初探大學生數(shù)學建模競賽的深入開展

1、初探大學生數(shù)學建模競賽的深入開展 我們一直認為競賽的深入命題和紀律是關鍵, 沒有錯. 但是, 怎樣才能做到? 不僅需要大學生的理解和認同, 更需要科技界和社會的理解、認同和支持, 我們才會有更好的命題來源, 也需要各級教育行政領導的理解、認同和支持. 我們也需要更多更優(yōu)秀的大學生的參加. 怎么做到? 競賽不是孤立的, 從整體來看, 我們應該有一種良性循環(huán): 中學生知道一點數(shù)學建模知識; 大學生(全體大學生!)知道更多, 特別是通過主干數(shù)學課程的教學初步了解數(shù)學建模的全過程和難點; 有興趣的同學可以選修數(shù)學建模課(模型不在多, 要有更多的實踐); 躍躍欲試者參加我國或美國的大學生數(shù)學建模競賽或教

2、師的研究課題. 數(shù)學教育也是素質教育(李大潛文), 數(shù)學建模教育是其重要組成部分. 國民素質的提高的標志之一是會“算”, 教育要不僅要教學生“know how(懂得怎么做)”, 還要教學生“know why(懂得為什么要怎么做)”: 為什么要誠信? 為什么不能隨地吐痰? 為什么要遵守交通規(guī)則? 為什么不能污染江河? 為什么要講衛(wèi)生? 都要有定量的計算, 以理(令人信服的計算)服人. 我國大、中學生的的數(shù)學水平很高嗎? 對一則報道的不同解讀. 我們應該反思什么?Americas slipping to second tierin science(美國科學水平正在下滑到第二位)By Cynthia

3、 TuckerOriginally published May 16, 2005 in The Baltimore SunATLANTA - We Americans have become quite comfortable with our relatively recent designation as the worlds only superpower. Thats a mistake, since we wont hold the top spot long. In a generation or so, the Chinese will probably be ranked as

4、 a superpower, too. Indeed, if the United States doesnt get a grip on science and math education, the Chinese will be standing alone astride the globe, while we have fallen to a second-tier standing. Its easy enough to see how that could happen. Chinese officials (and parents) take science and math

5、seriously. High school and college students work hard to master chemistry, physics, biology, and engineering. For that matter, so do Indian students. American students, with precious few exceptions, dont. 提高數(shù)學、數(shù)學教師的地位(說話的份量或者說發(fā)言權), 當然要靠自己的能力(教學效果、自己的科研成果和為人等), 教給學生真正有用, 而且會用的數(shù)學思想和方法是極其重要的.數(shù)學建模方面的教學成

6、績和科研成果是十分重要的. 為此, 編寫真正高質量的、可以不打亂(干擾)現(xiàn)有教學秩序, 又能有機地融如(插入)主干數(shù)學課程的數(shù)學建模和數(shù)學實驗的教學單元在某種意義下是當務之急! 因為它是不影響當前教學秩序、充分利用大學生數(shù)學建模競賽成果(包括我們已經(jīng)培養(yǎng)了大批有能力來做這件事的教師)的深入的教學改革! 正如我們在開展大學生數(shù)學建模競賽初期提出的“大學生數(shù)學建模競賽是不影響正規(guī)教學秩序的教學改革”一樣, 一定會取得很大的成功.最優(yōu)化 導數(shù)的應用(極值問題)教學單元本教學單元試圖通過飲料罐(易拉罐)用材料最省的數(shù)學建模的全過程使同學們了解：了解數(shù)學建模和我們的生活密切相關，就在我們身邊；了解數(shù)學建

7、模的主要步驟和難點，懂得好的數(shù)學建模只依靠數(shù)學知識是不夠的，必須和實際工作者的經(jīng)驗緊密結合；了解數(shù)學的極端重要性，為了真正做好數(shù)學建模必須學好數(shù)學，學習更多的數(shù)學；了解數(shù)學軟件的重要性以及明白堅實的數(shù)學理論基礎是運用好數(shù)學軟件的基礎。通過精心設計的習題，編寫的閱讀材料，提供的參考資料，不僅能引起學生的興趣，吸引學生有親自動手做某些實際問題的數(shù)學建模的全過程，刺激學生學習更多的數(shù)學思想和方法的積極性。適應不同水平的學生的需要。估計用 1-2 學時講課，2-4 學時做習題和閱讀所附的閱讀和參考材料。在講述最優(yōu)化(導數(shù)的應用 極值問題)的前一堂課結束前510分鐘，先提出問題：可口可樂、雪碧、健力寶等

