《圓周率的歷史》的課件1

1、圓周率的歷史圓周率的歷史圓周率圓周率，一般以來表示，是一個在數(shù)學(xué)及物理學(xué)普遍存在的數(shù)學(xué)常數(shù)。它定義為圓形之周長與直徑之比。它也等于圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關(guān)鍵。分析學(xué)上， 可定義為是最小的x0 使得 sin(x) = 0。數(shù)學(xué)簡史2圓周率圓周率，一般以來表示，是一個在數(shù)學(xué)及物理學(xué)普遍存在的常用的 近以值包括疏率:22/7 及密率: 355/113。這兩項均由祖沖之給出。 約等于（精確到小數(shù)點后第100位）3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944

2、 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70680數(shù)學(xué)簡史3常用的 近以值包括疏率:22/7 及密率: 355/11古希臘歐幾里得的幾何原本（約公元前3世紀(jì)初）中提到圓周率是常數(shù)，中國古算書周髀算經(jīng)（約公元前2世紀(jì)）中有徑一而周三的記載，也認(rèn)為圓周率是常數(shù)。歷史上曾采用過圓周率的多種近似值 ，早期大都是通過實驗而得到的結(jié)果，如古埃及紙草書（約公元前1700）中取=（4/3）43.1604 。數(shù)學(xué)簡史4古希臘歐幾里得的幾何原本（約公元前3世紀(jì)初）中提到圓周率第一個用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他在圓的度量（公元前3世紀(jì)）中用圓內(nèi)接和外切正多

3、邊形的周長確定圓周長的上下界，從正六邊形開始，逐次加倍計算到正96邊形，得到(3+(10/71) (3+(1/7) ，開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法（亦稱古典方法，或阿基米德方法），得出精確到小數(shù)點后兩位的值。數(shù)學(xué)簡史5第一個用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他在圓的度量中國數(shù)學(xué)家劉徽在注釋九章算術(shù)時（公元263年）只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值，也得出精確到兩位小數(shù)的值，他的方法被后人稱為割圓術(shù)，其中有求極限的思想。數(shù)學(xué)簡史6中國數(shù)學(xué)家劉徽在注釋九章算術(shù)時（公元263年）只用圓內(nèi)接南北朝時代的數(shù)學(xué)家祖沖之利用割圓術(shù)進(jìn)一步得出精確到小數(shù)點后7位的值（公元466年），給出不足近似值3.141

4、5926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似分?jǐn)?shù)值，密率355/113和約率22/7，這一紀(jì)錄在世界上保持了一千年之久。為紀(jì)念祖沖之對中國圓周率發(fā)展的貢獻(xiàn)，將這一推算值用他的名字被命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。數(shù)學(xué)簡史7南北朝時代的數(shù)學(xué)家祖沖之利用割圓術(shù)進(jìn)一步得出精確到小數(shù)點后7其中的密率在西方直到1573才由德國人奧托得到，1625年發(fā)表于荷蘭工程師安托尼斯的著作中，歐洲稱之為安托尼斯率。阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西在15世紀(jì)初求得圓周率17位精確小數(shù)值，打破祖沖之保持近千年的紀(jì)錄。德國數(shù)學(xué)家柯倫于1596年將值算到20位小數(shù)值，后投入畢生精力，于1610年算到小數(shù)后35位數(shù)，該數(shù)值被

5、用他的名字稱為魯?shù)婪驍?shù)。 數(shù)學(xué)簡史8其中的密率在西方直到1573才由德國人奧托得到，1625年發(fā)除的數(shù)值計算外，它的性質(zhì)探討也吸引了眾多數(shù)學(xué)家。1761年瑞士數(shù)學(xué)家蘭伯特第一個證明是無理數(shù)。1794年法國數(shù)學(xué)家勒讓德又證明了2也是無理數(shù)。到1882年德國數(shù)學(xué)家林德曼首次證明了是超越數(shù)，由此否定了困惑人們兩千多年的化圓為方尺規(guī)作圖問題。還有人對的特征及與其它數(shù)字的聯(lián)系進(jìn)行研究。如1929年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家格爾豐德證明了e 是超越數(shù)等等。數(shù)學(xué)簡史9除的數(shù)值計算外，它的性質(zhì)探討也吸引了眾多數(shù)學(xué)家。1761年在歷史上,有不少數(shù)學(xué)家都對圓周率作出過研究,當(dāng)中著名的有阿基米德、托勒密、張衡、祖沖之等。他們在自己

