空間向量計(jì)算距離與角度

1、全國(guó)名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課時(shí)訓(xùn)練匯編（優(yōu)品質(zhì)）板塊四.用空間向量計(jì)算距離典例分析【例1】AB在正萬(wàn)體 ABCD - 典例分析【例1】AB在正萬(wàn)體 ABCD - ABCD 中，BE = DF = 1 1114與角度11111，求BE與DF所成角的余弦 411值.【例2】,Bq【例2】,Bq AB.求證:AB】=AC .【例3】如圖所示，在底面是直角梯形的四棱錐S - ABCD中，Z ABC = 90 , SA 【例3】ABCD , SA = AB = BC = 1, AD = 1 .求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.2【例4】 已知A(0,2, 3), B (-2,1, 6), C(1,-1

2、,5)，求方向向量為j = (0,0, 1)直線與平面ABC所成角的余弦值.A【例5】 已知平行六面體ABCD - ABCD，中，AB = 4，AD = 3， AA= 5， Z BAA = ZDAA = 60 ， /BAD = 90。，求 AC 的長(zhǎng)【例6】 如圖直角梯形OABC中，ZCOA = ZOAB = ，OC = 2，OA = AB = 1，SO 平面 2OABC，SO = 1，以O(shè)C、OA、OS分別為x軸、J軸、z軸建立直角坐標(biāo)系O - xyz .求SC與OB的夾角a的大小(用反三角函數(shù)表示)；設(shè)n = (1，p，q)，滿足n 平面SBC，求n的坐標(biāo)；OA與平面SBC的夾角P (用反

3、三角函數(shù)表示)；O到平面SBC的距離.【例7】如圖四棱錐P -ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG 平面ABCD ,垂足為G ,G 在 AD 上，且 PG = 4 , AG =1GD , BG GC , GB = GC = 2 , E 是 BC 的中點(diǎn).3求異面直線GE與PC所成的角的余弦值；求點(diǎn)D到平面PBG的距離；若g點(diǎn)是棱PC上一點(diǎn)，且DF GC,求生的值.FC【例8】已知E , F分別是正方體ABCD - ABCD的棱BC和CD的中點(diǎn)，求 1111AD與EF所成角的大?。?A F與平面B EB所成角的大??；11二面角C - DB - B的大小.【例9】【例10】長(zhǎng)方體ABCD -

4、 ABCD中，AB = BC = 4 , E為AC與BD的交點(diǎn)，【例9】【例10】111111111Bf的交點(diǎn)，又AF 1 BE，求長(zhǎng)方體的高BB1 ;二面角B - AF - C的大小.如圖：在空間四邊形ABCD中，AB、BC、BD兩兩垂直，且AB = BC = 2，E是AC的中點(diǎn),異面直線AD和BE所成的角為。、，求BD球度；二面角D - AC - B的余弦值.【例11】如圖，直三棱柱ABC - ABC中，AB 1 AC , D、E分別為AA、BC的中點(diǎn), 11111DE1平面BCC1證明：AB = AC .設(shè)二面角A - BD - C為60。，求BC與平面BCD所成角的大小.1【例12】如

5、圖，在直三棱柱ABC - ABC中，AA = BC = AB = 2 , AB BC，求二面角 【例12】B - AC - C的大小.11【例13】如圖，直三棱柱ABC - A1B1C1中，底面是等腰直角三角形， ZACB = 90。，側(cè)棱 俱=2，D、E分別是CC與AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是AABD 的垂心G .求A1B與平面ABD所成角的余弦值；求點(diǎn)A到平面AED的距離.【例14】如圖，四棱錐S - ABCD中，底面ABCD為矩形，SD 底面ABCD , AD = 2 , DC = SD = 2 .點(diǎn) M 在側(cè)棱 SC 上，ZABM = 60。.證明：M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；求二面

6、角S - AM - B的大小.【例15】如圖所示：邊長(zhǎng)為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂 直目 DE =、,2，ED AF 且ZDAF = 90。.求BD和面BEF所成的角的余弦；線段EF上是否存在點(diǎn)P使過(guò)P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直，若存在， 求EP與PF的比值；若不存在，說(shuō)明理由.【例16】如圖，在空間四邊形OABC中，OA = 8 , AB = 6, AC = 4, BC = 5, ZOAC = 45 ZOAB = 60。，求OA與BC的夾角的余弦值.【例【例17】如圖，在三棱柱ABC - ABC中，AB 側(cè)面BBCC , E為棱CC上異于C、C11 1

7、 11 11的一點(diǎn)， EA EB，已知 AB = J2，BB = 2，BC = 1，ZBC% =:, 求：異面直線AB與EB的距離；二面角A - EB - A1的平面角的正切值.【例18】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD - ABCD中，E、F、G分別是CD、AD、11111111BB的中點(diǎn)，取如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,寫出A、B.、E、G的坐標(biāo)；求證：CF 1 AE，且 |CF| = AE| ；求異面直線EF與AG所成角的余弦值.【例19】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD - ABCD中，E、F、G分別是CD、AD、11111111BB1的中點(diǎn)，求證：CF 1 AE，且 |CF| = AE|

8、 ；求異面直線EF與AG所成角的余弦值.寫出平面AGC的一個(gè)法向量.AB【例20】如圖，在直四棱柱ABCD - ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，側(cè)棱長(zhǎng)為2 .1111BD與AD能否垂直？請(qǐng)證明你的判斷；111當(dāng)ZABC在-,-上變化時(shí)，求異面直線AC與AB所成角的取值范圍. iii 32i i 1DBiCi【例2i】如圖：已知四棱錐P - ABCD的底面是平行四邊形，PE 面ABCD，垂足E在邊AD8上 BEC是等腰直角三角形，BE = EC = 2，四面體PBEC的體積為-.3C求面PBC與底面ABCD所成的銳二面角的余弦值；求點(diǎn)A到面PBC的距離；若點(diǎn)F在直線PC上，且PC 面BEF,求竺的值.PC【例22】如圖所示：邊長(zhǎng)為2的正方形ABFC