立體幾何壓軸小題含答案

1、一、選擇題1 .如圖，已知正方體ABCD - A1 BC1 D1的棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)E , F分別是線段AB , C1D1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是上底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到平面ABBA的距離，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng) i i i ii 1時(shí)，PE的最小值是（）A. 5B. 4C. 4，2D. 2七5【答案】D【解析】試題分析:因?yàn)辄c(diǎn)P是上底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到平面ABBA的距離， TOC o 1-5 h z i i i ii i所以，點(diǎn)P在連接AiDi，BR中點(diǎn)的連線上.為使當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，PE最小，須PE所在平面平行于平面AADDPE 二:42 + （4）2 =

2、 2帝，選Di i ，2，考點(diǎn)：i.平行關(guān)系；2.垂直關(guān)系；3.幾何體的特征.如圖在一個(gè)二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，線段AC,BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，AB=4cm, AC = 6cm, BD = 8cm, CD = 2,矛cm，則這個(gè)二面角的度數(shù)為（）A. 30。b. 60。C. 90。D. i20?！敬鸢浮緽【解析】試題分析：設(shè)所求二面角的大小為。，則=9，因?yàn)镃D = DB + BA + AC，所以CD2 = （DB + BA + AC ）2 = DB2 + BA2 + AC2 +2DB - BA + 2 DB-AC+2 BA-AC血依題意可知 BD 1 AB,

3、 AC 1AB 頊以 2DB BA= 0,2BA - AC =0一 .所以 I CD |2 =| DB |2 + | BA |2 + | AC |2 -2B即4xi7 =4+62 + 82 - 2x8x6cos 9所以cos9 = 而9巳。兀，期以9 =eo。，選b.考點(diǎn)：1.二面角的平面角；2.空間向量在解決空間角中的應(yīng)用.已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm ）可得這個(gè)幾何體的體積是（） cm 3cm 3A. 3B. 3C. 3cm3D. 4cm3【答案】B.【解析】 TOC o 1-5 h z 一1_ 8試題分析：分析題意可知，該幾何體為一四棱錐，.體積U =

4、3Sh = x 22x2 =.考點(diǎn)：空間幾何體的體積計(jì)算.4.如圖，P是正方體ABCD - ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AP的長(zhǎng)度為x，若APBD的面積為 iiii1f (x)，則f (x)的圖象大致是()【答案】A【解析】 試題分析：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)。，連接OP .易證得BD1面ACCi氣，從而可得BD1OP .設(shè)正方體邊長(zhǎng)為 i,在 RtAACq 中 cos ZCiAC = = g .在 AOP 中 OA = *，設(shè) AP = x, () x V、)由余弦* V定理可得OP2* V定理可得OP2 = x2 +k 2 7-2 x笠x還=x 2 -待232履 i 八八x+2，所以 OP =

5、2、.ix 2 x + .所以62f (x)=笠:2君f (x)=笠nx 27 x + .故選 A.X 62考點(diǎn)：i線面垂直，線線垂直;2函數(shù)圖象.5.如圖所示，正方體ABCD ABCD的棱長(zhǎng)為i，E，F(xiàn)分別是棱AA，CC的中點(diǎn)，過(guò)直線E，F(xiàn)的平面分別與棱BB，、DD，交于M，N，設(shè)BM = x，xG 0，i，給出以下四個(gè)命題:平面MENF 1 平面BDDB；i當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，四邊形MENF的面積最??；四邊形MENF周長(zhǎng)L = f(x)，x e 0，i是單調(diào)函數(shù)；四棱錐C-MENF的體積U = h(x)為常函數(shù)；以上命題中假命題的序號(hào)為() .(i) (4)B. (2)C. (3)D. (3

6、) (4)【答案】C【解析】試題分析：(I)由于EF/AC，AC 1 BD，AC 1 BB，則 AC 1 平面BB DD，則EF 1 平面BBDD，又因?yàn)镋F u平面EMFN，則平面MENF 1平面BDDB ； (2)由于四邊形MENF為菱形，_ iS = ：EF -MN，EF = ；2，要使四邊形MENF的面積最小，只需MN最小，則當(dāng)且僅當(dāng) 2 MENF 2T 一“ .1 一MF = ：( -x)2 +1 f(x) = 4 (x _)2 +1,f (x)在0,1V上不是單調(diào)函數(shù)；（4） C C-MENF=VF - MC E+ VF-,f (x)在0,1V上不是單調(diào)函數(shù)；（4） C C-MEN

7、F=VF - MC E+ VF-CNE，11 -C E -1 =- 2AC ME =F到平面C ME的距離為1，VF-C ME11412，又 %cne= 2 -以-1 - 4VF-CNE4 12h( x) =16為常函數(shù).故選（3） 考點(diǎn)：1.面面垂直的判定定理；2.建立函數(shù)模型.A在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面 16.已知三棱柱ABC AA在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面 1直線AB與CC1所成的角的余弦值為（） TOC o 1-5 h z 打灰73（A） 丁 （B）?。–）?。―）-4444【答案】D.【解析】試題分析：連接A B ； AA / CC /AAB是異面直線A

8、B與CC】所成的角或其補(bǔ)角；在RtAADA HYPERLINK l bookmark652 o Current Document 11111111中，設(shè) AA = 1，則 AD =,A D =；在 RtABDA 中，A B 2 =；在 AABA 中，12121121+1 - 33cos ZAAB =2 =丁 ；即面直線AB與CC所成的角的余弦值為12 x 1 x 1 414考點(diǎn)：異面直線所成的角.7.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則該 幾何體的外接球的表面積為俯視圖俯視圖B. 12兀C. 4B. 12兀C. 4晝【答案】D【解析】試題分析：