6、的國家用各自的方法,辛辛苦苦地去計算圓周率的值。下面,就是世上各個地方對圓周率的研究成果。數(shù)學(xué)簡史10在歷史上,有不少數(shù)學(xué)家都對圓周率作出過研究,當(dāng)中著名的有阿基研究圓周率歷史的幾個階段起承轉(zhuǎn)接數(shù)學(xué)簡史11研究圓周率歷史的幾個階段起承轉(zhuǎn)接數(shù)學(xué)簡史11起【起】即為圓周率的起源，那究竟是誰先發(fā)現(xiàn)它？古巴比倫人從計算周界發(fā)現(xiàn) ：一塊出土于 1936 年的黏土塊上記載，在古巴比倫時期 (約公元前 1900-1600 年) ，巴比倫人相信六邊形的周界為0;57,36 (以底數(shù) 60 計，亦即 = 96/100 = 24/25) 乘以它的外接圓的周界： 六邊形周界 = 24/25 其外接圓周界 = 24/

7、25 直徑由此，得出相信是最古老的圓周率的近似值： 巴比倫= 25/8 = 3.125數(shù)學(xué)簡史12起【起】即為圓周率的起源，那究竟是誰先發(fā)現(xiàn)它？古巴比倫人從計承【承】是承繼安提豐和布賴森的窮舉法而發(fā)展的一個時期：以多邊形找尋圓周率的值數(shù)學(xué)簡史13承【承】是承繼安提豐和布賴森的窮舉法而發(fā)展的一個時期：以古希臘西那庫斯的阿基米德（Archimedes of Syracuse，公元前 287 - 212 年），是第一個有系統(tǒng)地找出圓周率的近似值和圓周率的上下限的數(shù)學(xué)家。他采用了安提豐和布賴森的窮舉法，但他的研究重點則在多邊形的周界。阿基米德在圓的度量（The Measurement of the C

8、ircle）中，提出三個有關(guān)圓的定理。即：3.14084. 3.14285.數(shù)學(xué)簡史14古希臘西那庫斯的阿基米德（Archimedes of Syr劉徽是獨立開創(chuàng)以多邊形面積迫近圓面積的窮舉法割圓術(shù)來找出圓周率的值的。最后，劉徽更求得正 3072 邊形的面積，從而得出： = 3927/1250 = 3.1416 即 的值準(zhǔn)確至小數(shù)后三個位，后人稱為徽率。數(shù)學(xué)簡史15劉徽是獨立開創(chuàng)以多邊形面積迫近圓面積的窮舉法割圓術(shù)來找祖沖之運用了劉徽的割圓術(shù)及他無比的耐性與堅持（當(dāng)時并沒有算盤等計算工具，只能靠小竹子幫助計算，但他實質(zhì)的計算方法則無從確定），算到: 3.1415926 3.1415927他還發(fā)

9、現(xiàn)了約率：祖沖之更取 = 22/7（= 3.14.）作為約率密率： = 355/113（= 3.1415929） 作為密率，以表示圓周率的近似值。祖率：是圓周率的值準(zhǔn)確至小數(shù)后 7 個位，后稱3.1415926 。數(shù)學(xué)簡史16祖沖之運用了劉徽的割圓術(shù)及他無比的耐性與堅持（當(dāng)時并沒有轉(zhuǎn)【轉(zhuǎn)】是尋求圓周率的一個轉(zhuǎn)折點。圓周率的計算有了新的突破以解析表達(dá)式表示及求出圓周率的值。數(shù)學(xué)簡史17轉(zhuǎn)【轉(zhuǎn)】是尋求圓周率的一個轉(zhuǎn)折點。圓周率的計算有了新的突破接接是緊接著以上發(fā)現(xiàn)的很多計算圓周率值的公式所延伸的一個時期：隨著科技的突飛猛進(jìn)，計算機(jī)的發(fā)明，令圓周率的計算速度有了新的突破。數(shù)學(xué)簡史18接接是緊接著以上

