邏輯推理知識(shí)例題精講

1、8-3邏輯推理glMltg 教學(xué)目標(biāo).掌握邏輯推理的解題思路與基本方法：列表、假設(shè)、對比分析、數(shù)論分析法等.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，掌握解不同題型的突破口.能夠利用所學(xué)的數(shù)論等知識(shí)解復(fù)雜的邏輯推理題知識(shí)點(diǎn)撥邏輯推理作為數(shù)學(xué)思維中重要的一部分，經(jīng)常出現(xiàn)在各種數(shù)學(xué)競賽中，除此以外，邏 輯推理還經(jīng)常作為專項(xiàng)的內(nèi)容出現(xiàn)在各類選拔考試，甚至是面向成年人的考試當(dāng)中。對于 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)來說，邏輯推理既有趣又可以開發(fā)智力，學(xué)生自主學(xué)習(xí)研究性比較高。本講 我們主要從各個(gè)角度總結(jié)邏輯推理的解題方法。一列表推理法邏輯推理問題的顯著特點(diǎn)是層次多，條件縱橫交錯(cuò).如何從較繁雜的信息中選準(zhǔn)突破 口，層層剖析，一步步向結(jié)論靠

2、近，是解決問題的關(guān)鍵 .因此在推理過程中，我們也常常采 用列表的方式，把錯(cuò)綜復(fù)雜的約束條件用符號(hào)和圖形表示出來，這樣可以借助幾何直觀， 把令人眼花繚亂的條件變得一目了然，答案也就容易找到了.、假設(shè)推理用假設(shè)法解邏輯推理問題，就是根據(jù)題目的幾種可能情況，逐一假設(shè).如果推出矛盾,那么假設(shè)不成立；如果推不出矛盾，而是符合題意，那么假設(shè)成立.解題突破口：找題目所給的矛盾點(diǎn)進(jìn)行假設(shè)三、體育比賽中的數(shù)學(xué)對于體育比賽形式的邏輯推理題，注意“一隊(duì)的勝、負(fù)、平”必然對應(yīng)著“另一隊(duì)的負(fù)、勝、平”。有時(shí)綜合性的邏輯推理題需要將比賽情況用點(diǎn)以及連接這些點(diǎn)的線來表示， 從整體考慮，通過數(shù)量比較、整數(shù)分解等方式尋找解題的

3、突破口。四、計(jì)算中的邏輯推理能夠利用數(shù)論等知識(shí)通過計(jì)算解決邏輯推理題.自國隹例題精講模塊一、列表推理法【例1】劉剛、馬輝、李強(qiáng)三個(gè)男孩各有一個(gè)妹妹，六個(gè)人進(jìn)行乒乓球混合雙打比賽.事 先規(guī)定：兄妹二人不許搭伴.第一盤：劉剛和小麗對李強(qiáng)和小英；第二盤：李強(qiáng) 和小紅對劉剛和馬輝的妹妹.問：三個(gè)男孩的妹妹分別是誰？【例2】張明、席輝和李剛在北京、上海和天津工作，他們的職業(yè)是工人、農(nóng)民和教師， 已知：張明不在北京工作，席輝不在上海工作；在北京工作的不是教師； 在上海工作的是工人；席輝不是農(nóng)民.問：這三人各住哪里？各是什么職業(yè)？【例3】甲、乙、丙、丁四個(gè)人的職業(yè)分別是教師、醫(yī)生、律師、警察.已知：教師不

4、知道甲的職業(yè)；醫(yī)生曾給乙治過??；律師是丙的法律顧問（經(jīng)常見面） ； 丁不是律師；乙和丙從未見過面.那么甲、乙、丙、丁的職業(yè)依次是： .【例4】甲、乙、丙、丁每人只會(huì)中、英、法、日四種語言中的兩種，其中有一種語言只 有一人會(huì)說.他們在一起交談可有趣啦：乙不會(huì)說英語，當(dāng)甲與丙交談時(shí)，卻 請他當(dāng)翻譯；甲會(huì)日語，丁不會(huì)日語，但他們卻能相互交談；乙、丙、丁找 不到三人都會(huì)的語言；沒有人同時(shí)會(huì)日、法兩種語言.請問：甲、乙、丙、丁 各會(huì)哪兩種語言？【例5】（ 2007年湖北省“創(chuàng)新杯”初賽）六年級(jí)四個(gè)班進(jìn)行數(shù)學(xué)競賽，小明猜想比賽的 結(jié)果是：3班第一名，2班第二名，1班第三名，4班第四名.小華猜想比賽的結(jié) 果

