創(chuàng)意平板折疊桌

1、2014高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽章程和全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參賽規(guī)則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和參賽

2、規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： B 我們的報(bào)名參賽隊(duì)號(hào)為（8位數(shù)字組成的編號(hào)）： 22015016 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?長江師范學(xué)院 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 李慧敏 2. 陳英 3. 劉霜 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 陳波濤 日期： 2014 年 9 月2014高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號(hào) 專 用 頁賽區(qū)評閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評

3、閱記錄（可供賽區(qū)評閱時(shí)使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號(hào)）：全國評閱編號(hào)（由全國組委會(huì)評閱前進(jìn)行編號(hào)）： 創(chuàng)意平板折疊桌的設(shè)計(jì)摘要空間是蘊(yùn)含豐富、用之不竭的寶貴資源，近年來，空間的有效利用開始受到人們的廣泛關(guān)注。能夠有效節(jié)省空間的“創(chuàng)意平板折疊桌”應(yīng)運(yùn)而生，這不僅滿足了人們需求又能有效地節(jié)省空間。利用數(shù)學(xué)建模知識(shí)，結(jié)合實(shí)際問題，我們對“創(chuàng)意平板折疊桌”問題給出了如下解答：問題一 ：在給定了木板大小的情況下，要做出相應(yīng)高度的折疊桌。通過反復(fù)觀看圖片視頻，并結(jié)合給定的數(shù)據(jù)，我們首先通過分析折疊桌折疊和展開兩種狀態(tài)的三視圖，得到兩種狀態(tài)中鋼筋的不同位置，經(jīng)過分析計(jì)算，我們

4、得到開槽長度就是鋼筋兩次位置沿木條方向的距離，其中正中間木條的開槽長度最大，為cm，從而得到木條的開槽長度取值范圍為。其次，通過建立以圓桌面（展開狀態(tài)）的圓心為原點(diǎn)的三維直角坐標(biāo)系，以桌腿長度為參數(shù)，我們給出桌腳邊緣線數(shù)學(xué)描述。問題二：在考慮到折疊桌的穩(wěn)定性、實(shí)用性的前提下，設(shè)計(jì)出相應(yīng)直徑和高度的最省材料的圓桌。首先，在研究問題一的基礎(chǔ)上，并結(jié)合實(shí)際情況，作出合理假設(shè)，以尺寸隨鋼筋位置、開槽長度為變量，確定目標(biāo)函數(shù)；然后通過對任意木條（展開狀態(tài)正視圖）進(jìn)行分析，結(jié)合誘導(dǎo)公式，建立平板尺寸與鋼筋位置、開槽長度之間相互影響的數(shù)學(xué)模型；最后通過分析、計(jì)算，列出相應(yīng)的約束條件（開槽長度不能大于桌腿長）

5、，再運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件得出該模型的最優(yōu)化求解，找出最省材料、最適合的尺寸。問題三：設(shè)計(jì)出滿足消費(fèi)者意愿和需求的折疊桌。該問題的關(guān)鍵是，建立滿足消費(fèi)者要求（如桌高、桌面邊緣線和桌腳邊緣線的形狀等）的數(shù)學(xué)模型，然后利用最優(yōu)化求解理論，研究木板材料尺寸，以及相關(guān)因素增加或減少后的動(dòng)態(tài)變化，最后確定折疊桌設(shè)計(jì)軟件的數(shù)學(xué)模型。并利用該數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)出有創(chuàng)意的平板折疊桌。關(guān)鍵字:平板折疊桌 桌腿邊緣線 開槽長度 最優(yōu)化 三維直角坐標(biāo)系一、問題重述問題背景: 隨著社會(huì)的發(fā)展，城市化進(jìn)程的加快，大廈密集，城市道路四通八達(dá)，但是于此同時(shí)，問題也接踵而來：用地緊張、生存空間擁擠、交通阻塞、生態(tài)失衡、環(huán)境惡化等等。這給人們

