生物統(tǒng)計2章 概率和概率分布

1、第二章 概率和概率分布2.1 概率的基本概念2.2 概率分布2.3 總體特征數(shù)2.4 幾種常見的概率分布律2022/9/24第二章 概率和概率分布2.1 概率的基本概念自然現(xiàn)象：確定性現(xiàn)象和非確定性現(xiàn)象（隨機(jī)現(xiàn)象）從隨機(jī)現(xiàn)象中做大量的研究，能從其偶然性中揭示內(nèi)在的規(guī)律統(tǒng)計學(xué)所研究的是非確定性現(xiàn)象，2022/9/24概率的統(tǒng)計定義是在大量的試驗(yàn)中，以頻率的穩(wěn)定性為基礎(chǔ)上提出來的。設(shè)k次隨機(jī)試驗(yàn)，成功事件A 出現(xiàn)l次，則稱l/k是K次隨機(jī)試驗(yàn)中成功的頻率。頻率是由樣本數(shù)據(jù)計算得到的。由于樣本分布的不恒定性，不同的隨機(jī)試驗(yàn)，事件A的出現(xiàn)頻率也不同，隨著K改變，頻率也有一定的波動。隨著K的增大，頻率l

2、/k將圍繞著某一確定的常數(shù)P做平均幅度愈來愈小的變動，這就是所謂頻率的穩(wěn)定性，其中P即為事件A的概率。簡單的說概率就是頻率的穩(wěn)定值。在試驗(yàn)次數(shù)較多時，可以用頻率作為概率的近似值。 (P23 表2-1)2.1.1 概率的統(tǒng)計定義2022/9/24 概率是事件在試驗(yàn)結(jié)果中出現(xiàn)可能性大小的定量計算，是事件固有的屬性，有以下明顯的性質(zhì)：任何事件A的概率均滿足：0P（A）1必然事件W的概率為1，即P（W）=1不可能事件（V）的概率為0，即P（V）=02.1.1 概率的統(tǒng)計定義（續(xù)）2022/9/24概率的統(tǒng)計定義是在大量的試驗(yàn)中，以頻率的穩(wěn)定性為基礎(chǔ)上提出來的。不需要做試驗(yàn)就可以確定事件出現(xiàn)的概率，稱為

3、古典概率，具有以下特點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)的全部可能結(jié)果（基本事件數(shù)）是有限的；各基本事件間是互不相容且等可能的。缺點(diǎn)：要求各基本事件是等概率且有限的。2.1.2 概率的古典定義2022/9/24隨機(jī)變量隨機(jī)變量就是在隨機(jī)試驗(yàn)中被測定的量，所取得的值稱為觀察值?？煞譃殡x散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量：可能取得的數(shù)值為有限個或可數(shù)無窮個孤立的數(shù)值。連續(xù)型隨機(jī)變量：可取某一（有限或無限）區(qū)間內(nèi)的任何數(shù)值。2.2 概率分布2022/9/24將隨機(jī)變量X所取得值x的概率P（X=x）寫成x的函數(shù)p(x)，稱為隨機(jī)變量X的概率函數(shù)公式為p(x)=P(X=x)。概率函數(shù)應(yīng)滿足： p(x)0 p(x)=1

4、2.2.1離散型隨機(jī)變量的概率分布2022/9/24將X的一切可能值x1，x2，x3，xn，以及取得這些值的概率P（x1）， P（x2），. ，p（xn），.排列起來，構(gòu)成了離散型隨機(jī)變量的概率分布。常用概率分布表或概率分布圖表示。 2.2.1 離散型隨機(jī)變量的概率分布（續(xù)）離散型隨機(jī)變量的概率分布表x1x2xnp(x1)p(x2)p(xn)2022/9/24離散型隨機(jī)變量的概率分布圖2022/9/24離散型變量概率的分布函數(shù)：離散型變量概率的累積。其公式為2.2.1 離散型隨機(jī)變量的概率分布（續(xù)）指隨機(jī)變量等于或小于某一可能值（x0)的概率。2022/9/24對于離散型隨機(jī)變量的任何值，都可