8、銷量極大的飲料罐(易拉罐)頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比為多少? 為什么? 它們的形狀為什么是這樣的? 也可以要求同學在下一堂課前做(或預習)傳統(tǒng)的微積分教材中的一道例題，例如“面向二十一世紀課程教材”中由王綿森、馬知恩主編的工科數(shù)學分析基礎(上冊)，高等教育出版社，1998，pp. 154-155 的例 6.7 “用鐵皮做成一個容積一定的圓柱形的無蓋(或有蓋)容器，問應當如何設計，才能使用料最省，這時圓柱的直徑和高之比為多少? ”(我們略有修改)或者托馬斯微積分第10版，高等教育出版社，2003，例2(pp.291-293).還可以要求同學們在下一堂課之前自己找一個可口可樂飲料罐具體測量一

9、下:它頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高(約為6厘米和12厘米)，胖的部分的直徑約為6.6厘米，胖的部分高約為10.2厘米。怎樣測量比較簡捷？(用一條窄的薄紙條，繞飲料罐相關部分一圈測得周長，再換算得半徑和直徑)。可口可樂飲料罐上標明凈含量為 355 毫升(即 355 立方厘米)。下一堂課上課時，教師帶一個用過的可口可樂飲料罐，給坐在前面的同學測量一下，告訴同學們有關的數(shù)據(jù)，要求同學和教師一起通過數(shù)學建模的方法來回答相關的問題。簡化模型分析和假設：首先把飲料罐近似看成一個正圓柱似乎是合理的。要求飲料罐內(nèi)體積一定時，求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比。用手摸一下頂蓋就能感

10、覺到它的硬度要比其他的材料要硬(厚，因為要使勁拉)，假設除易拉罐的頂蓋外，罐的厚度相同，記作, 頂蓋的厚度為 . 想象一下，硬度體現(xiàn)在同樣材料的厚度上(有人測量過，頂蓋厚度大約是其他部分的材料厚度的 3 倍)。因此，我們可以進行如下的數(shù)學建模。明確變量和參數(shù)：設飲料罐的半徑為 r（因此，直徑為 d = 2r）, 罐的高為 h. 罐內(nèi)體積為 V. b 為除頂蓋外的材料的厚度。其中 r, h 是自變量， 所用材料的體積 S 是因變量，而 b 和 V 是固定參數(shù), 是待定參數(shù)。S 和 V 分別為，注意，飲料罐側面的體積應為 因為 ，所以 可以忽略(極其重要的合理假設或簡化)。記 . 于是我們可以建立

11、以下的數(shù)學模型：其中 S 是目標函數(shù)，是約束條件，V 是已知的(即罐內(nèi)體積一定)，即要在體積一定的條件下求表面積最小的 r, h 和 使得 r, h 和測量結果吻合。這是一個求條件極值的問題。模型的求解：一種解法(從約束中解出一個變量，化條件極值問題為求一元函數(shù)的無條件極值問題)從 解出 ，代入 S，使原問題化為：求 d : h 使 S 最小，即，求 r 使最小。求臨界點: 令其導數(shù)為零得解得臨界點為 ，因此測量數(shù)據(jù)為 h/r=2, 即 ，即頂蓋的厚度是其他材料厚度的 3 倍。為驗證這個 r 確實使 S 達到極小。計算 S的二階導數(shù)因此，這個 r 確實使 S 達到局部極小，因為臨界點只有一個，