6、居住生活帶來很大影響，也制約著經(jīng)濟(jì)與社會(huì)的進(jìn)一步發(fā)展。在這種情況下，各行各業(yè)都開始關(guān)注空間的有效利用，盡可能的節(jié)約空間。人們轉(zhuǎn)向?qū)Ω鞣N空間的開發(fā)利用，空間的利用對于人類的生活環(huán)境在功能性和實(shí)用性上有著舉足輕重的關(guān)系，當(dāng)然，隨著社會(huì)的發(fā)展以及改變，空間的合理運(yùn)用是人們不斷需要去探索的重要課題。我們所設(shè)計(jì)的創(chuàng)意平板折疊桌就是對空間的合理利用。這款桌子當(dāng)折疊起來后它也可以迅速的展開，變成一張完整的圓形桌子，用于聚會(huì)或派對當(dāng)不需要時(shí)，它就瞬間變?yōu)橐粋€(gè)不占地的長方形的小床。由此可見，本次設(shè)計(jì)的可收縮性桌子是有必要的，也是有實(shí)用價(jià)值的?？墒湛s桌子也具有多功能性，可以用來當(dāng)做餐桌、物品架、凳子以及床鋪。問題

7、再現(xiàn)：某公司生產(chǎn)一種桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板的可折疊的桌子。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證自由滑動(dòng)。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成。試建立數(shù)學(xué)模型討論下列問題：1. 給定長方形平板尺寸為120 cm 50 cm 3 cm，每根木條寬2.5 cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53 cm。建立模型描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程，在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)（例如，桌腿木條開槽的長度等）和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述。2. 折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性

8、好、加工方便、用材最少。對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等。對于桌高70 cm，桌面直徑80 cm的情形，確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。3. 公司計(jì)劃開發(fā)一種折疊桌設(shè)計(jì)軟件，根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。你們團(tuán)隊(duì)的任務(wù)是幫助給出這一軟件設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)所建立的模型給出幾個(gè)你們自己設(shè)計(jì)的創(chuàng)意平板折疊桌。要求給出相應(yīng)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)，畫出至少8張動(dòng)態(tài)變化過程的示意

9、圖。二、符號(hào)說明：表示桌面半徑；,：分別表示折疊狀態(tài)俯視圖中鋼筋；，：分別表示展開狀態(tài)正視圖中鋼筋；：表示桌腿最外側(cè)木條的長度；：表示任意木條到圓桌面垂直最外側(cè)的中心軸的距離；：表示桌面邊緣最外側(cè)木塊長度；：表示平板尺寸；：表示折疊時(shí)鋼筋到外側(cè)中點(diǎn)的距離；：表示開槽長度；: 桌面圓心；三、模型假設(shè)1假設(shè)我們做圖是真實(shí)可靠；2在問題二中假設(shè)桌面邊緣最外側(cè)木塊長度為0；3假設(shè)運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件非線性優(yōu)化模型可信度比較高；4假設(shè)計(jì)算出的各個(gè)指標(biāo)誤差比較??；5忽略折疊桌制作過程的木材損耗；6. 假設(shè)測量桌子高度時(shí)忽略桌面木板厚度；7. 假設(shè)鋼筋的半徑忽略不計(jì)；四、問題分析問題一：（1）已知木板的尺寸為120

10、 cm 50 cm 3 cm，每根木條為寬2.5 cm，鋼筋位于最外側(cè)木條的中心位置，所以展開狀態(tài)時(shí)延長各個(gè)木條至接觸地面，得到以鋼筋為對稱中心的中心對稱圖形，即在展開狀態(tài)的正視圖是長方形，通過邊角關(guān)系和木板長為120 cm問題二：自己設(shè)計(jì)出桌高70cm、桌面直徑80問題三：根據(jù)客戶的不同往往對折疊桌有不同的要求，所以在該問中要求設(shè)計(jì)一個(gè)通用的軟件程序，對于任意給定的折疊桌高度、桌面形狀及大小和桌腿邊緣線的形狀等設(shè)計(jì)要求，可以設(shè)計(jì)出滿足要求的最省材料、最實(shí)用穩(wěn)固的桌子。那么這個(gè)軟件就是可以根據(jù)不同的客戶對不同的桌子所期望的的大致形狀給模擬出來。因此我們組的任務(wù)就是給出軟件設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，在本題

11、中軟件數(shù)學(xué)模型的建立是至關(guān)重要的，我們還需利用建立的模型給出我們設(shè)計(jì)的兩個(gè)個(gè)創(chuàng)意平板折疊桌。同時(shí)要給出相應(yīng)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)，畫出每個(gè)設(shè)計(jì)的八張動(dòng)態(tài)變化過程的示意圖。五、模型的建立與求解問題一：折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程：每根木條在桌子展開時(shí)都是在做圓形旋轉(zhuǎn)變化，每根木條都是以木條與桌子的連接處為圓心，該木條的長度為半徑進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。對折疊桌折疊和展開兩種狀態(tài)進(jìn)行分析，得到折疊和展開兩種狀態(tài)的三視圖如下（圖1）（圖2）（圖3）（圖4）圖1：桌子折疊狀態(tài)時(shí)的俯視圖圖2：桌子展開狀態(tài)時(shí)的正視圖圖3：桌子展開狀態(tài)時(shí)的左視圖 圖4：桌子展開狀態(tài)時(shí)的俯視圖（2）折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)（即開槽長度）：連接桌腿木條的鋼筋位

