計算機輔助設計之Bézier曲線

1、計算機輔助設計一：兩條Bzier曲線如何求交點？1. Bzier曲線的定義： 給定空間n+1個點的位置矢量Pi ( i=0,1,2,n )，則Bzier曲線可定義為： 其中，Pi(i=0,1, ,n)構成該Bzier曲線的特征多邊形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函數(shù)： 控制頂點 特征多邊形2.Bernstein基函數(shù)的性質 (1) 正性 (2) 端點性質 Bi,n(0)= Bi,n(1)=1, i=00, i01, i=n0, in在Bernstein基函數(shù) 曲線的次數(shù)。由排列組合和導數(shù)運算規(guī)律可以推導出Bernstein基函數(shù)的如下性質：中，n為基本 (3) 權性 由二項式定理可

2、知： (4) 對稱性： 因為 (5) 遞推性 (6) 導函數(shù)： (7) 最大值 即高一次的Bernstein基函數(shù)可由兩個低一次的Bernstein調和函數(shù)線性組合而成。Bi,n ( t ) 在 t=i/n 處達到最大值。3. Bzier曲線的性質（1）端點性質： Bezier曲線的起點、終點與相應的特征多邊形的起點、終點重合。 Bezier曲線起點和終點處的二階導 矢只與相鄰的3個頂點有關。r階導矢只與r+1個相鄰點有關。 Bezier曲線起點和終點處的切線方向和特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的走向一致。（2）對稱性：由控制頂點構造出的新Bezier曲線，與原Bezier曲線形狀相同，走向

3、相反。（3）凸包性：意味著Bezier曲線P(t)在 中各點是控制點Pi的凸線性組合，即曲線落在Pi構成的凸包之中。（4）幾何不變性： Bezier曲線位置與形狀與其特征多邊形頂點Pi (i=0,1,n)的位置有關，它不依賴坐標系的選擇。（5）變差縮減性 ： Bezier曲線比其特征多邊形的波動還小，也就是說Bezier曲線比特征多邊形的折線更光順。二：Bzier 曲線的遞推公式例如：拋物線三切線定理設P0，B，P2是拋物線上順序三個不同的點，過P0，P2的兩條切線交于P1，B點的切線交P0P1和P2P1于Q0和Q1，則有下式成立假設比例為t：（1-t），則：得 它表示由三個頂點P0，P1，P

4、2定義的一條二次Bzier 曲線，并且表明：這條二次Bzier 曲線B可以定義為分別由前兩個頂點（ P0，P1 ）和后兩個頂點（ P1，P2 ）決定的一次Bzier 曲線的線性組合。 以此類推，由4個控制點定義的三次Bzier 曲線可被定義為分別由（ P0，P1，P2 ）和（ P1，P2 ，P3 ）確定的兩條二次Bzier 曲線的線性組合。三：Bzier曲線的拼接 若給定兩條Bezier曲線P(t)和Q(t)，相應控制點為Pi(i=0, 1, ., n)和Qj(j=0,1,., m) P3Q0P2P1P0Q1Q2Q3 若給定兩條Bezier曲線P(t)和Q(t)，相應控制點為Pi(i=0, 1

5、, ., n)和Qj(j=0,1,., m) (1) 使達到G0 連續(xù)的充要條件是：Pn=Q0 (2) 要使達到G1連續(xù)的充要條件是：Pn-1，Pn=Q0，Q1三點共線 (3) 使達到G2 連續(xù)的充要條件是：在 G1連續(xù)的條件下，滿足：閉合曲線能通過使最后一個控制點與第一個控制點重合獲得. 1階連續(xù)可以通過保證前兩個點和后兩個點的切線相同來獲得. 四：Bzier曲線分割給定控制頂點Pi(i=0,1,n)及一參數(shù)值，由de Casteljau（ /wiki/De_Casteljau%E7%AE%97%E6%B3%95）算法求出相應Bzier曲線上的一點。該點把曲線一分為二，分成兩條子線段：怎樣求出定義這兩條子曲線段的Bzier點，就是Bzier曲線的分割問題。Bzier曲線的分割可由執(zhí)行de Casteljau算法時同時得到。五： Bzier曲線的求交。曲線是點的集合，只要比較取得兩個集合的交點。兩條Bzier曲線的公式相減，值為零