離相等的各點(diǎn)，其線應(yīng)變相等。根據(jù)虎克定律，它 們的正應(yīng)力也相等。在圖示的受力情況下，中性軸上部各點(diǎn)正應(yīng)力為負(fù)值，中性軸 下部各點(diǎn)正應(yīng)力為正值。正應(yīng)力沿y軸線性分布。最大正應(yīng)力（絕對(duì)值）在離中性軸最四、梁純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律1、純彎曲時(shí)梁橫截面上只有正應(yīng)力而無(wú)切應(yīng)力。由于梁橫截面保持平面，所以沿橫截面高度方向縱向纖維從縮 短到伸長(zhǎng)是線性變化的，因此橫截面上的正應(yīng)力沿橫截面高度方

5、向也是 線性分布的。以中性軸為界，凹邊是壓應(yīng)力，使梁縮短，凸邊是拉應(yīng)力，使 梁伸長(zhǎng)，橫截面上同一高度各點(diǎn)的正應(yīng)力相等，距中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)有最大 拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，中性軸上各點(diǎn)正應(yīng)力為零。2、梁純彎曲時(shí)正應(yīng)力計(jì)算公式 在彈性范圍內(nèi)，經(jīng)推導(dǎo)可得梁純彎曲時(shí)橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力為b朝L式中，M為作用在該截面上的彎矩（Nmm）； y為計(jì)算點(diǎn)到中性軸的距離（mm）； I為橫截面對(duì)中性軸z的慣性矩（mm4）。在中性軸上y=0，所以b=0 ；當(dāng)y=ymax時(shí)，b=bmax。最大正 應(yīng)力產(chǎn)生在離中性軸最遠(yuǎn)的邊緣處，max j或橫截面對(duì)中性軸z的抗彎截面模量mm3）計(jì)算時(shí)，M和y均以絕對(duì)值代入，至于彎曲正應(yīng)力是

6、拉應(yīng)力還 是壓應(yīng)力，則由欲求應(yīng)力的點(diǎn)處于受拉側(cè)還是受壓側(cè)來(lái)判斷。受拉側(cè)的 彎曲正應(yīng)力為正，受壓側(cè)的為負(fù)。彎曲正應(yīng)力計(jì)算式雖然是在純彎曲的情況下導(dǎo)出的，但對(duì)于剪 切彎曲的梁，只要其跨度L與橫截面高度h之比L/h 5,仍可運(yùn)用這 些公式計(jì)算彎曲正應(yīng)力。5,慣性矩和抗彎截面模量簡(jiǎn)單截面的慣性矩和抗彎截面模量計(jì)算公式掠彎掠彎If,=就6模6梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件對(duì)于等截面梁，彎矩最大的截面就是危險(xiǎn)截面，其上、下邊緣各點(diǎn) 的彎曲正應(yīng)力即為最大工作應(yīng)力，具有最大工作應(yīng)力的點(diǎn)一般稱為危險(xiǎn) 點(diǎn)。梁的彎曲強(qiáng)度條件是:梁內(nèi)危險(xiǎn)點(diǎn)的工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng) 力。運(yùn)用梁的彎曲強(qiáng)度條件，可對(duì)梁進(jìn)行強(qiáng)度校核、設(shè)計(jì)截面和確定 許可載荷。例7 6在例7 3中的簡(jiǎn)支梁，若選用D=100mm，d=60mm的空 心圓形截面鋼制造，已知梁的跨度l=3m，a=1m，b=2m，集中載荷F=25kN，許用正應(yīng)力:=200MPao不計(jì)梁的自重，試校核該梁的強(qiáng) 度。解Cl J瓚定最大彎矩?fù)?jù)例7-丸染C點(diǎn)的最大彎矩XJA/-x25x10V- = 1.667:107A-I3x10（2）確定抗彎裁間模量吧陌o m 迫一?） = 0一1