12、于最外側(cè)木條的中心位置，為保證滑動(dòng)的自由度沿木條有開槽，平板狀態(tài)是鋼筋緊貼每根木條開槽的一端，展成桌子時(shí)鋼筋又緊貼每根木條的另一端，由于中間最短的木條變化幅度最大，所以中間一根木條的開槽長度是最長的，我們對以中間一根為例求開槽長度，其他各根均可相似求得開槽長度。根據(jù)對折疊桌的折疊狀態(tài)進(jìn)行分析，做折疊桌折疊狀態(tài)的俯視圖（圖1），其中、兩條紅色的弧線表示木條開槽端點(diǎn)的連線，圖1中陰影部分表示中間的一根木條。根據(jù)對折疊桌的展開狀態(tài)進(jìn)行分析，做折疊桌展開狀態(tài)的正視圖（圖2），其中、與圖1中的、意義相同，、分別表示桌子展開是的接觸地面的支點(diǎn)，、表示鋼筋的位置，、分別表示展開過程中正中間木條的活動(dòng)部分。（

13、圖5）是從折疊桌展開狀態(tài)的正視圖（圖）中抽象出來的只有最外側(cè)與最中間的木條的一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)模型圖，其中表示折疊桌的直徑。圖5：展開狀態(tài)的抽象正視圖由于桌子是左右對稱的，所以我們僅對左半部分進(jìn)行分析，右半部分同理可進(jìn)行分析。設(shè)最長的棱長為常數(shù)（cm），則：由勾股定理得：由得：計(jì)算得： 已知木板的長為， 則：由題易知桌面直徑為木板寬為，則： 因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，則：由題知桌高為，故：在直角三角形中作分析，已知：,可得：則：在三角形中進(jìn)行分析，已知：,則 ： 下面對折疊和展開兩種狀態(tài)的鋼筋位置進(jìn)行分析，折疊桌折疊狀態(tài)時(shí)，到鋼筋的長度為：折疊桌展開狀態(tài)時(shí)，到鋼筋的長度為：最大開槽的長度即為兩種狀態(tài)中鋼筋位

14、置沿木條方向的距離，最終計(jì)算得開槽為：所以：開槽長度的范圍為用數(shù)學(xué)語言描述桌腿邊緣線：圖2：桌子展開狀態(tài)時(shí)的正視圖在（圖2）中設(shè)為任意木條， 到該圖中間軸的距離設(shè)為現(xiàn)求到的距離，即為點(diǎn)的三維圖中的坐標(biāo)。上一個(gè)小問題知：又知：則：所以 ：在三角形中進(jìn)行分析，已知：則：則：在三維圖中，橫坐標(biāo)X可由勾股定理求得，縱坐標(biāo)即為t，豎坐標(biāo)Z是該點(diǎn)到XOY面的距離，即為NN。所以桌角邊緣線的數(shù)學(xué)描述為:問題二：圖6：最省材料的折疊桌模型假設(shè)：桌面邊緣最外側(cè)木塊長度對折疊桌的高度和半徑影響很小，所以假設(shè)來對本問進(jìn)行分析，如（圖6）模型建立：已知桌高和直徑求最小尺寸，分建立目標(biāo)函數(shù)、分析約束條件和分析數(shù)學(xué)模型三

15、步來解決。1)建立目標(biāo)函數(shù)： 要使材料最省，顯然，當(dāng)中間時(shí)最省材料，如（圖6）：其中設(shè)，分別為鋼筋的位置。為中間一根木板的開槽長度（即最長的開槽），設(shè)：，已知，則： 又可得：，由可得：整理上式得：2)聯(lián)系實(shí)際情況與題中的要求，分析得出開槽長度小于桌腿長度，折疊時(shí)鋼筋到外側(cè)中點(diǎn)的距離要大于半徑，得到約束條件為：3)模型求解：用MATLAB軟件進(jìn)行非線性優(yōu)化求解，可得木板長度為164.7059cm,則木板尺寸為：164.7059cm 80 cm 問題三：根據(jù)對不同客戶的不同要求，建立軟件。軟件的設(shè)計(jì)目地就是面對不同的客戶輸入對折疊桌不同形狀的不同的要求，利用這個(gè)軟件就可以算出所需平板的尺寸和切實(shí)可