9、由三視圖可知，該幾何體為四棱錐，側(cè)棱垂直底面，底面是正方形，將此四棱錐還原為正方 一二 克 一 .一體，則正方體的體對(duì)角線即外接球的直徑，2r =3，r =，因此S= 4兀=3兀，故答案為2表面積D.考點(diǎn)：由三視圖求外接球的表面積.8.如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D中，P為線段A1B上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）DC DP平面DAP 平面AAP11ZAPD的最大值為90。AP + PD的最小值為J2 +很【答案】C【解析】試題分析：. AD DC，AB 1 DC，AD D AB = A，. DC 1 平面 A BCD，DP u 平面 A BCD TOC o 1-5 h z 1

10、 11111111111111因此DC 1 DP，a正確；由于DA 1平面A ABB，DA u平面DAP，故平面DAP 1平面AAP111 111111 11 11故B正確，當(dāng)0 AP ，所以AE延長(zhǎng)父DC于F，過(guò)F作FM垂直DC于M .在矩形AAFM中分析反射情況：由4111111一 355 .于AM = 10，第二次反射點(diǎn)為E在線段AM上，此時(shí)E M =-，第三次反射點(diǎn)為E在線段FM上，51132此時(shí)E2M = 4,第四次反射點(diǎn)為E3在線段A1F上，由圖可知，選C.考點(diǎn)：空間想象能力13. 一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨、加工成球，則能得到的最大球的 半徑等于（）

11、A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】試題分析：由圖可得該幾何體為三棱柱，因?yàn)檎晥D，側(cè)視圖，俯視圖的內(nèi)切圓半徑最小的是正視圖 （直角三角形）所對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓,所以最大球的半徑為正視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑,貝 g 8 一 r + 6 r = 82 + 62 n r = 2,故選 B.考點(diǎn)：三視圖內(nèi)切圓球三棱柱14.已知二面角 a-1-P 為 60，AB ua，AB l，a 為垂足，CD u&，C e l，ZACD = 135，則異面直線ab與cd所成角的余弦值為A.B. A.B. 4C.4D.【答案】B.【解析】試題分析：如圖作BE Ip于E,連結(jié)AE,過(guò)A作AG / CD，作EG 1 A

12、G于G，連結(jié)BG，則BG 1 AG.設(shè) AB = 2a .在 AABE 中，ZBAE = 60, ZAEB = 90, AB = 2a,/. AE = a.在 RtAAEG 中，ZGAE = 90。 ZCAG = 45。, ZAGE = 90。, /. AG = a cos45 a.在 RtAABG 中,2 TOC o 1-5 h z 2_ A Ta 22cosBAG = = = ,異面直線AB與CD所成角的余弦值為二;，故選B. AB2a44考點(diǎn)：1.三垂線定理及其逆定理；2.空間角(異面直線所成角)的計(jì)算.15.在空間直角坐標(biāo)系必興中，已知A(2,0,0) B(2,2,0), C(0,2,

13、0), D(1,1,寸2).若S ,S ,S分別是三棱錐123D ABC在xOy, yOz, zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則()A. S = S = SC. S3 = S1 且S3 豐 S2【答案】D【解析】 試題分析：三棱錐D ABC在平面xoy上的投影為AABC，所以* = 2， 設(shè)D在平面yoz、zox平面上的投影分別為D2、D，則D ABC在平面yoz、zox上的投影分別為AOCD2、AOAD1，因?yàn)?(0,1,72)，D2(1,0j2)，所以 S2 S、= ， 故選D.考點(diǎn)：三棱錐的性質(zhì)，空間中的投影，難度中等.16.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，且

14、AE = 1，BF = 1，將此正方形沿DE、 TOC o 1-5 h z DF折起，使點(diǎn)A、C重合于點(diǎn)P，則三棱錐P DEF的體積是()方形沿DE、v52*寸 2B.C. -D.693【答案】B【解析】 試題分析：解：因?yàn)閆DPE = ZDPF = 90 ,所以DP 1 PE,DP 1 PF又因?yàn)镻E u平面PEF, PF u平面PEF ,且PEPF = P，所以DP1平面PEF在 APEF在 APEF 中，PE = 1,PF = 3,EF = EB2 + BF2 =212 +=2所以 cos 所以 cos /EPF =.13 v5 寸 5 TOC o 1-5 h z 所以 S = PE -

15、 PF - sin /EPF = x 1 = apef 22234所以應(yīng)選B.考點(diǎn)：1、直線與平面垂直的判定；2、正弦定理與余弦定理；3、棱錐的體積.17.高為五的四棱錐S - ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)S, A, B, C, D均在半徑為1的同一球蛀，則底面abcd的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為（）A號(hào)B.0號(hào) D.；l【答案】A【解析】_試題分析：由題意可知ABCD是小圓，對(duì)角線長(zhǎng)為五，四棱錐的高為靈，推出高就是四棱錐的一條側(cè) 棱，最長(zhǎng)的側(cè)棱就是球的直徑，然后利用勾股定理求出底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離.解：由題意可知ABCD是小圓，對(duì)角線長(zhǎng)為 ，四棱錐的高為 ，點(diǎn)S，A，B

16、，C，D均在半徑為1 的同一球面上，球的直徑為2,所以四棱錐的一條側(cè)棱垂直底面的一個(gè)頂點(diǎn)，最長(zhǎng)的側(cè)棱就是直徑，所以 底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為：故選A點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接多面體的知識(shí)，能夠正確推出四棱錐的一條側(cè)棱垂直底面的一個(gè)頂 點(diǎn)，最長(zhǎng)的側(cè)棱就是直徑是本題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力.18.二面角al-P為60, A、B是棱l上的兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面a, P內(nèi)，AC 11 , BD11,且 AB=AC= a , BD= 2a，則 CD 的長(zhǎng)為（）A. 2aB. w5aC. aD. J3a【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式EF =