12、因此也是全局極小。求 的極小的初等方法是應用算術幾何平均值不等式 ，當且僅當時等號成立.令 ，于是有，當且僅當 時等號成立，即，結果相同。模型另一種解法 Lagrange 乘子法 (增加一個變量化條件極值問題為多元函數(shù)無條件極值問題) 當然，這個問題在講一元函數(shù)求極值問題時沒有辦法講，但是可以作為以后講多元函數(shù)極值問題的伏筆。在課堂上可以啟發(fā)性地講一點。在上述解法中，從解出 h 是關鍵的一步，但是常常不能從約束條件中解出一個變量為另一個變量的函數(shù)(或者雖然能解出來，但很復雜)，無助于問題的求解。但是，如果表示變量間的一種隱函數(shù)關系，并假設從中能確定隱函數(shù)(盡管沒有解析表達式，或表達式很復雜)，

13、那么，我們?nèi)匀豢梢詫懗?，而且，由隱函數(shù)求導法則，我們有 因此，是 S 的臨界點的必要條件為假設 是 S 的臨界點，則有于是，在 處，因此，如果我們引入 ，那么，就有 把問題化為求三元函數(shù) L 的無條件極值的問題。函數(shù) L 稱為 Lagrange 函數(shù)，這種方法成為 Lagrange 乘子法。具體到我們這個問題，有如下的結果。引入?yún)?shù) ，令求臨界點從第 2，3 式解得 ，代入第 1 式得.和前面的結果相同。同學們可能會覺得這個方法不如前一個方法簡單，但是當你們做習題 時你們就會體會到 Lagrange 乘子法的優(yōu)點，以及進一步體會到使用數(shù)學軟件的重要性和必要性。 驗證和進一步的分析：有人測量過

14、頂蓋的厚度確實為其他材料厚度的 3 倍。體積為 ，即裝不下那么多飲料，為什么？要給學生留下盡可能大的想象空間, 鼓勵學生討論、爭論, 建立自己的數(shù)學模型, 等等.實際上，飲料罐的形狀是如下平面圖形繞其中軸線旋轉而成的立體。粗略的計算，可以把飲料罐的體積看成兩部分，一是上底半徑為 3 厘米，下底半徑為 3.3 厘米，高為 1 厘米的錐臺，二是半徑為 3.3 厘米，高為 10.2 厘米的圓柱體。它們的體積分別為，31.2 立方厘米和 349 立方厘米總共為 380.2 立方厘米。然后我們再來通過測量重量或容積(怎么測量?)來驗證。我們可以認為 1 立方厘米的水和飲料的重量都是 1 克。測量結果為：

15、未打開罐時飲料罐的重量為 370 克，倒出來的可樂重 355 克，空的飲料罐重量為 15 克，裝滿水的飲料罐重量為 380 克。這和我們的近似計算 380.2 立方厘米十分接近！飲料罐不能裝滿飲料，而是留有 10 立方厘米的空間余量。更有意思的是，計算飲料罐的胖的部分的直徑和高的比為 6.6/10.2 = 0.647，非常接近黃金分割比 0.618. 這是巧合嗎？還是這樣的比例看起來最舒服，最美？ 此外，諸如底部的形狀，上拱的底面，頂蓋實際上也不是平面的，略有上拱，頂蓋實際上是半徑為 3 + 0.4 + 0.2 = 3.6 平方厘米的材料沖壓而成的，從頂蓋到胖的部分的斜率為 0.3, 這些要求

16、也許保證了和飲料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐壓。所有這些都是物理、力學、工程或材料方面的要求，必須要有有關方面的實際工作者或專家來確定。因此，我們可以體會到真正用數(shù)學建模的方法來進行設計是很復雜的過程，只依靠數(shù)學知識是不夠的，必須和實際工作者的經(jīng)驗緊密結合。一種細化模型(考慮實際所用材料) 實際上，頂蓋的半徑為r + 0.6厘米，而正圓柱的高為h + 0.6厘米。因此問題化為：當 V 固定時，求 d : h 使 S 最小。我們從約束中解出一個變量，化條件極值問題為求一元函數(shù)的無條件極值問題，即 這時，我們發(fā)現(xiàn)盡管三次方程求根有公式，但是很繁瑣，而且最終還是要數(shù)值求解。還不如直接把數(shù)值代

