角基礎(chǔ)知識(shí)講解

1、角（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握角的看法及角的表示方法，并能進(jìn)行角度的互換；借助三角尺畫(huà)一些特別角，掌握角大小的比較方法；3會(huì)利用角均分線的意義進(jìn)行有關(guān)表示或計(jì)算；掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；掌握互為余角和互為補(bǔ)角的看法及性質(zhì)，會(huì)用余角、補(bǔ)角及性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；6認(rèn)識(shí)方向角的看法，并會(huì)用方向角解決簡(jiǎn)單的實(shí)責(zé)問(wèn)題【要點(diǎn)梳理】【高清課堂：角397364角的看法】要點(diǎn)一、角的看法1角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的極點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊如圖1所示，角的極點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB圖1圖2形成的圖形，射線（2）定義二：一條射線

2、繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，初步地址OA是角的始邊，停止地址OB是角的終邊要點(diǎn)講解：（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的極點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短沒(méi)關(guān)（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)停止地址OB和初步地址OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示連續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角角的表示法：角的幾何符號(hào)用“”表示，角的表示法平時(shí)有以下四種：要點(diǎn)講解：用數(shù)字或小寫(xiě)希臘字母表示角時(shí)，要在湊近角的極點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫(xiě)希臘字母角的畫(huà)法1）用三角板

3、能夠畫(huà)出30、45、60、90等特別角2）用量角器能夠畫(huà)出任意給定度數(shù)的角3）利用尺規(guī)作圖能夠畫(huà)一個(gè)角等于已知角要點(diǎn)二、角的比較與運(yùn)算角度制及其換算角的胸襟單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1的角，1的為1分，記作“1”，1的1為1秒，記作“1”這種以度、分、秒為單位的角的度60量制，叫做角度制1周角360，1平角180，160，160要點(diǎn)講解：160在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級(jí)進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時(shí)要向高一位進(jìn)位角的比較：角的大小比較與線段的大小比較鄰

4、近似，方法有兩種方法1：胸襟比較法先用量角胸懷出角的度數(shù)，爾后比較它們的大小方法2：疊合比較法把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較如比較AOB和AOB的大小：以以下列圖，由圖（1）可得AOBAOB；由圖(2)可得AOBAOB；由圖(3)可得AOBAOB角的和、差關(guān)系以下列圖，AOB是1與2的和，記作：AOB1+2；1是AOB與2的差，記作：1AOB-2要點(diǎn)講解：(1)用量角胸懷角和畫(huà)角的一般步驟：對(duì)中(角的極點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊)；重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))(2)利用三角板除了能夠做出30、45、60、90外，依照角的和、差關(guān)系，還可以夠畫(huà)出15，75，1

5、05，120，135，150，165的角4.角均分線從一個(gè)角的極點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的均分線如圖所示，OC是AOB的角均分線，AOB2AOC2BOC，AOCBOC=1AOB2要點(diǎn)講解：由角均分線的看法產(chǎn)生的合情推理其思想框架與線段中點(diǎn)的思想框架相同要點(diǎn)三、余角和補(bǔ)角定義：一般地，若是兩個(gè)角的和等于90(直角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角近似地，若是兩個(gè)角的和等于180(平角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角2性質(zhì)：（1）等角的余角相等（2）等角的補(bǔ)角相等要點(diǎn)講解：(1)互余互補(bǔ)指的是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角只

6、與它們的和有關(guān)，而與它們的地址沒(méi)關(guān)一般地，銳角的余角能夠表示為(90-)，一個(gè)角的補(bǔ)角能夠表示為(180-)顯然一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大90。要點(diǎn)四、方向角在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角比方，圖中射線OA的方向是北偏東60；射線OB的方向是南偏西30這里的“北偏東60”和“南偏西30”表示方向的角，就叫做方向角要點(diǎn)講解：（1）正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需要用角度來(lái)表示；（2）方向角必定以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60”一般不說(shuō)成“東偏北30”；（3）在同一問(wèn)題中觀察點(diǎn)可能不僅一個(gè)，在不相同的觀察點(diǎn)都要畫(huà)出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北

7、的方向；（4）圖中的點(diǎn)O是觀察點(diǎn)，所有方向線(射線)都必定以O(shè)為端點(diǎn)要點(diǎn)五、鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12均分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問(wèn)題【典型例題】種類(lèi)一、角的看法及表示以下語(yǔ)句正確的選項(xiàng)是()兩條直線訂交，組成的圖形叫做角B兩條擁有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形叫做角C兩條擁有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形叫做角D過(guò)同一點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角【答案】C【解析】依照角的定義判斷【總結(jié)升華】角不能夠不過(guò)看作是有公共端點(diǎn)的兩條射線，角的兩種描述中都隱含了組成角的一個(gè)重要元素，即兩條射線

8、間的相對(duì)地址關(guān)系，這是角與“有公共端點(diǎn)的兩條射線”的重要差異貫穿交融：【變式】判斷以下說(shuō)法可否正確(1)兩條射線組成的圖形叫做角()(2)平角是一條直線()(3)周角是一條射線()【答案】(1)(2)(3)寫(xiě)出圖中(1)能用一個(gè)字母表示的角；(2)以B為極點(diǎn)的角；(3)圖中共有幾個(gè)角(小于180).【答案與解析】解：(1)能用一個(gè)字母表示的角A、C(2)以B為極點(diǎn)的角ABE、ABC、CBE(3)圖中共有7個(gè)角【總結(jié)升華】(1)極點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)，才能夠用一個(gè)字母表示；(2)一般數(shù)角時(shí)不包括平角和大于平角的角種類(lèi)二、角度制的換算3.(1)把25.72分別用度、分、秒表示(2)把451230化成度