17、xd2 + m2 + n2 土2mncos9 ,對(duì)于本題中，d = a ,m = a , n = 2 , 9= 60。，故 CD =、：a2 + a2 +（2a）2 2 - a - 2a - cos 60。= 2a .考點(diǎn)：異面直線上兩點(diǎn)間距離，空間想象能力.19.長(zhǎng)方體的表面積是24,所有棱長(zhǎng)的和是24,則對(duì)角線的長(zhǎng)是（）.A.、富B. 4C. 3 豆D. 2 3【答案】B【解析】試題分析：設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，表示出長(zhǎng)方體的全面積，十二條棱長(zhǎng)度之和，然后可得對(duì)角線的長(zhǎng)度.考點(diǎn)：長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征，面積和棱長(zhǎng)的關(guān)系.已知棱長(zhǎng)為l的正方體ABCD BCD中，E, F, M分別是AB、AD、AA

18、1的中點(diǎn)，又P、Q分別在線段AB、AD上,且AP=AQ=x,0 x1，設(shè)面MEF 面MPQ= l，則下列結(jié)論中不成立的是（） 1 11 111l/面 ABCD11 AC面MEF與面MPQ不垂直當(dāng)x變化時(shí)，l不是定直線【答案】D【解析】試題分析：解：連結(jié)AC,BD, AC ,BD ,AC,BD交于點(diǎn)O AC ,BD交于點(diǎn)O TOC o 1-5 h z 1111111由正方體的性質(zhì)知，BD/ BD，AC / AC , AC 1 BD, AC 1 BD11111111因?yàn)镋, F是AD, AB的中點(diǎn)，所以EF/BD因?yàn)锳P = AQ，所以PQ/BD HYPERLINK l bookmark221 o

19、 Current Document 1111所以PQ/EF，所以PQ/平面MEF ,EF/平面MPQ ,由 ME、面 MPQ= l，EF u 平面MEF，所以 EF/l，而 EF u 平面 ABCD,l 屯平面 ABCD,所以，l/面ABCD ，所以選項(xiàng)A正確；由AC 1 BD，EF/BD得EF 1 AC而EF/l，所以11 AC，所以選項(xiàng)B正確；連 MB , MD , OM，則 OM / AC ,而 AC 1 AB, AC 1 BD，BD / EF, AB / MF111111所以，OM 1 EF,OM 1 MF，所以O(shè)M 1平面MEF，過(guò)直線l與平面MEF垂直的平面只能有一個(gè)，所以面MEF

20、與面MPQ不垂直，所以選項(xiàng)C是正確的；因?yàn)镋F/1，M是定點(diǎn)，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，所以直繆是唯一的，故選項(xiàng)D不正確.考點(diǎn)：1、直線平面的位置關(guān)系；2、直線與直線，直線與平面，平面與平面的平行與垂直的判定及性質(zhì).如圖，等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE相交于G，已知AAED是ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形，下列命題中，錯(cuò)誤的是（）動(dòng)點(diǎn)A在平面ABC上的射影在線段AF上恒有平面AGF上平面BCDE三棱錐A- EFD的體積有最大值異面直線AE與BD不可能垂直【答案】D【解析】試題分析：由于AG 1 DE，F(xiàn)G 1 DE .所以DE1平面AFG .經(jīng)過(guò)點(diǎn)A作平面ABC的垂

21、線垂足在AF上.所以A選項(xiàng)正確.由A可知B選項(xiàng)正確.當(dāng)平面ADE垂直于平面BCDE時(shí)，三棱錐A EFD的體積最大，所以。正確.因?yàn)锽DnEF，設(shè)AC = 2。.所以EF = A，E = a，當(dāng)AF = 2a時(shí)，一5、2a A, G + GF (A G = GF = a)2.所以異面直線AE與BD可能垂直.所以D選項(xiàng)不正確.考點(diǎn)：1 .線面位置關(guān)系.2.面面的位置關(guān)系.3.體積公式.4.異面直線所成的角.5.空間想象力.已知棱長(zhǎng)為l的正方體ABCD BCD中，E, F, M分別是AB、AD、AR的中點(diǎn)，又P、Q分 TOC o 1-5 h z 別在線段AB、AD上,且AP=AQ=x,0 x1，設(shè)面

22、MEF q面MPQ= l，則下列結(jié)論中不成立的是()1 11 111l/面 ABCD11 AC面MEF與面MPQ不垂直當(dāng)x變化時(shí)，l不是定直線【答案】D【解析】試題分析：解：連結(jié)AC,BD, AC ,BD ,AC,BD交于點(diǎn)O AC ,BD交于點(diǎn)O TOC o 1-5 h z 111111111由正方體的性質(zhì)知，BD/ BD，AC / AC , AC 1 BD, AC 1 BD11111111因?yàn)镋, F是AD, AB的中點(diǎn)，所以EF/BD因?yàn)锳P = AQ，所以PQ/BD1111所以PQ/EF，所以PQ/平面MEF ,EF/平面MPQ ,由 MEF面 MPQ= l，EF u 平面 MEF，所

23、以 EF /l，而 EF u 平面 ABCD, l 屯平面 ABCD,所以，l/面ABCD ，所以選項(xiàng)A正確；由AC 1 BD，EF/BD得EF 1 AC而EF/l，所以11 AC，所以選項(xiàng)B正確；連 MB , MD , OM 則 OM / AC ,而 AC 1 AB, AC 1 BD，BD / EF, AB / MF111111111所以，OM 1 EF,OM 1 MF，所以O(shè)M 1平面MEF，過(guò)直線l與平面MEF垂直的平面只能有一個(gè)，所以面MEF與面MPQ不垂直，所以選項(xiàng)C是正確的；因?yàn)镋F/1，M是定點(diǎn)，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，所以直繆是唯一的，故選 項(xiàng)D不正確.考點(diǎn)