5、以求出它的概率。而連續(xù)型隨機(jī)變量則不同，因?yàn)樵囼?yàn)中可以取某一區(qū)間內(nèi)的任何值，這些數(shù)值構(gòu)成不可數(shù)的無窮集合。任何值的概率都等于0，這并不是說這種事件不會出現(xiàn)，只是由于技術(shù)上的限制，在測量時不可能無限提高精確度。在研究連續(xù)型隨機(jī)變量時，實(shí)際觀察值只能是落在一定的區(qū)間內(nèi)，其概率可以不為0，當(dāng)然這種區(qū)間可以很小。2.2.2 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布2022/9/24 隨機(jī)變量X的值落在區(qū)間（x，x+x）內(nèi)的概率為P(xXx+x),其中x為區(qū)間長度。當(dāng)x趨于零時，此時區(qū)間概率稱為密度函數(shù)：概率密度的圖形y=f(x)稱為分布曲線。2.2.2連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布（續(xù)）2022/9/24 分布函數(shù)（或稱為

6、累積分布函數(shù)）是隨機(jī)變量X取得小于X0的值的概率對于任意兩點(diǎn)a和b(a b)，下式成立： P（Xa) + P（aXb) = P（Xb) 或P（aXb) = F（b) -F（a) 2.2.2連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布（續(xù)）2022/9/24通過樣本數(shù)據(jù)得到的頻率分布稱為統(tǒng)計分布或經(jīng)驗(yàn)分布，描述總體的概率分布稱為理論分布或總體分布。頻率分布可出現(xiàn)各種類型：兩側(cè)對稱，不對稱，但對于不同的頻率分布均有相應(yīng)理論分布，即隨機(jī)變量變化規(guī)律的理想化數(shù)學(xué)模型。雖然很難與實(shí)際情況完全一致，但近似得非常好，因此可以用建立在概率分布基礎(chǔ)上的統(tǒng)計規(guī)律來解決實(shí)際問題。如果我們從總體中取出了一個很大的樣本，可把這個樣本的分布

7、近似作為總體的分布。2.2.3概率分布與頻率分布的關(guān)系2022/9/24樣本特征數(shù)是描述頻率分布特征的：統(tǒng)計量總體特征數(shù)是描述概率分布特征的：參數(shù)總體特征數(shù)包括隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（理論平均數(shù)），方差和各階矩，可以用類似求樣本特征數(shù)方法求得。2.3 總體特征數(shù)2022/9/24總體特征數(shù)：描述概率分布特征的數(shù)字，包括數(shù)學(xué)期望、方差和各階矩。 所謂X或X的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，即它們的理論平均數(shù)。樣本平均數(shù)：2.3.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差隨著n的充分增加，平均數(shù)穩(wěn)定于總體平均數(shù)2022/9/24頻數(shù)資料的樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差2.3.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差（續(xù)）總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差2022/9/24

8、X或X的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望可用通式表示2.3.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差（續(xù)）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望就是這個隨機(jī)變量的所有可能值，以其相應(yīng)概率為權(quán)的加權(quán)平均數(shù)。2022/9/24 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義為2.3.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差（續(xù)）連續(xù)型隨機(jī)變量方差定義為2022/9/242.3.2 數(shù)學(xué)期望和方差的運(yùn)算2022/9/242.4 幾種常見的概率分布律2.4.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布在生物學(xué)中應(yīng)用很廣，其特征如下：每次試驗(yàn)只有兩個對立結(jié)果（A和）；N次試驗(yàn)是重復(fù)，獨(dú)立的?；胤攀匠闃舆m合于二項(xiàng)分布；非回放式抽樣適合于超幾何分布。二項(xiàng)分布概率函數(shù)2022/9/242.4.1 二項(xiàng)分布（續(xù)）