5、是：2班第一名，4班第二名，3班第三名，1班第四名.結(jié)果只有小華猜到的4 班為第二名是正確的.那么這次競賽的名次是 班第一名，班第二名， 班第三名，班第四名?！纠?】紅、黃、藍(lán)、白、紫五種顏色的珠子各一顆，分別用紙包著，在桌子上排成一行， 有A、B、C、D、E五個(gè)人，猜各包珠子的顏色，每人只猜兩包.A猜：第二包是紫的，第三包是黃的；B猜：第二包是藍(lán)的，第四包是紅的；C猜：第一包是紅的，第五包是白的；D猜：第三包是藍(lán)的，第四包是白的；E猜：第二包是黃的，第五包是紫的.猜完后，打開各紙包一看發(fā)現(xiàn)每人都只猜對了一包，并且每包只有一人猜對.請 你判斷他們各猜對了其中的哪一包？【例7】老師讓小新把小胖、

6、小貝、小丸子、小淘氣、小馬虎的作業(yè)本帶回去，小新見到 這五人后就一人給了一本，結(jié)果全發(fā)錯(cuò)了.現(xiàn)在知道：小胖拿的不是小貝的， 也不是小淘氣的；小貝拿的不是小丸子的，也不是小淘氣的；小丸子拿的不 是小貝的，也不是小馬虎的；小淘氣拿的不是小丸子的，也不是小馬虎的； 小馬虎拿的不是小淘氣的，也不是小胖的.另外，沒有兩人相互拿錯(cuò)（例如小胖拿小貝的，小貝拿小胖的）.問：小丸子拿的是誰的本？小丸子的本被誰拿走了？模塊二、假設(shè)推理【例8】甲、乙、丙三人，一個(gè)總說謊，一個(gè)從不說謊，一個(gè)有時(shí)說謊.有一次談到他們的職業(yè).甲說：“我是油漆匠，乙是鋼琴師，丙是建筑師.”乙說：“我是醫(yī)生， 內(nèi)是警察，你如果問甲，甲會(huì)說他

7、是油漆匠. ”內(nèi)說：“乙是鋼琴師，甲是建筑 師，我是警察.你知道誰總說謊嗎？【例9】 某地質(zhì)學(xué)院的學(xué)生對一種礦石進(jìn)行觀察和鑒別。甲判斷：不是鐵，也不是銅。乙 判斷：不是鐵，而是錫。丙判斷：不是錫，而是鐵。經(jīng)化驗(yàn)證明：有一個(gè)人的判 斷完全正確，有一個(gè)人說對了一半，而另一個(gè)人完全說錯(cuò)了。你知道三人中誰是 對的，誰是錯(cuò)的，誰是只對一半的嗎？【例10】（2007年太原福布斯迎奧運(yùn)數(shù)學(xué)展示活動(dòng)） 4名運(yùn)動(dòng)員參加一項(xiàng)比賽，賽前，甲 說：“我肯定是最后一名. ”乙說：“我不可能是第一名，也不可能是最后一名.” 內(nèi)說：“我絕對不會(huì)得最后一名.”丁說：“我肯定得第一名.”賽后，發(fā)現(xiàn)他們4人 的預(yù)測中只有一人是錯(cuò)

8、誤的.請問誰的預(yù)測是錯(cuò)誤的？【例11】（2007年臺(tái)灣第一屆小學(xué)數(shù)學(xué)世界邀請賽）在期末考試前，學(xué)生 W、X、Y、Z 分別預(yù)測他們的成績是A、B、C或D,評分標(biāo)準(zhǔn)是A比B好，B比C好，C比 D好.W說：“我們的成績都將不相同.若我的成績得 A,則丫將得D.”X說：“若丫的成績得C,則W將得D. W的成績將比Z好.”丫說：“若X的成績不是得到A,則W將得C.若我的成績得到B,則Z的成績將 不是D.”Z說：“若丫的成績得到A,則我將得到B.若X的成績不是得到B,則我也將不 會(huì)得到B . ”當(dāng)期末考試的成績公布，每位學(xué)生所得到的成績都完全符合他們的預(yù)測.請問這四位學(xué)生的成績分別是什么？【例12】甲、乙