24、：1、直線平面的位置關(guān)系；2、直線與直線，直線與平面，平面與平面的平行與垂直的判定及性質(zhì).把四個(gè)半徑都是1的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它 與前三個(gè)都相切，求第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離(?)半頊D. 3【答案】A【解析】由題意，四球心組成棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，則正四面體的高則正四面體的高而第四個(gè)球的最高點(diǎn)到第四個(gè)球的球心距離為求的半徑1,且三個(gè)球心到桌面的距離都為1,故第四個(gè)球 的最高點(diǎn)與桌面的距離為-一冷，選A.24.如圖所示，四邊形ABCD為正方形，QAL平面ABCD, PDQA, QA=AB=PD.則棱錐Q-ABCD 的體積與棱錐P-DCQ

25、的體積的比值是（?？） TOC o 1-5 h z 2:11:1 HYPERLINK l bookmark173 o Current Document 1:2 HYPERLINK l bookmark87 o Current Document 1:3【答案】C【解析】設(shè)AB = a,由題設(shè)知AQ為棱錐Q-ABCD的高，所以棱錐Q-ABCD的體積VJm易證PQ面DCQ，而PQ=Jfm，CQ的面積為 旦如， 所以棱錐P-DCQ的體積V2=二f .故棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值為1:1，選C.25.正四面體ABCD，線段AB/平面?zhèn)?，E，F(xiàn)分別是線段AD和BC的中點(diǎn)，當(dāng)正四面體

26、繞以AB為 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，則線段AB與EF在平面a上的射影所成角余弦值的范圍是（）A.A.，號(hào)2B-，11C. 2，1；2D.-，2【答案】B【解析】試題分析：如圖，取AC中點(diǎn)為G，結(jié)合已知得GF/AB，則線段AB、EF在平面a上的射影所成角等于GF與EF在平面a上的射影所成角，在正四面體中，AB 1 CD，又GE/CD，所以GE 1 GF所以EF2 = GE2 + GF2 TOC o 1-5 h z 當(dāng)四面體繞AB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，因?yàn)镚F/平面a , GE與GF的垂直性保持不變，顯然，當(dāng)CD與平面?zhèn)纱怪?時(shí)，GE在平面上的射影長(zhǎng)最短為0，此時(shí)EF在平面a上的射影EF的長(zhǎng)取得最小值1，當(dāng)CD與平面 1 1

27、21一一*21a平行時(shí)，GE在平面上的射影長(zhǎng)最長(zhǎng)為二，EF取得最大值二二，所以射影EF長(zhǎng)的取值范圍是八， 2 i 121 12典一-，山 1-_，一，人、山，4一口-廠，而GF在平面a上的射影長(zhǎng)為定值號(hào)，所以AB與EF在平面a上的射影所成角余弦值的范圍是巨，1.故選 B考點(diǎn)：1線面平行；2線面垂直。26.已知正方體ABCD - A1 B只中，線段凡AB上（不包括端點(diǎn)）各有一點(diǎn)P, Q，且凡P = BQ，下列說(shuō)法中，不正確的是（）A、C、P、Q四點(diǎn)共面B.直線PQ與平面BCC1B1所成的角為定值C.I AC |D.設(shè)二面角P AC B的大小為。，則tan0的最小值為5【答案】D【解析】試題分析：

28、如下圖: 淤/AC 1/AC，. A、C、P、Q四點(diǎn)共面，故a正確；直線PQ兀與平面BCC1B1所成的角為/尸泮廣-為定值，故B正確；P在A1B1上移動(dòng)，則ZAAC ZPAC ZBA 而 ZAAC = -, ZB AC = -, . - ZPAC -,故 C 正確.面角P AC B的平面角即為面PQCA面角P AC B的平面角即為面PQCA與面ABC 所成的夾角，P從B移動(dòng)到A （不在A ,B處）, j i-n-i/ / I NA hj/ij， /、 1 q夕 aj 1 I i*- 17 1 /，二面角在增大，但無(wú)最大值和最小值，故D不正確，則選D.考點(diǎn)：1.線面平行；2.線面角；2.二面角的

29、平面角.27.如圖，正方體ABCD A1BC?的棱長(zhǎng)為J3，以頂點(diǎn)A為球心，2為半徑作一個(gè)球，則圖中球面 與正方體的表面相交所得到的兩段弧長(zhǎng)之和等于（）5兀2兀7兀A.B.C.兀D.636【答案】A【解析】試題分析：由題得，圓弧GF在以B為圓心，半徑為BG的圓上，而圓弧EF在以A為圓心，半徑為AE=2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark203 o Current Document 的圓上.故 GF =1 - 2k- BG = 1 - 2兀偵AG 2 - AB 2 =-，由于 cos ZAAE = AA-=豆 ZAAE = 30。, 442 于 i AE 21，

30、,. 一一 3Ook一5兀故 ZEAF = 30。,則 EF =- 2兀 2 = ?，所以 GF + EF =-,故選 A. HYPERLINK l bookmark206 o Current Document 36Oo36考點(diǎn)：圓弧長(zhǎng)度的計(jì)算球28.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A-BD-C，有如下四個(gè)結(jié)論：AC BD ACD是等邊三角形;AB與平面BCD所成的角為60;AB與CD所成的角為60.其中錯(cuò)誤的結(jié)論是A.B.CD.【答案】B【解析】試題分析:如圖，取AC中點(diǎn)E,連接DE,BE,AD = DC, AB = BC, , DE 1 AC, BE 1 AC, DE c BE =

