雙曲線中焦點(diǎn)三角形探索

1、雙曲線中焦點(diǎn)三角形的探究基本條件：1：該三角形一邊長(zhǎng)為焦距2c，另兩邊的差的約對(duì)值為定值2a。2：該三角形中由余弦定理得cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|2聯(lián)合定義，有2|PF1|PF2|x2y21a2b20性質(zhì)一、設(shè)若雙曲線方程為（a0，b），F(xiàn)1,F2分別為它的左右焦點(diǎn)，P為雙曲線上隨意一點(diǎn)，則有：若F1PF2,則SVFPFb2cot122；特別地，當(dāng)F1PF290oSVFPFb2。時(shí)，有12證明：記|PF1|r1,|PF2|r2，由雙曲線的定義得在F1PF2中，由余弦定理得：r12r222r1r2cos(2c)2.配方得：(r1r2)22r1r22r1r2cos4c2.

2、即4a22r1r2(1cos)4c2.由隨意三角形的面積公式得：1sin2sincosSF1PF2b2b222b2cotr1r2sin1cos2sin2222.特別地，當(dāng)90cot2時(shí)，21，因此SVF1PF2by2x21a2b2同理可證，在雙曲線（a0，b0）中，公式仍舊建立.x2y21F1、F2是其焦點(diǎn)，且F1PF260，求F1PF2例4若P是雙曲線6436上的一點(diǎn)，的面積.x2y2160.記|PF1|r1,|PF2|r2.解法一：在雙曲線64368,b6,c10,而中，a點(diǎn)P在雙曲線上，由雙曲線定義得：r1r22a16.FPF2中，由余弦定理得：r12r222r1r2cos(2c)2.在

3、1配方，得：(r1r2)2r1r2400400r1r2256.進(jìn)而r1r2144.解法二：在雙曲線考題賞識(shí)x2y2641236，而60.36中，b（2010全國(guó)卷1理）(9)已知F1、F2為雙曲線C:x2y21的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，F(xiàn)1PF2=600，則P到x軸的距離為(A)3(B)6(C)3(D)622【答案】B（2010全國(guó)卷1文）（8）已知F1、F2為雙曲線C:x2y21的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，F(xiàn)1PF2=600，則|PF1|g|PF2|(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【分析1】.由余弦定理得cosF1PF2=|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|PF

4、1|g|PF2|4【分析2】由焦點(diǎn)三角形面積公式得：SF1PF2b2cot12cot60031PF1PF2sin6001PF1PF23|PF1|g|PF2|422222x2y21F1、F2a2b2，當(dāng)點(diǎn)P是性質(zhì)一推論：在雙曲線（a0，b0）中，左右焦點(diǎn)分別為SF1PF2b2csin雙曲線左支上隨意一點(diǎn)，若accosPF1F2，則.特別地，當(dāng)PF1F290時(shí)，b2cSF1PF2a。當(dāng)點(diǎn)P是雙曲線右支上隨意一點(diǎn)，若PF1F2（雙曲線漸近線的傾斜有SF1PF2b2csinccosa角），則證明：i、當(dāng)P為左支上一點(diǎn)時(shí)，記|PF1|r1,|PF2|r2（r1r2），由雙曲線的定義得r2r12a,r2r

5、12a，在F1PF2中，由余弦定理得：r124c24r1ccosr22.代入得r124c24r1ccos(r12a)2.r1b2求得ccos。aSF1PF21r1F1F2sin1b22csinb2csin22accosaccos得證SF1PF2b2c特別地，當(dāng)90時(shí)，aii、當(dāng)P為右支上一點(diǎn)時(shí)，記|PF1|r1,|PF2|r2（r1r2），由雙曲線的定義得r1r22a,r2r12a，在FPF2中，由余弦定理得：r124c24r1ccosr22.1代入得r124c24r1ccos(r12a)2.r1b2求得ccosa。SFPF21r1F1F2sin1b22csinb2csin122ccosacc

6、osa得證x2y21PF1F260，例5（1）若P是雙曲線6436左支上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是其焦點(diǎn)，且求F1PF2的面積.（2）若P是雙曲線x2y21PF1F260，求F1PF24右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是其焦點(diǎn)，且的面積.1）解法一：在雙曲線點(diǎn)P在雙曲線上，x2y26416,c10,而60.記|PF1|r1,|PF2|r2.36中，a8,b由雙曲線定義得：r2r12a16.r216r1在FPF2中，由余弦定理得：r124c24r1ccosr22.1r13613解得：x2y2解法二：在雙曲線64136，而60.36中，a8,b6,c10,b22）解法一：在雙曲線點(diǎn)P在雙曲線上，x2y215,而60.記|PF1|r1,|PF2|r2.4中，a1,b2,c由雙曲線定義得：r1r22a2.r2r12FPF2中，由余弦定理得：r124c24r1ccosr22.在1解得：r18(52)x2y218,b6,c10,b2解法二：在雙曲線643636，而60.中，a性質(zhì)二、雙曲線的焦點(diǎn)三角形PF1F2中，PFF12,PF2F1,當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線右支上時(shí)，有tancote1;22e1cottane