17、入，用數(shù)學軟件(例如，Mathematica)來求數(shù)值解。由于 V = 365 立方厘米。即，r 2.9，, 所以，h : d 2.4, 高是直徑的 2.4倍! 還可以從其他角度來考慮各種各樣罐的數(shù)學建模?？梢詤⒖矗篔ames Stewart,微積分(上冊) , 白峰杉 主譯, 高等教育出版社, 2004年7月第 1 版, pp. 353-354. 微積分(上冊)(面向 21 世紀課程教材)，同濟大學應用數(shù)學系 編，高等教育出版社, 1999年9月第 1 版, pp. 352-353.建議學生到市場(超市等)調查各種罐、杯的尺寸，回答它們的設計是否都用到了優(yōu)化設計？實際上，這類問題是數(shù)學中著名

18、的等周問題的推廣或擴充的一些特例。學生可以閱讀本教學單元所附的等周問題閱讀材料，或其他參考資料。習題(任課教師可以自行配置習題)1. 如果正圓柱形飲料罐上底的厚度為其它部分厚度的 3 倍，飲料罐的總面積固定，求能夠使其體積最大的飲料罐的直徑和高之比。2. 試證明，周長相等的矩形中，正方形的面積最大。試證明，表面積相等的長方體中，正方體的體積最大。(提示: 一種證法可以是先證明：表面積相等長、寬、高互不相等的長方體的體積小于表面積相等長、寬、高中有兩個相等的長方體的體積；然后再證明：表面積相等長、寬、高中有兩個相等的長方體中，正方體的體積最大。)3, 假設飲料罐的剖面圖如下圖所示上半部分是一個圓

19、錐臺，下半部分是一個圓柱體。如果頂蓋的厚度為其他部分厚度的倍。求罐內(nèi)體積固定時，所用材料最省的罐的尺寸。4在正圓柱形飲料罐的最優(yōu)設計中，你有沒有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律性的事實？5正橢圓柱形狀的飲料罐的設計。求長軸為短軸K倍的正橢圓柱體積一定時能使其表面積最小的短軸和高的比。(提示: 長軸為 a，短軸為 b (a b0)的橢圓的面積為，它的周長為 . 雖然它不能用初等函數(shù)表示，但是當給出 a 和 b 的具體數(shù)值時，可以用數(shù)學軟件來計算它的值。若令 稱為第二類不完全橢圓積分，或Legendre第二類橢圓積分，是一類重要的特殊函數(shù)。橢圓函數(shù)是橢圓積分的反函數(shù)。) 空船(航天飛機, Space Shuttle)

20、里的水箱的外形是由半徑為 r 的球放在一個正圓錐上形成的，形如我們通常吃的冰淇淋的樣子。(其中心縱斷面的圖形見下圖).圓錐體的底部直徑等于球體的半徑(見上圖)。如果球體的半徑限定為正好為6英尺，設計的水箱表面積為460平方英尺，請確定球拱高和圓錐體高的尺寸，使得水箱容積最大。試著從約束中解出一個變量，化條件極值問題為求一元函數(shù)的無條件極值問題，手算容易嗎？再用數(shù)學軟件試試，體會數(shù)學軟件的優(yōu)勢。什么情況下數(shù)學軟件是可以信任的, 什么情況下會出問題.評估(自由結成小組來做)如圖所示碗狀容器. 若體積一定,表面積最小的尺寸是多少? (能否猜測一定是圓柱體?) 閱讀材料等周問題(Isoperimetr

21、ic Problem)經(jīng)典等周問題 兩曲線在它們的周長相等時稱為等周。在給定長為L的Jordan曲線J中，求所圍面積為最大的曲線，這就是經(jīng)典等周問題，也稱為特殊等周問題(Special Isoperimetric Problem)或Dido問題(Didos Problem)等。這個問題的解答是圓周。對應于三維空間，問題的解答是球面。也就是說，在具有給定的表面積的閉曲面中，球有最大的體積。把它推廣為變分法問題：在積分值常數(shù) 的條件下，求使得泛函(函數(shù)的函數(shù)) 為最大的曲線y = y(x). 這一變分問題，有時也稱為廣義等周問題(Generalized Isoperimetric Problem)