31、 E :. AC 1 面DEB ,故AC BD，正確：顯然，AC = J2AD = J2DC , ACD不是等邊三角形，取CD的中點(diǎn)H,取BC中點(diǎn)F，連接EH，F(xiàn)H，則EH = FH = EF，AEFH是等邊三角形，故AB與CD所成的 角為60由知AB與平面BCD所成的角為60考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定，兩條異面直線所成的角，直線與平面所成的角29.如圖，用一邊長(zhǎng)為、；2的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將表面積為4兀的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為B3BC.2【答案】D【解析】試題分析：蛋巢的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，

32、所以過(guò)四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑為1.雞蛋的表13_,面積為若4兀，所以球的半徑為1，所以球心到截面的距離為刁=、：1-4 =.而截面到底面的距離即為1v3 1三角形的高5,所以球心到底面的距離為+號(hào).考點(diǎn)：空間幾何體及其基本計(jì)算.T T T T30.設(shè) OABC 是四面體,Q 是ABC 的重心。是 OG上一點(diǎn)，且 OG=3GG,若G-=x-+*-*+zC,則（x,y,z） 為（）（A）（-,一,-）0）（-,-,一）(C)(-,一,-)(D)(-,一,-)【答案】A【解析】G.= GTT T=.-Ux”-_B+=C) 3 ZT j. T TT T=二+：(F- 二)+(=.-.)3三(

33、.-.+B+C),3T TT T T由 OG=3GG知；=一 -.= (l.+ lE+,_,_),i 11.（x,y,z）=（【,：）.31.如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是（）【答案】D【解析】在A圖中分別連接PS,QR,易證PSQR,P,S, R,Q共面.在B圖中過(guò)P,Q,R,S可作一正六邊形，如圖，故P,Q,R,S四點(diǎn)共面.在C圖中分別連接PQ,RS,易證PQ RS,.P,Q,R,S共面.D圖中PS與RQ為異面直線，.P,Q,R,S四點(diǎn)不共面，故選D.32.設(shè)0 - ABC是正三棱錐，G是AABC的重心，G是OG上的一點(diǎn)，且OG = 3GG

34、、，若0G = xOA + yOB + zOC，則(x, y, z)為()141，4,4,4)B.141，4,4,4)B.C.f1 1 1，3,3,3)D.【答案】A【解析】試題分析：由G是OG1上一點(diǎn)，且OG = 3GG1，可得 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark242 o Current Document 1_又因?yàn)镚1是aabc的重心，所以AG1 = 32（AB+AC）而OG = xOA + yOB + zOC，所以x=, y =二z，所以（x, y, z） = J-J-J-），選 A. HYPERLINK l bookmark249 o Current

35、 Document 444 4 4考點(diǎn)：1.空間向量的口減法；2.空間向量的基本定理.33三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)分別為6和4的矩形，則它的體積為（）8 二-A. 3B. 4*3C.2 3 D. 4打或 3 J3 【答案】D【解析】分側(cè)面矩形長(zhǎng)、寬分別為6和4或4和6兩種情況.34.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若ZA1AB=ZA1AD=60o，且 A1A=3,則A1C的長(zhǎng)為（）A.七5B. 22C.-14D. v!7【答案】A【解析】 試題分析：法一：因?yàn)锳C = AA + AB + BC = AA + AB + AD， TOC o 1-5 h z

36、HYPERLINK l bookmark543 o Current Document 111所以 Af2 = AQ2 + AB2 + AD2 + 2A】A AB + 2 A】A AD + 2 AB AD，即 AC2 = 9 +1 +1 + 2x1xcos120 + 2x 1x 1xcos120 + 2x 1x 1xcos90 = 5，故C = 5。法二：先求線AA和面ABCD所稱的角為45，AC = 2，在AACA中 HYPERLINK l bookmark276 o Current Document 1一所以qC =偵5。故a正確。AC2 = AA+ AC2 -2AA1 - ACcos45

37、= 9 + 2-2x3x2x豐=5 考點(diǎn)：1線面角；2余弦定理；所以qC =偵5。故a正確。35.棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD - ABCD的內(nèi)切球的表面積為（）1111B. 16B. 16C. 4兀D32兀【答案】C【解析】試題分析：設(shè)球的半徑為r，則由題意，得2r = 2，即r = 1，.內(nèi)切球的表面積為4兀，故選C. 考點(diǎn)：球的表面積36.正三棱柱ABC-A1B1C1的棱長(zhǎng)都為2, E，F(xiàn)，G為AB，AA1，AC的中點(diǎn)，則B/與平面GEF所成 角的正弦值為（）.3A，53A，55B，63*6d,1q-BF =( BF =( 2,0，1)，EF =(1,0,1)，F(xiàn)G2,乎17-!,2 k7【

38、答案】A【解析】如圖，取AB的中點(diǎn)E，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系E-xyz.則 E(0,0,0)，F(xiàn)(-1,0,1)，B(1,0,2)，A( 1,0,2)，C(0，3，2)nEF= - x + z = nEF= - x + z = 0,設(shè)平面GEF的一個(gè)法向量為n = （x, y, z）,由nFG=1 x + 吏 y + z = 0, L = 5x22令x=1,則n = （1,* , 1）,設(shè)B1F與平面GEF所成角為仇則sin 9=lcosn, B F|=1=1 n BF 5L_37.如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1ClDl中，AA1 = 2, AB=BC=1,動(dòng)點(diǎn)P, Q分別在線段C1D