9、服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的特征數(shù)（用比率表示時）平均數(shù)方差偏斜度峭度（用比率表示時）2022/9/24二項(xiàng)分布決定于兩個參考數(shù)：試驗(yàn)次數(shù)和概率，因此其圖形變化趨勢與這兩個參數(shù)有關(guān)隨試驗(yàn)次數(shù)的增大圖形分布趨于對稱；而且當(dāng)概率趨于0.5時分布趨于對稱偏斜度和峭度是與試驗(yàn)次數(shù)和概率有關(guān)。當(dāng)相同時，隨樣本含量的增加，1和2逐漸接近于0（正態(tài)分布）；或樣本含量相同時， 愈接近于0.5， 1和2愈接近于0。表3-1 P37二項(xiàng)式分布應(yīng)用實(shí)例 2.4.1 二項(xiàng)分布（續(xù)）2022/9/24 在生物統(tǒng)計學(xué)中，正態(tài)分布占有極其重要的地位。許多生物學(xué)現(xiàn)象所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，都服從正態(tài)分布。正態(tài)分布密度函數(shù)的圖像稱為正態(tài)曲線

10、正態(tài)分布密度函數(shù)的圖像，稱為正態(tài)曲線。2.4.2 正態(tài)分布2022/9/24平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為 的正態(tài)分布，其密度函數(shù)：累積分布函數(shù)：正態(tài)曲線2022/9/24正態(tài)分布規(guī)律是數(shù)據(jù)分布兩頭少，中間多，兩側(cè)對稱。密度曲線以X=直線為對稱；X=- 和 X=+ 所確定的點(diǎn)為曲線的兩個“拐點(diǎn)”；曲線向左、向右無限延伸，以x軸為漸近線；x越趨向于, f(x)的取值越大；X= 時，f(x)具有最大值，其值為：正態(tài)曲線特點(diǎn)2022/9/24 的大小，決定曲線的“胖”、“瘦”程度， 越小，曲線越“瘦”，數(shù)據(jù)越集中， 越大，曲線越“胖”，數(shù)據(jù)越分散。 固定時，值決定曲線的位置， 當(dāng)增大時曲線向右平移， 當(dāng)減少時曲

11、線向左平移，但曲線形狀不變。正態(tài)曲線特點(diǎn)（續(xù)）2022/9/24 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布=0，=1時的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1) 。其密度函數(shù)和累積分布函數(shù)分別為：2022/9/24在u=0時，(u)達(dá)到最大值,概率密度值最大；當(dāng)u 遠(yuǎn)離0時，e 的指數(shù)變得愈大，因此(u)的值愈??；曲線兩側(cè)對稱，即(u) = (-u) ；曲線在u=1 和 u=-1 處有兩個拐點(diǎn)；曲線下面積為等于1；累積分布函數(shù) (u)的值可查表；累積分布函數(shù) (u)曲線從-到0平穩(wěn)上升，圍繞點(diǎn)(0,0.5)對稱；標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有以下特性2022/9/24u=-1 到 u=1 面積為0.6827u=-2 到 u=2 面積為0.9

12、543u=-3 到 u=3 面積為0.9973u=-1.960 到 u=1.960 面積為0.9500u=-2.576 到 u=2.576 面積為0.9900正態(tài)分布的偏斜度和峭度都為0。重要特征值：2022/9/24正態(tài)分布表常用的幾個關(guān)系式P(0uu1)(u1)-0.5 P(uu1) =(-u1) P(uu1)=2(-u1) P(uu1)1-2(-u1) P(u1uu2)(u2)-(u1) 正態(tài)分布表正態(tài)分布表（附表2）的查法2022/9/24對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其累積分布函數(shù)值可直接查表（附表2）得到；例 查u=-0.82及u=1.15時的(u)的值。u=-0.82時， (u)0.2061

13、1u=1.15時， (u)0.87493在分布曲線上畫出(u)所代表的面積。正態(tài)分布表（附表2）的查法2022/9/24對于一般正態(tài)分布，要先將進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：再查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表也很容易得到。令代入概率密度函數(shù)因?yàn)樗哉龖B(tài)分布表（附表2）的查法（續(xù)）2022/9/24例3.10 ：已知高粱品種“三尺三”株高服從正態(tài)分布N(156.2,4.822),求(1)X164cm 的概率；（3）X在152-162cm 的概率。（1）P(X164)=?（3） P(152X u)= 時的u值；下側(cè)分位數(shù)： P(U u /2 )= 時的 u /2值（從附表3中以/2查出的u /2 即可。附表3與附表2的查法正好相反