9、、丙、丁四人同時(shí)參加全國小學(xué)數(shù)學(xué)夏令營。賽前甲、乙、丙分別做了預(yù)測。甲說：“丙第1名，我第3名?！币艺f：“我第1名，丁第4名?！北f：“丁第2名， 我第3名?！背煽兘視院?，發(fā)現(xiàn)他們每人只說對了一半，你能說出他們的名次嗎？ 【例13】傳說有個(gè)說謊國，這個(gè)國家的男人在星期四、五、六、日說真話，在星期一、二、三說假話；女人在星期一、二、三、日說真話，在星期四、五、六說假話.有一 天，一個(gè)人到說謊國去旅游，他在那里認(rèn)識(shí)了一男一女.男人說：“昨天我說的 是假話”，女人說：“昨天也是我說假話的日子”.這下，那個(gè)外來的游人可發(fā) 愁了，到底今天星期幾呢？請同學(xué)們根據(jù)他們說的話，判斷一下今天是星期幾 呢？【例1

10、4】三年級(jí)一班新轉(zhuǎn)來三名學(xué)生，班主任問他們?nèi)说哪挲g.劉強(qiáng)說：“我 12歲， 比陳紅小2歲，比李麗大1歲.”陳紅說：“我不是年齡最小的，李麗和我差 3 歲，李麗是15歲.”李麗說：“我比劉強(qiáng)年歲小，劉強(qiáng) 13歲，陳紅比劉強(qiáng)大3 歲. ”這三位學(xué)生在他們每人說的三句話中，都有一句是錯(cuò)的.請你幫助班主任 分析出他們?nèi)烁魇嵌嗌贇q？【例15】（2008年日本小學(xué)算術(shù)奧林匹克大賽決賽）甲和乙做猜數(shù)的游戲。首先，甲在紙 上寫1個(gè)各位數(shù)字都不同的四位數(shù)，寫好后將紙翻過來。不讓乙看到，然后讓乙 猜這個(gè)四位數(shù)的各位數(shù)字。如果數(shù)字和位數(shù)都猜對了就是。，如果數(shù)字對而位數(shù) 不對就是4。例如：甲寫的是1234,乙猜的

11、是1354,那么就是2個(gè)。，1個(gè)4。請閱讀以下對話并回答問題：乙：“我猜9856 ”，甲：“1個(gè)。，1個(gè).”乙：“6972 ?”，甲：“也是1個(gè)。，1個(gè).”乙：“3058 ?”，甲：“也是1個(gè)。，1個(gè)A?！币遥骸?732 呢？，甲：“2個(gè).”乙：“哇，猜不著呀，8369呢？”甲：“也是2個(gè).”（1 ）：請從以上的對話中答出甲最可能寫的 4個(gè)四位數(shù)。后來，甲發(fā)現(xiàn)自己剛才的回答中對四位數(shù)的判斷有誤。甲：“對不起，剛才有搞錯(cuò)的。”乙：“??！那么”甲”只是1個(gè)數(shù)字搞錯(cuò)了，在剛才說到的數(shù)字中，只是對4732的判斷有誤，正確的回答應(yīng)該是1個(gè)。，1個(gè).”乙“稍等一會(huì)兒 ,??！我知道啦！甲寫的四位數(shù)是 嗎”？

12、 甲：“對啦！你真棒！”（2）:請問甲寫的這個(gè)四位數(shù)是什么？【例16】一次數(shù)學(xué)考試，共六道判斷題.考生認(rèn)為正確的就畫“，”，認(rèn)為錯(cuò)誤的就畫.記 分的方法是：答對一題給2分；不答的給1分；答錯(cuò)的不給分.已知A、B、C、 D、E、F、G七人的答案及前六個(gè)人的得分記錄在表中，請?jiān)诒碇刑畛鯣的得分.并簡單說明你的思路.【例17】有六個(gè)大小相同的彩球，三個(gè)紅，三個(gè)白，分別放入三個(gè)罐子里，一個(gè)罐里放兩 紅球，一個(gè)罐里放兩白球，另一罐放一紅一白.然后將寫有“兩紅”、“兩白”、 “紅白”的三個(gè)標(biāo)簽貼在三個(gè)罐子上，由于粗心，三個(gè)標(biāo)簽全貼錯(cuò)了 .試問此時(shí) 最少要從罐子中取出幾個(gè)球，才能確定三個(gè)罐分別裝的是什么彩球