10、發(fā)現(xiàn)的很多計算圓周率值的公式所延伸的一個圓周率的研究方法古人計算圓周率，一般是用割圓法。即用圓的內(nèi)接或外切正多邊形來逼近圓的周長。Archimedes用正96邊形得到圓周率小數(shù)點后3位的精度；劉徽用正3072邊形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen用正262邊形得到了35位精度。這種基于幾何的算法計算量大，速度慢，吃力不討好。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們在進(jìn)行數(shù)學(xué)研究時有意無意地發(fā)現(xiàn)了許多計算圓周率的公式。下面挑選一些經(jīng)典的常用公式加以介紹。除了這些經(jīng)典公式外，還有很多其它公式和由這些經(jīng)典公式衍生出來的公式，就不一一列舉了。數(shù)學(xué)簡史19圓周率的研究方法古人計算圓周率，一般是用割圓法。

11、即用圓的內(nèi)接1、 Machin公式： 這個公式由英國天文學(xué)教授John Machin于1706年發(fā)現(xiàn)。他利用這個公式計算到了100位的圓周率。Machin公式每計算一項可以得到1.4位的十進(jìn)制精度。因為它的計算過程中被乘數(shù)和被除數(shù)都不大于長整數(shù)，所以可以很容易地在計算機(jī)上編程實現(xiàn)。數(shù)學(xué)簡史201、 Machin公式：數(shù)學(xué)簡史202、 Ramanujan公式： 1914年，印度數(shù)學(xué)家Srinivasa Ramanujan在他的論文里發(fā)表了一系列共14條圓周率的計算公式，這是其中之一。這個公式每計算一項可以得到8位的十進(jìn)制精度。1985年Gosper用這個公式計算到了圓周率的17,500,000位

12、。數(shù)學(xué)簡史212、 Ramanujan公式：數(shù)學(xué)簡史213、AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法：Gauss-Legendre公式：初值： 重復(fù)計算： 最后計算： 數(shù)學(xué)簡史223、AGM(Arithmetic-Geometric Mea4、Borwein四次迭代式：初值： 重復(fù)計算： 最后計算： 這個公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein于1985年發(fā)表，它四次收斂于圓周率。數(shù)學(xué)簡史234、Borwein四次迭代式：數(shù)學(xué)簡史235、 Bailey-Borwein-Plouffe算法： 這個公式簡稱BBP公式，由David Bailey,

13、Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同發(fā)表。它打破了傳統(tǒng)的圓周率的算法，可以計算圓周率的任意第n位，而不用計算前面的n-1位。這為圓周率的分布式計算提供了可行性。1997年，F(xiàn)abrice Bellard找到了一個比BBP快40的公式： 數(shù)學(xué)簡史245、 Bailey-Borwein-Plouffe算法：數(shù)學(xué)圓周率的新紀(jì)錄圓周率的最新計算紀(jì)錄由兩位日本人Daisuke Takahashi和Yasumasa Kanada所創(chuàng)造。他們在日本東京大學(xué)的IT中心，以Gauss-Legendre算法編寫程序，利用一臺每秒可執(zhí)行一萬億次浮點運算的超級計算機(jī)，從日本時間1999年9月18日19:00:52起，計算了37小時21分04秒，得到了圓周率的206,158,430,208(3*236)位十進(jìn)制精度，之后和他們于1999年6月27日以Borwein四次迭代式計算了46小時得到的結(jié)果相比，發(fā)現(xiàn)最后45位小數(shù)有差異，因此他們?nèi)⌒?shù)點后206,158,430,000位的值為本次計算結(jié)果。這一結(jié)果打破了他們于1999年4月創(chuàng)造的68,719,470,000位的世界紀(jì)錄。數(shù)學(xué)簡史25圓周率的新紀(jì)錄