14、。2022/9/24正態(tài)分布的單側(cè)分位數(shù)和雙側(cè)分位數(shù)（附表3）2022/9/24在生物界中，把一個隨機(jī)變量看作許多影響微小而又相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和。當(dāng)這些獨(dú)立的隨機(jī)變量的數(shù)量很大時，每一隨機(jī)變量對總和的影響則相對變小。為了研究數(shù)量很大時隨機(jī)變量和所具有的規(guī)律性，應(yīng)使用極限的原理和方法。已證明在上述情況下，隨機(jī)變量和的分布趨于正態(tài)分布。研究隨機(jī)變量和的極限分布是正態(tài)分布的一類定理，稱為中心極限定理。中心極限定理2022/9/24 假設(shè)被研究的隨機(jī)變量X，可以表示為許多相互獨(dú)立的隨機(jī)變量Xi的和。那么，如果Xi的數(shù)量很大，而且每一個別的Xi對于X 所起的作用很小，則可以被認(rèn)為X 服從或近似地服從

15、正態(tài)分布。中心極限定理含義2022/9/24 若已知總體平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，那么不論該總體是否為正態(tài)分布，對于從該總體所抽取的含量為N的樣本，當(dāng)樣本含量充分大時，其平均數(shù)漸近服從正態(tài)分布N（，2/n）（見公式）。中心極限定理在生物統(tǒng)計學(xué)占有極其重要的地位。有了這個定理，才能從單個樣本的n個數(shù)據(jù)所得到的統(tǒng)計量對總體進(jìn)行估計。中心極限定理推論2022/9/24從一個包含兩種不同類型個體的有限總體做非放回式抽樣，抽中某種類型的個體數(shù)服從超幾何分布。概率函數(shù)2.4.3超幾何分布N:總體中的個數(shù)K:兩種類型中某一種類型的個體數(shù)n:非放回式抽樣的次數(shù)x:在n次抽樣中某一種類型的個體數(shù)2022/9/242

16、.4.3超幾何分布（續(xù)）服從超幾何分布的隨機(jī)變量的總體特征數(shù)：例：野生動物考察時,常需要了解野生動物群體的大小.一種方法是先捕捉一定數(shù)目的動物,做上標(biāo)記,把他們放回到群體中.然后再捕捉第二個樣本,計算其中有標(biāo)記的動物數(shù).根據(jù)以上資料估計群體大小.捕捉第二個樣本時,捉到有標(biāo)記的動物數(shù),是一個隨從超幾何分布的隨機(jī)變量.方差平均數(shù)2022/9/24結(jié)束2.14 X為垂釣者在1h內(nèi)釣上的魚數(shù)，其概率 分布如下表：作業(yè)： P32x0123456p(x)0.0010.0100.0600.1850.3240.3020.118問（1）期望1h內(nèi)釣到的魚數(shù)？ （2）它們的方差？2022/9/24結(jié)束3.4 根據(jù)

17、以往的經(jīng)驗(yàn)，用一般療法治療某種疾病，其死亡率為40，治愈率為60。今用一種新藥治療染上該病的5名患者，這5人均治愈了，問該新藥是否顯著優(yōu)于一般療法？ 作業(yè)： P512022/9/24結(jié)束3.14.已知習(xí)題1.2中，250株小麥的高度分布服從正態(tài)分布N(63.33,2.882)，問： （1）株高在60cm以下的概率？ （2）株高在69cm以上的概率？ （3）株高在62-64cm之間的概率？ （4）株高在多少cm以上的占全體95？ （1）株高落在 之間的概率是多少？作業(yè)： P512022/9/24一、名詞解釋 隨機(jī)事件 概率的統(tǒng)計定義 小概率原理正態(tài)分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 雙側(cè)概率（兩尾概率） 單側(cè)概率（一尾概率） 二項(xiàng)分布 標(biāo)準(zhǔn)誤 t分布 二、簡答題1、正態(tài)分布的密度曲線有何特點(diǎn)? 2、標(biāo)準(zhǔn)誤與標(biāo)準(zhǔn)差有何聯(lián)系與區(qū)別?3、樣本平均數(shù)抽樣總體與原始總體的兩個參數(shù)間有何聯(lián)系？4、事件的概率具有那些基本性質(zhì)？習(xí)題2022/9/24三、計算題1、已知隨機(jī)變量x服從二項(xiàng)分布B（100，0.1），求及。2