22、。求解經(jīng)典等周問題的方法，除變分法外，也可以從圖形的各種量之間的不等式來證明。例如，關于Jordan曲線J所圍的面積F和它的周長L，恒有而等號則僅限于圓的情形。這就是經(jīng)典的等周不等式(Isoperimetric Inequality).數(shù)學百科辭典，日本數(shù)學會編，科學出版社，1984，p. 767 - 768. (等周問題的)可以追溯到希臘以前的時代。有一個故事說：古代腓尼基的提爾城(也稱為推羅國)的公主狄多(Dido)被迫離開自己的家園定居在北非的地中海沿岸。在那里她指望得到一塊土地，并同意付給一筆固定的金額來換取用一張公牛皮能圍起來的土地。精明的狄多把公牛皮切成非常細的條，把條與條的端點結

23、起來，再去圍出一個面積(一片土地)，起周長正好等于這些細牛皮條的總長。而且她選的土地都是靠海的，所以沿海岸不用牛皮條。根據(jù)傳奇所說，狄多決定牛皮條的總長應圍成一個半圓 圍出最大面積的正確形狀。古今數(shù)學思想，美 M克萊因 著，上海科學技術出版社，1979(2002)，第2冊，p. 325. 思考題：你能不能給出上述問題的確切的數(shù)學描述？The Legend of Princess Dido. According to the epic Aeneid, Dido (pronounced “Dee Dough”) was a Phoenician princess from the city of

24、Tyre (now part of Lebanon). Her treacherous brother, the king, murdered her husband, so she fled the city and sailed with some of her loyal subjects to Carthage, a city on the northern coast of Africa. She wished to purchases some land from the local ruler in order to begin a new life. However, he d

25、idnt like the idea of selling land to foreigner. In an attempt to be gracious and yet still spoil Princess Didos request, the ruler said, “You may purchase as much land as you can enclose with the skin of an ox.” Undaunted, Princess Dido and her subjects set about the task by slicing the ox skin int

26、o thin strips and then tying them together to form a long band of ox hide, and foiling the rulers malicious plan. (See, Hildebrand, Stefan and Thrombi, Anthony, Mathematics And Optimal Form, Scientific American Books, 1985.) The Classical Isoperimetric Problem. Two curves are called isoperimetric if

27、 their perimeters are equal. The term curve is used here to mean a Jordan curve. The classical isoperimetric problem is to find, among all curves J with a given parameter L, the curve enclosed the maximum area. This problem is also called the special isoperimetric problem or Dido problem. Its soluti

28、on is a circle. The analogous problem in 3-dimensional space has a sphere as its solution; that is, among all closed surfaces with a given surface area, the sphere has the maximum volume. The following variational problem can be regarded as a generalization of the classical isoperimetric problem: To

29、 find the curve C: y = f (x) that gives the maximum value of the functional under the subsidiary condition This is sometimes called the generalized isoperimetric problem. The classical isoperimetric problem can be solved by variational methods. 亞歷山大里亞城在公元前332年建于埃及。約在公元前290年修建了供學者從事研究和教學的學術中心藝術宮(Muse

30、um)亞歷山大里亞希臘數(shù)學(從公元前約323年起)：Euclid 和Apollonius當然是亞歷山大里亞人。亞歷山大里亞的其他幾位大數(shù)學家，如Archimedes, Eratisthenes, Hipparchus, Nicomedes, Heron, Menelaus, Ptolemy, Diophantus 和Pappus。亞歷山大里亞的Theon(公元4世紀末)和Pappus都提到生活在公元前200年到100年之間的Zenodorus的工作。 據(jù)說他寫過一本關于等周形(具有相等周邊的一些圖形)的書，其中證明了以下定理：周長相等的n邊形中，正n邊形的面積最大。周長相等的正多邊形中，邊數(shù)愈多的正多邊形面積愈大。圓的面積比同樣周長的正多邊形的面積大。表面積相等的所有立體中，以球的體積為最大。古今數(shù)學思想，美 M克萊因 著，上?？茖W技術出