39、, AC上， 則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是（.C.【答案】C【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A（1,0,0）, B（1,1,0）, C（0,1,0）, C（0,1,2）,設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（0,兀 2少 4E0,1,點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為（1一,即0）,同0,1,PQ =氣,：（1一旦）2+（人一旦）2+4 人 2 =2 旦 2+5人 2 2人旦一2日+11 、 ，9 ,5、 ，4152側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為3,則如圖，在三棱柱ABC-A1B1C中，BB與平面AB1C1所成的角為（兀A，g【答案】A【解析】記點(diǎn)B到平面AB的距離為d, BB側(cè)棱垂直于底面，底面是邊

40、長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為3,則如圖，在三棱柱ABC-A1B1C中，BB與平面AB1C1所成的角為（兀A，g【答案】A【解析】記點(diǎn)B到平面AB的距離為d, BB與平面AB所成角為6,連接BC,利用等體積法，VA_BB1C1出 17 111,口 3 p 八 d 1兀= VBAB1C1，即三 xv3 xsx2x3=a dx-x2%2：3，得 d=,則 sin 6=.，所以 6=二, B-AB1C132322BB 26如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC -A1B1C1, CA = CC=2CB，則直線BC1與直線AB1夾角）.11兀 B.4兀C. 一3的余弦值為（C.W).兀D,23D，5【

41、答案】A【解析】設(shè)CA = 2則 C(0,0,0),【解析】設(shè)CA = 2則 C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,0,1),C(0,2,0), B(0,2,1),可得AB1 =(-2,2,1), BC1 =（0,2,1），由向量的夾角公式得cos AB1BC1、&-=.V 4+4+1 x x. 0+4+1*550+4140.如圖所示，在正三棱柱40.如圖所示，在正三棱柱ABCAlBlC中 C1AB的距離為（）.AB=1.若二面角CABCl的大小為60,則點(diǎn)C到平面A.1B.2C.A.1B.2C.D. 1【答案】ACD，則ZCDC1是二面角C-CD，則ZCDC1是二面角C-AB-C1的平

42、面角.因?yàn)锳B=1,所以CD=,3=3CD 所以在 RtDCC中，CC1 = CDtan 60=項(xiàng) x、$3 = , C1D=cdc = v3 -。1設(shè)點(diǎn)C到平面C1AB的距離為h,工z 1 1 T 1 13 3由 VC C1AB=7C1 -ABC, 得 3 xx1 3 h= 3 xx1x ,3解得h=.故選A441 .在正四棱錐P-ABCD中，PA=2,直線PA與平面ABCD所成角為60, E為PC的中點(diǎn)，則異面直線PA與BE所成角為（）A. 90。B. 60。C. 45。D. 30?！敬鸢浮緾【解析】試題分析：連接AC,BD交于點(diǎn)O，連接OE, OP。因?yàn)镋為PC中點(diǎn)，所以O(shè)E PA，所以

43、ZOEB即為異面直線PA與BE所成的角。因?yàn)樗睦忮FP- ABCD為正四棱錐，所以PO 1 面ABCD ,所以AO為PA在面ABCD內(nèi)的射影，所以ZPAO即為PA與面ABCD所成的角，即ZPAO =60 ,因?yàn)镻A = 2 , 0所以O(shè)A = OB = 1, OE = 1。所以在直角三角形EOB中ZOEB =45 ,即面直線PA與BE所成的角為 045?？键c(diǎn)：1異面直線所成角；2線面角；3線面垂直。42.長(zhǎng)方體ABCD-A1BiCiD1中，AB=AA=2, AD=1, E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角則 A則 A(1,0,0), E(0,2,1), B(1,2,0), C1(0,2

44、,2),BC 1 =(1,0,2), AE =(1, 2,1).cos cos BC 1, AEAE BCv30ae| 陀的余弦值為().A.、麗B.2tC.10101010【答案】B【解析】建立坐標(biāo)系如圖所示.所以異面直線BC所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為、畫(huà)To43.若P是平面a外一點(diǎn)，A為平面a內(nèi)一點(diǎn)，n為平面a的一個(gè)法向量，則點(diǎn)P到平面a的距離是IpA n|pa nAPA nA. PA nB.L：C.-D.-rfrnPAn【答案】C【解析】PA nn，故C正確.n，故C正確.試題分析：設(shè)PA與n的夾角為0，則點(diǎn)P到平面a的距離為 TOC o 1-5 h z 考點(diǎn)：空間向量、向

45、量的運(yùn)算. A-*F444.棱長(zhǎng)均為3三棱錐S - ABC，若空間一點(diǎn)P滿足SP =尤SA + ySB + zSC （x + y + z = 1）則SP的最小 值為（）.V 63An 6B、一C、D、1 HYPERLINK l bookmark297 o Current Document 36【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)空間向量基本定理知，P與A,B,C共面，則SP的最小值為三棱錐的高，所以h = ：32 -（3 ）2 = ,6，故選 A.考點(diǎn)：1.空間向量基本定理；2.正四面體的應(yīng)用.45 .若正方體ABCD - ABCD的外接球O的體積為4岳，則球心O到正方體的一個(gè)面ABCD的距 ii

46、ii離為（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】試題分析：外接球O的直徑2R為正方體的體對(duì)角線，因?yàn)?兀R3 = 4拓K，所以R =。設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a，則3a2 =Gq），所以a = 2，ABCD所在截面圓的半徑為r =已二2L =技，所以球心O到正方體的一個(gè)面ABCD的距離d = ：R2 - r2 = p3- 2 =1。故A正確?？键c(diǎn)：正方體外接球，球的體積公式，點(diǎn)到面的距離。46 .在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖與俯視圖如左圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為（）【答案】D【解析】試題分析：由正視圖、俯視圖，還原幾何體為半個(gè)圓錐和有一個(gè)側(cè)面垂直于地面的三棱錐組成的簡(jiǎn)單組 合體，故側(cè)視圖為D.