13、？模塊三、體育比賽中的數(shù)學(xué)【例18】三年級(jí)四個(gè)班進(jìn)行足球比賽，每兩個(gè)班之間都要賽一場，那么每個(gè)班要賽幾場？ 一共要進(jìn)行多少場比賽？（如果參賽隊(duì)每兩隊(duì)之間都要賽一場，這種比賽稱為單循環(huán)賽）【例19】（2008第四屆“IMC國際數(shù)學(xué)邀請賽”（新加坡）初賽）學(xué)校進(jìn)行乒乓球選拔賽， 每個(gè)參賽選手都要和其他所有選手各賽一場， 一共進(jìn)行了 36場比賽，有（ 人參加了選拔賽.A. 8B. 9C . 10【例20】A、B、C、D、E五位同學(xué)一起比賽象棋，每兩人都要比賽一盤.到現(xiàn)在為止， A已經(jīng)賽4盤，B賽3盤，C賽2盤，D賽1盤.問：此時(shí)E同學(xué)賽了幾盤？【例21】趣味滑冰錦標(biāo)賽最后進(jìn)行的是花樣滑冰雙人滑的表演

14、，規(guī)定男女雙方都不能和自己的原搭檔在一起表演.男士用 A、B、C表示，女士用甲、乙、丙表示.已知 前面表演過程中A和甲一起滑過，B和丙一起滑過，C和甲一起滑過，B和乙一 起滑過，C的新搭檔不可能是丙，那么乙的新搭檔是誰？【例22】東東、西西、南南、北北四人進(jìn)行乒乓球單循環(huán)賽，結(jié)果有三人獲勝的場數(shù)相同.問 另一個(gè)人勝了幾場？【例23】參加世界杯足球賽的國家共有32個(gè)（稱32強(qiáng)），每四個(gè)國家編入一個(gè)小組，在第 一輪單循環(huán)賽中，每個(gè)國家都必須而且只能分別和本小組的其他各國進(jìn)行一場比 賽，賽出16強(qiáng)后，進(jìn)入淘汰賽，每兩個(gè)國家用一場比賽定勝負(fù)， 產(chǎn)生8強(qiáng)、4強(qiáng)、 2強(qiáng)，最后決出冠軍、亞軍、第三名，第四名

15、.至此，本屆世界杯的所有比賽結(jié) 束.【例24】根據(jù)以上信息，算一算，世界杯的足球賽全程共有幾場？【例25】五個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行循環(huán)比賽，即每兩個(gè)隊(duì)之間都要賽一場.每場比賽勝者得2分、負(fù)者得0分、打平兩隊(duì)各得1分.比賽結(jié)果各隊(duì)得分互不相同.已知：第1名的隊(duì)沒有平過；第2名的隊(duì)沒有負(fù)過；第4名的隊(duì)沒有勝過.問全部比賽共打 平了 場.【例26】A、B、C、D、E五人參加乒乓球比賽，每兩個(gè)人都要賽一盤，并且只賽一盤， 規(guī)定勝者得2分，負(fù)者不得分，已知比賽結(jié)果如下： A與E并列第一名B是 第三名C和D并列第四名。求B得多少分？【例27】（2001年第八屆華杯賽決賽二試）10個(gè)隊(duì)進(jìn)行循環(huán)賽，勝隊(duì)得 2分，負(fù)隊(duì)得

16、1 分，無平局.其中有兩隊(duì)并列第一，兩隊(duì)并列第三，有兩個(gè)隊(duì)并列第五，以后無 并列情況.請計(jì)算出各隊(duì)的得分.【例28（全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克）四名棋手兩名選手都要比賽一局，規(guī)則規(guī)定勝一局得 2分，平一局得1分，負(fù)一局得0分.比賽結(jié)果，沒有人全勝，并且各人的總分都 不相同，那么至少有幾局平局？【例29】（2009年迎春杯中年級(jí)組決賽）A、B、C、D、E、F六個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán) 比賽，每兩個(gè)隊(duì)之間都要賽一場，且只賽一場勝者得 3分，負(fù)者得0分，平局 每隊(duì)各得1分.比賽結(jié)果，各隊(duì)得分由高到低恰好為一個(gè)等差數(shù)列，獲得第 3名 的隊(duì)得了 8分，那么這次比賽中共有 場平局.【例30】5個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行比賽，每個(gè)球