9、【思路點(diǎn)撥】第(1)題中25.72中含有兩部分25和0.72，只要把0.72化成分、秒即可第(2)題中，451230含有三部分45，12和30，其中45已經(jīng)是度，只要把12和30化成度即可【答案與解析】解：(1)0.720.726043.2，0.20.26012，因此25.72254312(2)303010.5，12.512.510.216060因此45123045.21【總結(jié)升華】無(wú)論由高級(jí)單位向初級(jí)化還是由初級(jí)單位向高級(jí)化，都必定逐級(jí)進(jìn)行，“越級(jí)”化單位簡(jiǎn)單出錯(cuò)貫穿交融：【變式】(1)把26.29轉(zhuǎn)變?yōu)槎?、分、秒表示的形式?2)把332436轉(zhuǎn)變?yōu)槎缺硎镜男问健敬鸢浮?1)26.2926

10、+0.2926+0.296026+17.426+17+0.4602617+24261724(2)33243633+24+36133+24+0.66033+24.633+24.6133.4160【總結(jié)升華】在角度的和、差運(yùn)算中應(yīng)先一致單位，都化成度或分、秒表示，爾后再進(jìn)行計(jì)算。種類(lèi)四、角的比較與運(yùn)算不用量角器，比較圖1和圖2中角的大小(用“”連接)【思路點(diǎn)撥】圖1中兩角、均為銳角，因此，在不能夠測(cè)量的狀況下，我們能夠?qū)D中的向平移，讓與始邊重合，觀察終邊的地址來(lái)比較角的大小圖2中的三個(gè)角按角的分類(lèi)，1為銳角，2為直角，3為鈍角，因此依照各自的范圍就可以將它們的大小比較出來(lái)【答案與解析】解：(1)

11、以下列圖，將平移使的始邊與的始邊重合，發(fā)現(xiàn)落在內(nèi)部，因此(2)由圖可知1是銳角，190，2是直角，即290，3是鈍角，即903180，因此321【總結(jié)升華】本例給出的兩題是在不用量角器測(cè)量角的狀況下比較角的大小，一種方法是疊合比較法，別的一種方法規(guī)是依照角的分類(lèi)，由圖形觀察角的不相同分類(lèi)，依照舊有的銳角直角鈍角平角周角來(lái)比較大小貫穿交融：【變式】已知AOB(以下列圖)，畫(huà)一個(gè)角等于這個(gè)角【答案】作法：(1)以點(diǎn)O為圓心，合適長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D；(2)畫(huà)一條射線OA，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧l，交OA于點(diǎn)C；(3)以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交弧l于點(diǎn)D；(4)過(guò)

12、點(diǎn)D畫(huà)射線OB，則AOBAOB以下列圖，已知OC均分BOD，且BOC20，OB是AOD的均分線，求AOD的度數(shù)【答案與解析】解：因?yàn)镺C均分BOD，且BOC20，因此BOD2BOC=22040又OB是AOD的均分線，因此AOD2BOD24080【總結(jié)升華】應(yīng)用角的均分線的定義時(shí)依照兩點(diǎn)：若OB是AOC的均分線，則AOBBOC1AOC；AOC2AOB2BOC，在解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈便應(yīng)用2【高清課堂：角397364角的有關(guān)計(jì)算例3】貫穿交融：【變式】已知：如圖，OM是AOB的均分線，ON是BOC的均分線，AOC=80，求：MON.【答案】OM均分AOB，ON均分COB，11BOC.(角均分線的定義)M

13、OB=AOB，BON=22MON=MOB+BON=1AOB+1BOC=1(AOB+BOC)222=1AOC=180=40.22即MON=40.種類(lèi)五、余角和補(bǔ)角【高清課堂：角397364角的有關(guān)計(jì)算例1】已知角的余角比角的補(bǔ)角的1還少20，求角的余角。3【答案與解析】解:由題意可得：角的余角為(90-),補(bǔ)角為(180-)，于是得：90-=1（180-）-20，解得：=75390-=90-75=15答：角的余角為15.【總結(jié)升華】此題的要點(diǎn)是掌握互為余角、補(bǔ)角的定義，爾后依照題中的要點(diǎn)語(yǔ)句列出方程或代數(shù)式，求出相應(yīng)角的度數(shù).A看B的方向是北偏東30，那么B看A的方向是()A南偏東60B南偏西6

14、0C南偏東30D南偏西30【答案】D【解析】依題意畫(huà)出表示圖由圖可知，圖中1即表示從A看B的北偏東30，2是從B看A的方向角由此可確定從B看A是南偏西30【總結(jié)升華】從本例的解析與結(jié)果來(lái)看，從A看B與從B看A正好是一對(duì)對(duì)峙的觀察過(guò)程，其方向是一種“相反”的對(duì)應(yīng)關(guān)系方向角的確定第一以什么點(diǎn)為基點(diǎn)（即人站在此處觀察）要弄清楚，再由正南或正北到視線夾角測(cè)量出來(lái)貫穿交融：【變式】小王從家出發(fā)向南偏東30的方向走了1000米到達(dá)小軍家，此時(shí)小王家在小軍家的_方向【答案】北偏西30種類(lèi)六、鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題8.計(jì)算：4時(shí)15分時(shí)針與分針的夾角.【答案與解析】解法一：如圖（1），設(shè)4時(shí)15分時(shí)針與分針的夾角為(注：夾角指小于180的角)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：304+0.515，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：615，因此304+0.515-61537.5解法二：如圖（1），AOC30130，BOC0.5157.5因此AOB37.5即4時(shí)15分時(shí)針與分針的夾角為37.5【