47、考點(diǎn)：三視圖.247.如圖，正萬(wàn)體ABCD-A1B1C1D.1的棱長(zhǎng)為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E, F,且EFy，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（） .（1） ACXBE.(2)若(2)若P為AA1上的一點(diǎn)，則P到平面BEF的距離為（3）三棱錐A-B EF的體積為定值. 在空間與DD1,AC,B1C1都相交的直線有無(wú)數(shù)條.（5）過(guò)CC1的中點(diǎn)與直線AC1所成角為40并且與平面BEF所成角為50的直線有2條. TOC o 1-5 h z A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】試題分析：（1）連接BD ,由AC 1 BD, AC 1 DD，可知AC 1面BDD B，而B(niǎo)E u面BDD B ,.

48、HYPERLINK l bookmark182 o Current Document 11 11 12AC 1 BE,（1）正確；（2）由AA 面BDDB，則尸點(diǎn)到面BEF的距離等于A到面BDD B的距離二廠， 11 11 12（2）正確；（3）三棱錐A-BEF中，底面積是定值，高是定值，所以體積是定值，（3）正確；（4）在AC上任取點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P和直線DD1確定面a，設(shè)面a面BCC1 B= l，則l與直線B1C1必有交點(diǎn)G （若I BC，則B1C1?？?,矛盾），則直線PG就是所畫(huà)的直線，因?yàn)辄c(diǎn)P的任意性，所以這樣的直線有無(wú)數(shù)條，（4）正確；（5）設(shè)CC1的中點(diǎn)為O，過(guò)點(diǎn)O與AC1所成的角是4

49、00的直線，是以與AC1平行的直 線為軸的圓錐的母線所在的直線，過(guò)點(diǎn)O與面BDD1 B1所成的角是500的直線，是以過(guò)點(diǎn)O且與面 BDD1 B1垂直的直線為軸的圓錐的母線，兩圓錐交于兩條直線，（5）正確.考點(diǎn)：1、線面垂直的判定；2、異面直線所成的角；3、直線和平面所成的角.二面角a-l-P等于120，A、B是棱l上兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面a、P內(nèi)，ACl，BDl，且 TOC o 1-5 h z AB=AC=BD=1，貝CD 的長(zhǎng)等于（ ）A.戒 B.把/ C. 2 D. */【答案】CV【解析】略 .*/如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD - ABCD的面1111對(duì)角線A1B上存在-點(diǎn)

50、P使得AP+D1P取得最小值,則此最小值為（A. 2B. ”；，C. 2+克D.頊2+百【答案】D【解析】解：把對(duì)角面A1C繞A1B旋轉(zhuǎn)，使其與AAA1B在同一平面上，連接AD1,50. 8、已知等腰直角三角形ABC中，匕B=&0, AC, BC的中點(diǎn)分別是D, E,DE把該三角形折成直二面角，此時(shí)斜邊AC被折成折線ADC,則匕ADC等于（）A. 150 B. 135 C. 120 D. 100【答案】C【解析】本題考查平面圖形的翻折，線面垂直，空間想象能力.在等腰直角三角形ABC中，匕B=90, AC, BC的中點(diǎn)分別感D, E,所以DE BC;在折成直二面角圖形中CE 1 DE，因?yàn)槠矫鍯

51、DF平面A）EB,所以CE 平面40匹8,所以CE 頊設(shè)等腰直角三角形ABC的邊孩至。2，則指皇2克,CE = DE = 1, AD = CD =、還, TOC o 1-5 h z A D ? C 廣一 DAF = AB2 + BE2 = ；5,所以 AC =AE2 + CE2 = .；6;在 AADC 中，取 AC 中點(diǎn) F,連CF 1 AC .6 ,氣DF，則DF 1 AC, sin /CDF = 一 = -2一 =二,CD CD 22/CDF = 600,則/ADC = 2/CDF = 1200.故選 C第II卷（非選擇題）評(píng)卷人得分評(píng)卷人得分評(píng)卷人得分請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明二、解

52、答題（題型注釋）三、新添加的題型四、填空題 TOC o 1-5 h z 51.如圖所示的一塊長(zhǎng)方體木料中，已知AB = BC = 2, AA1 = 1,設(shè)F為線段AD上一點(diǎn)，則該長(zhǎng)方體中經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,F,C的截面面積的最小值為.6【答案】5偵5【解析】試題分析：如圖所示，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,F,C的截面為平行四邊形CFA1E設(shè)=2人，則CF = + +(2一泌，為了求出平行四邊形快的高，先求口ACF的高h(yuǎn)由等面積法可得 1 ：2設(shè)=2人，則CF = + +(2一泌，為了求出平行四邊形快的高，先求口ACF的高h(yuǎn)由等面積法可得 1 ：22+(2-2人)2-h = 112X 2 2Xn hf = .，又由三垂

53、線定理可得平行四邊形；1 + (1 -X)2、22X/CFAE 的高 h = S = CF h = CF = (22 + (2-2X 、5X2 2X + 2 = 2(5X2 2X + 2，當(dāng)且僅當(dāng) X = 1 時(shí) 5考點(diǎn)：幾何體的截面面積的計(jì)算1 + (1一人52.如圖所示的一塊長(zhǎng)方體木料中，已知AB = BC = 4, AA = 1,設(shè)E為底面ABCD的中心，且AF = X AD,(0 X 2)，則該長(zhǎng)方體中經(jīng)過(guò)點(diǎn) E, F的截面面積的最小值為125 【答案】飛一【解析】試題分析：如圖所示，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1，E,F的截面為平行四邊形FA1HN設(shè) AF = 4 人，則 NF = J 42 +(4 -