17、隊(duì)都與其他球隊(duì)各比一場，勝方得 3分，負(fù)方得0 分，平局各得1分.最后四個(gè)隊(duì)分別得1分、2分、5分和7分，那么第五個(gè)隊(duì) 得 分.【例31德國隊(duì)、意大利隊(duì)、荷蘭隊(duì)進(jìn)行一次足球比賽，每隊(duì)與另兩支隊(duì)各賽一場。已知： （1）意大利隊(duì)總進(jìn)球數(shù)是 0,并且有一場打了平局；（2）荷蘭隊(duì)總進(jìn)球數(shù)是1, 總失球數(shù)是2,并且該隊(duì)恰好勝了一場。按規(guī)則：勝一場得2分，平一場得1分， 負(fù)一場得0分。問德國隊(duì)得了 分?！纠?2】第四屆東亞男足邀請賽共有四支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，即每兩隊(duì)之間都要進(jìn)行一場比賽，每場比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，平局兩隊(duì)各得1分.比賽完成之后各 隊(duì)得分是四個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，請計(jì)算出輸給第一名的球隊(duì)的

18、得分是 分.【例33】（2006年實(shí)驗(yàn)中學(xué)考題）1994年“世界杯”足球賽中，甲、乙、丙、丁 4支隊(duì) 分在同一小組.在小組賽中，這 4支隊(duì)中的每支隊(duì)都要與另3支隊(duì)比賽一場.根 據(jù)規(guī)定：每場比賽獲勝的隊(duì)可得 3分；失敗的隊(duì)得0分；如果雙方踢平，兩隊(duì)各 得1分.已知：這4支隊(duì)三場比賽的總得分為4個(gè)連續(xù)奇數(shù)；乙隊(duì)總得分排 在第一；丁隊(duì)恰有兩場同對方踢平，其中有一場是與丙隊(duì)踢平的.根據(jù)以上條 件可以推斷：總得分排在第四的是 隊(duì).【例34】（2004年走美）12個(gè)隊(duì)參加一次足球比賽，每兩個(gè)隊(duì)都比賽一場，每場比賽中， 勝隊(duì)得3分，負(fù)隊(duì)得0分，平局則各得1分.比賽完畢后，獲得第3名和第4名 的兩個(gè)隊(duì)的得分最

19、多可以相差 分.【例35 （2003年迎春杯）世界杯足球賽，每個(gè)小組有4支球隊(duì)，每兩支球隊(duì)之間各賽一 場，勝一場得3分，負(fù)一場得0分，平局各得1分.每個(gè)小組總分最多的兩支球 隊(duì)出線.如果在第一小組比賽中出現(xiàn)了一場平局，問：在第一小組中一支球隊(duì)至 少得多少分，一定能夠出線？【例36】（2003年小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)邀請賽）在一次“ 25分制”的女子排球比賽中， 中國隊(duì)以3: 0戰(zhàn)勝俄羅斯隊(duì).中國隊(duì)3局的總分為77分，俄羅斯隊(duì)3局的總分為68 分，且每一局的比分差不超過4分.則3局的比分分別是 :、:、:.（不考慮這3局比分之間的順序）【例37】由A, B, C三個(gè)班中各出3名學(xué)生比賽長跑.規(guī)定第一名得 9分，第二名得8 分，第三名得7分，第八名得2分，第九名得1分.比賽結(jié)果是三個(gè)班總 分相等，而且九名學(xué)生沒有名次并列的，也沒有同一個(gè)班的學(xué)生獲得相連名次 的.如果第一名是C班的，第二名是B班的.那么最后一名是哪個(gè)班的？【例38】（2008年南京市第四屆青少年“科學(xué)小博士”思維訓(xùn)練系列活動(dòng)）甲、乙、丙三人用擂臺(tái)賽形式進(jìn)行乒乓球訓(xùn)練，每局 2人進(jìn)行比賽，另1人當(dāng)裁判.每一局的 輸方去當(dāng)下一局的裁判，而由原來的裁判向勝者