16、行的最優(yōu)化設(shè)計(jì)加工參數(shù)。即將折疊桌高度、桌面邊緣線和桌腳邊緣線作為未知量，求尺寸的最優(yōu)解，考慮的邊緣線的形狀，可以用數(shù)學(xué)軟件分為規(guī)則圖形和不規(guī)則。在程序中將尺寸用折疊桌高度、桌面邊緣線和桌腳邊緣線表示，當(dāng)邊緣線為直線是，可以這樣表示，但是一般邊緣線是曲線，就不便于將尺寸用折疊桌高度、桌面邊緣線和桌腳邊緣線表示，這時(shí)可以引入直徑等其他變量來表示，由此可以建立數(shù)學(xué)模型，再而利用數(shù)學(xué)軟件，針對不同的客戶的要求，經(jīng)過編程就可以在軟件中的出直觀的空間幾何圖，讓客戶滿意。圖7：平板折疊桌動(dòng)態(tài)圖圖8：平板折疊桌動(dòng)態(tài)圖六、模型評價(jià)與應(yīng)用推廣1、模型評價(jià)模型的優(yōu)點(diǎn)：（1）在數(shù)據(jù)處理方面，我們詳細(xì)分析了視頻，仔細(xì)

17、觀察題目所給的數(shù)據(jù)和圖形，利用直觀平面圖形把所給的抽象空間圖形具體到各面，做出了折疊桌展開和折疊時(shí)的直觀三視圖，通過這樣細(xì)致的分析我們規(guī)范了各種數(shù)據(jù)，為下一步解題提供了準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)資料。（2）在數(shù)據(jù)的精確度和理想值方面，我們利用MATLAB作圖，得出最優(yōu)解，并重復(fù)多次作圖，取得最結(jié)合實(shí)際的一個(gè)。（3）模型在圖像處理和顯示上，我們采用MATLAB作圖和幾何作圖等多種作圖工具，用于擬合數(shù)據(jù)的變化趨勢，使問題結(jié)果更加清晰、條理和直觀。（4）在模型建立上，分析提取出了平板折疊桌的尺寸和開槽長度的關(guān)系，同時(shí)結(jié)合實(shí)際情況，使其盡量貼近數(shù)學(xué)建模，用最簡單的方法解決最難問題。（5）在問題二中，我們將桌面邊緣最外

18、側(cè)木塊長度d是近似的視為零，雖然有一定誤差，但是卻簡化了模型，便于求解。模型的缺點(diǎn)：（1）在數(shù)據(jù)計(jì)算上，采用的是計(jì)算機(jī)算取，以“四舍五入法”為基本法，保留四位小數(shù)，雖然大大提高了靈活性，但也容易使數(shù)據(jù)出現(xiàn)人為的偏差和不精確；（2）在問題一中，只采用了三視圖分析法，結(jié)果比較單一，沒有系統(tǒng)和全面地分析折疊桌動(dòng)態(tài)的變化過程。（3）在計(jì)算時(shí)我們忽略了折疊桌本身的厚度以及鋼筋的直徑，這給我們的計(jì)算帶來了很大的便利，但是與此同時(shí)，誤差也就產(chǎn)生了，這也就造成了數(shù)據(jù)的不精確度。（4）在問題二中，我們將桌面邊緣最外側(cè)木塊長度d是近似的視為零，這只是一個(gè)理想狀態(tài)，所以我們分析的尺寸理論上是最小的，但實(shí)際上具有一定的誤差。（5）問題三的所建立的關(guān)系模型中沒有使用專業(yè)的作圖軟件，這使得我們所做的圖形存在一定的誤差。2、模型的推廣與應(yīng)用本次我們運(yùn)用的是通過三視圖對空間立體圖形進(jìn)行分析和用MATLAB優(yōu)化工具解決非線性問題兩種建模方法。這兩種模型的結(jié)合運(yùn)用主要體現(xiàn)在空間圖形的最值優(yōu)化問題的解決中。比如對空間模型的體積、面積、長度的最值分析等等。建立的這種模型