線性代數(shù)電子教案（同濟(jì)二版）：4-2 矩陣的相似對角化_第1頁
線性代數(shù)電子教案（同濟(jì)二版）：4-2 矩陣的相似對角化_第2頁
線性代數(shù)電子教案（同濟(jì)二版）：4-2 矩陣的相似對角化_第3頁
線性代數(shù)電子教案（同濟(jì)二版）：4-2 矩陣的相似對角化_第4頁
線性代數(shù)電子教案（同濟(jì)二版）：4-2 矩陣的相似對角化_第5頁
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1、4.2 矩陣的相似對角化一、相似矩陣1、定義（反身性、對稱性、傳遞性）2、性質(zhì)（1）、A B |A| = |B|;證因?yàn)锳 B，所以存在可逆矩陣P，使得于是即證由（1）A B，設(shè)A,B都可逆，故存在可逆陣P，使于是即（3）、ABA,B有相同的特征多項(xiàng)式和特征值. 證因?yàn)锳B，所以存在可逆矩陣P，使得于是（4）、A B r(A) = r(B).（由等價，初等變換可知）證因?yàn)锳 B，所以存在可逆矩陣P，使得于是即（6）、A B tr(A) = tr(B).二、矩陣可對角化的條件（n階矩陣與對角矩陣相似的條件） A有n個線性無關(guān)的特征向量.證“”則有即得又P可逆，所以| P | 0，這說明P的列向量

2、x i 是A的屬于i的特征向量，并且這n個特征向量線性無關(guān)，即A有n個特征向量線性無關(guān).“”n階方陣A可對角化 A有n個線性無關(guān)的特征向量.所以A可對角化，它們對應(yīng)的特征向量分別是若取P為什么可逆？若取則則可得即A可對角化.A是一個三階矩陣，而它只有兩個線性無關(guān)的特征向量，所以A不能對角化.3、n階方陣A可對角化因而A不能對角化.總結(jié)1、A有n個不同的特征值A(chǔ)有n個線性無關(guān)的特征向量.A可對角化2、判斷A可否對角化的步驟：3、A相似對角化的方法：（1）、A可對角化A一定有n個線性無關(guān)的特征向量，（2）、以這些量為列作一個矩陣則T一定可逆； 例4 判斷下列矩陣是否可對角化？若可對角化，求出可逆矩陣及相似對角矩陣.解一個基礎(chǔ)解系由于1=2是A的二重特征值，卻只對應(yīng)于一個特征向量，故A不可對角化.一個基礎(chǔ)解系一個基礎(chǔ)解系由于A有三個線性無關(guān)的特征向量，故A可對角化，解由于A有三個線性無關(guān)的特征向量，故A可對角化，即于是|A|=24,又所以x = -2.-2解（1）設(shè)為A的任一特征值，對應(yīng)的一個特征向量為 ，當(dāng)A的特征值為1，-2，3時，B相應(yīng)的特征值為-1，

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