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文檔簡介

1、第四節(jié) 函數單調性與曲線的凹凸性一、函數單調性的判別法二、曲線的凹凸性與拐點三、小結1一、單調性的判別法f (x)0aby=f(x)xoy y =f(x)xoyabf (x)0, 那么函數 y= f (x) 在 a, b上單調增加;(2) 如果在 (a, b)內 f (x)1 時, 證f (x)在1, +)上連續(xù), 在(1, + )內 f (x)0, 因此在1, +)上單調增加, 從而當 x1時,即11例. 證明時, 成立不等式證: 令從而因此且證12* 證明令則從而即13二、曲線凹凸的定義問題: 如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方14定義(描

2、述定義)1.如果在區(qū)間(a,b)內，曲線y=f(x)在其上任意一點的切線的上方，則稱曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)內是凹的(或下凸的)；2.如果在區(qū)間(a,b)內，曲線y=f(x)在其上任意一點的切線的下方，則稱曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)內是凸的(或下凹的)；（1）凹（2）凸15定義16曲線凹凸的判定定理117證:任取記利用拉格朗日中值定理,說明 (1) 成立;(2)證畢18判別函數的凹凸性的一般步驟1) 確定函數的定義域.2)在定義域求出函數二階導數為零或不存在的點,用這些點把定義域分成若干個部分區(qū)間.(同時求出函數二階導數大于零或小于零的區(qū)間)3)在各部分區(qū)間內根據函數二階導數的符

3、號來判判別凹凸性.注意:若函數在某一點兩邊二階導數符號同號,則應考慮合并區(qū)間.特別地,若函數在這一點的一階導數連續(xù),則應合并.19例解注意到,20定義.若函數在區(qū)間 I 上連續(xù),不是 I 的端點,如果曲線在經過點時,曲線的凹凸性發(fā)生了改變,稱這樣的點為此曲線的拐點.簡單地說, 拐點就是連續(xù)曲線上凹凸的分界點 . 根據拐點的定義及上述定理, 可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在 兩側異號,則點是曲線的一個拐點.拐點的簡易判別法:若,而 21注意: 1.拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.2.在拐點處連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為拐點.22例解凹的凸的凹的拐點拐點23注意:例解24附加內容: 曲線的漸近線 定義： 251.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:26例如有鉛直漸近線兩條:2.鉛直漸近線273.斜漸近線斜漸近線求法:28注意:例解2930例 求曲線 的漸近線解31內容小結1. 可導函數單調性判別在 I 上單調遞增在 I 上單調遞減2.曲線凹凸與拐點的判別+拐點 連續(xù)曲線上的凹凸分界點32思考與練習上則或的大小順序是 ( )提示: 利用單調增加 ,及B1. 設在33 .2. 曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)

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