54、派，為了求出平行四邊形FA HN的高，先求ANF的高h(yuǎn) ，由等 1面積法可得1 e42 + (4-8X)2 h =1 4 4X n h =, 耿、=，又由三垂線定理可得平行四邊形22：1 + (1-2X)2FAHN 的高h(yuǎn) =-h2+1 =1(4X、2一 20X 2 - 4X + 2，+1 = ，/，因此平行四邊形FA HN的面積1 + (1-泌1S = NF h = (42 + (4 8X.、20X2 4Xt2 = 4.20X2 4X + 2，當(dāng)且僅當(dāng) X =時(shí)1 + (1-2X10考點(diǎn)：幾何體的截面面積的計(jì)算；三棱錐D - ABC的體積為53.三棱錐P- ABC中，PA 1平面ABC, A

55、C BC ；三棱錐D - ABC的體積為下圖所示)，則AD與平面PBC所成角的大小為.【答案】:，【解析】 試題分析：由題設(shè)及正視圖可知AD1 PC，又由PA 1平面ABC, AC 1 BC得BC 1 AD，所以AD 1兀1 116平面PBC，即AD與平面PBC所成角為5 .三棱錐D - ABC的體積V = - x - x 4 x 4 x 2 = 考點(diǎn)：1、三視圖；2、三棱錐的體積.54.長(zhǎng)方體ABCD - ABCD中，已知AB = AD = 2,明 =3，棱AD在平面a內(nèi)，則長(zhǎng)方體在平面 a內(nèi)的射影所構(gòu)成的圖形面積的取值范圍.【答案】4 S 2 13.【解析】試題分析：四邊形ABCD和ADD

56、1 At的面積分別為4和6,長(zhǎng)方體在平面a內(nèi)的射影可由這兩個(gè)四邊形在平面a內(nèi)的射影組合而成.顯然，Smin = 4 .若記平面ABCD與平面a所成角為0 ,則平面ADD1A1與平面 所成角為-0 .它們?cè)谄矫鎍內(nèi)的射影分別為4cos0和6cos(-0) = 6sin0，所以， TOC o 1-5 h z a22-0 = ,S = 4cos0 + 6sin0 = 2v13sin(0+)(其中，tan= )，因此，S = 213，當(dāng)且僅當(dāng)2 時(shí) HYPERLINK l bookmark215 o Current Document max取到.因此，4 S 2(13 .考點(diǎn)：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值.5

57、5.如圖1，已知點(diǎn)E、F、G分別是棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1 BgD的棱AA、BB、DD1的中點(diǎn)， 點(diǎn)M、N、P、Q分別在線段AG、CF、BE、C1D1上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以M、N、P、Q為頂點(diǎn)的三棱錐Q-PMN 的俯視圖是如圖2所示的正方形時(shí)，則點(diǎn)Q到PMN的距離為.【答案】a【解析】試題分析：根據(jù)俯視圖可知，點(diǎn)尸,Q,M,N的位置如下圖所示.易知點(diǎn)Q到平面PMN的距離即為正方體的高a .考點(diǎn)：1、空間幾何體及其三視圖；2、點(diǎn)到平面的距離.,2。256.【改編題】已知A ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上，且cos A = ，BC=1，AC=3，則球O的表面積為1&，三棱錐O- ABC的體積為.

58、14【答案】 【解析】試題分析：設(shè)球的半徑為R， A ABC的外接圓半徑為1，球心0到截面ABC的距離為d，球O的表面積為4兀R2=16-，得球的半徑為R = 2，積為4兀R2=16-，得球的半徑為R = 2，由 cos A =二一得，sin A =飛，由 =2r，得3 sin Ar = a =- = 3，球心0到平面ABC的距離d = VR2 -r2 =4一9 =土7，由余弦定理得 2sin A 2 x - 24212 = BC2 = AC2 + AB2 - 2AC x AB cos A = 9 + AB2 - 2x 3AB x 2，解得 AB=2 0）繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為.9

59、4【答案】1位【解析】 試題分析：V = 2134k（1-蘭）dx = 8兀（X X3）3 = 16兀09270考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體體積59.如圖，在矩形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，AB = 1，BC = 2，分別以A、D為圓心，1為半徑 作圓弧EB、EC （ E在線段AD上）.由兩圓弧EB、EC及邊BC所圍成的平面圖形繞直線AD旋轉(zhuǎn)一 周，則所形成的幾何體的體積為.、2?！敬鸢浮康?【解析】由題意，可得所得到的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)半球而成；其中，圓柱的底面半徑為，母_44兀線長(zhǎng)為2；體積為匕=Kr2h = 2兀；兩個(gè)半球的半徑都為1，則兩個(gè)半球的體積為V2 =與兀r3 =；則 所求幾何體的體

60、積為2兀V = V - V =.123考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體的組合體. 一個(gè)正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，體積為|/2，則它的表面積為.【答案】4 + 4再【解析】設(shè)正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等為2。，則Sabcd = 4a2,h = PB2 -BO2 =4。2 2。2 = J2。，則 V = 3x4很a3 = 4)角后不能回到原位置，得到的新正方體必定與原正方體不重合.滿足題意的直線PQ共有三種情況：如圖1，當(dāng)PQ為正方體的體對(duì)角線時(shí)，正方體繞PQ旋轉(zhuǎn)身,4；時(shí)，能與原圖重合.這樣的PQ PQ 有4條；如圖2,當(dāng)PQ穿過(guò)正方體對(duì)面中心時(shí)，正方體繞PQ PQ旋轉(zhuǎn)；,兀，琴 時(shí)，能與原圖重合.這樣的P