高中數(shù)學課件基本不等式

1、基本不等式 這是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會會標會標根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。問題引入:2002年國際數(shù)學家大會會標三國時期吳國的數(shù)學家趙爽思考：這會標中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系？探究1問2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角形，它們的面積總和是S=問1：在正方形ABCD中,設AF=a,BF=b,則AB=則正方形的面積為S=。問3：觀察圖形S與S有什么樣的大小關系？ 易得，s s,即ADCBHGFE問4：那么它們有相等的情況嗎？何時相等？問題4：s

2、, S有相等的情況嗎？何時相等？ 圖片說明：當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有 形的角度數(shù)的角度 當a=b時a2+b22ab=(ab)2=0結(jié)論：一般地，對于任意實數(shù)a、b，我們有 當且僅當a=b時，等號成立探究2問5：當a,b為任意實數(shù)時， 還成立嗎？此不等式稱為重要不等式替換后得到： 即：即：你能用不等式的性質(zhì)直接推導這個不等式嗎？一.基本不等式的推導:證明：要證 只要證要證，只要證要證，只要證顯然, 是成立的.當且僅當a=b時, 中的等號成立. 分析法證明不等式：特別地，若a0，b0，則通常我們把上式寫作：當且僅當a=b時取等號，這個不等式就叫做

3、基本不等式.在數(shù)學中，我們把 叫做正數(shù)a，b的算術平均數(shù)， 叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；文字敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).適用范圍：a0,b0二.基本不等式:你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?RtACDRtDCB，ABCDEabO如圖, AB是圓的直徑, O為圓心，點C是AB上一點, AC=a, BC=b. 過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.如何用a, b表示CD? CD=_如何用a, b表示OD? OD=_你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?如何用a, b表示CD? CD=_如何用a, b表示OD? OD=_OD與CD的大小關系怎樣? OD_C

4、D如圖, AB是圓的直徑, O為圓心，點C是AB上一點, AC=a, BC=b. 過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.幾何意義：半徑不小于弦長的一半ADBEOCab適用范圍文字敘述“=”成立條件a=ba=b兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍 a,bRa0,b0填表比較：注意從不同角度認識基本不等式 重要變形：（由小到大）均值不等式2 .典例分析：題型一 利用基本不等式求最值題型二 利用基本不等式證明不等式與比較大小題型三 基本不等式的實際應用題型一 ：利用基本不等式求最值結(jié)論1：兩個正數(shù)積為定值，則和有最小值一正二定三相等結(jié)論2：兩個正數(shù)和為

5、定值，則積有最大值配湊系數(shù)分析: x+(1-2x) 不是 常數(shù).2=1為 解: 0 x0.12y=x(1-2x)= 2x(1-2x) 12 22x+(1-2x) 21218= . 當且僅當 時, 取“=”號.2x=(1-2x), 即 x= 14當 x = 時, 函數(shù) y=x(1-2x) 的最大值是 .1418變2. 若 0 x0， 0，若 是 與 的等比中項，則得最小值為（ ）A. 8 B. 4 C. 1 D. （2009年天津理6）B變式訓練1-1：因此，這個矩形的長為12m、寬為6m時，花園面積最大，最大面積是72m2因此，這個矩形的長為12m、寬為6m時，花園面積最大，最大面積是72m2

6、四、當堂訓練，針對點評2.（2009山東理12T)設 滿足約束條件 若目標函數(shù) （ 0， 0）的最大值為12，則 的最小值為（ ） A. B. C. D. 4 略解：xy02-22(4,6)A2.如圖，用一段長為24m 的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？變式訓練2-1：四、當堂訓練，針對點評2.如圖，用一段長為24m 的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？解：設AB=x ，BC=242x ， 矩形花園的面積為x(242x) m2因此，這個矩形的長為12m、寬為6m時，花園面積最大，最大面積是72m2當x=6時，函數(shù)y取得最小值為72五、課堂總結(jié)，布置作業(yè)1課堂總結(jié)：（1）涉及知識點：基本不等式及其應用。（2）涉及數(shù)學思想方法：轉(zhuǎn)化與回歸思想；數(shù)形結(jié)合思想；分類與整合思想。求最值時注意把握 “一正，二定，三相等”已知 x, y 都是正數(shù), P, S 是常數(shù).(1) xy=P x+y2 P(當且僅當 x=y 時, 取“=”號).(2) x+y=S xy S2(當且僅當 x=y 時, 取“=”號).142.