層次分析法數(shù)學(xué)建模課件

1、數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班層次分析法數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班層次分析法數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班 在人類社會生活的各個領(lǐng)域以及日常生活中，我們經(jīng)常遇到一些決策問題，例如購物 買鋼筆，一般要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實(shí)用性、價格、外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。 買飯，則要依據(jù)色、香、味、價格等方面的因素選擇某種飯菜。 過去人們處理這些問題往往是憑經(jīng)驗(yàn)，靠主觀定性的去分析，隨意性較大并且缺少應(yīng)有的科學(xué)性，因而常常造成重大的失誤。 層次分析法是將定性問題定量化處理的一種有效手段。數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班 在人類社會生活的各個領(lǐng)域以及日數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班 面臨各種各樣的方案，要進(jìn)行比較、判斷、評價、最后作出決策。這個過程主觀因素占有相當(dāng)?shù)谋戎亟o用數(shù)學(xué)方法解

2、決問題帶來不便。T.L.saaty等人20世紀(jì)在七十年代提出了一種能有效處理這類問題的實(shí)用方法。 層次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)這是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。過去研究自然和社會現(xiàn)象主要有機(jī)理分析法和統(tǒng)計(jì)分析法兩種方法，前者用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系，后者以隨機(jī)數(shù)學(xué)為工具，通過大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律。近年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班 面臨各種各樣的方案，要進(jìn)行比較數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班層次分析法的基本思路： 選擇鋼筆 質(zhì)量、顏色、價格、外形、實(shí)用 鋼筆1、鋼筆2、鋼筆3

3、、鋼筆4（1）質(zhì)量、顏色、價格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序（2）將各個鋼筆的質(zhì)量、顏色、價格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序（3）經(jīng)綜合分析決定買哪支鋼筆。與人們對某一復(fù)雜決策問題的思維、判斷過程大體一致。數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班層次分析法的基本思路：數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班不完全層次結(jié)構(gòu)如目標(biāo)層 合理分配企業(yè)利潤準(zhǔn)則層 調(diào)動積極性 提高企業(yè)質(zhì)量 改善生活條件方案層 發(fā)獎金 擴(kuò)展福利設(shè)施 引進(jìn)人才和設(shè)備數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班不完全層次結(jié)構(gòu)如數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班在層次劃分及因素選取時，我們要注意三點(diǎn)： （1）上層對下層有支配作用； （2）同一層因素不存在支配關(guān)系（相互獨(dú)立）； （3）每層因素一

4、般不要超過9個。 （心理學(xué)家通過實(shí)驗(yàn)認(rèn)為，人對許多東西優(yōu)劣及優(yōu)劣程度判斷能力，最多大致在9個以內(nèi)，超過這個范圍就會判斷失真。例如，人們在面對琳瑯滿目的商品常常會眼花繚亂，難以抉擇。）數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班在層次劃分及因素選取時，我們要注意三點(diǎn)：數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班步驟2 構(gòu)造成對比較陣面對的決策問題：要比較 個因素 對目標(biāo) 的影響。我們要確定它們在 中所占的比重（權(quán)重），即這 個因素對目標(biāo) 的相對重要性。我們用兩兩比較的方法將各因素的重要性量化。（兩個東西進(jìn)行比較，最能比較出它們的優(yōu)劣及優(yōu)劣程度。） 每次取兩個因素 和 ，用正數(shù) 表示 與 的重要性之比。全部比較結(jié)果得到的矩陣 稱為成對比較陣（也稱為正互反矩

5、陣）。顯然有數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班步驟2 構(gòu)造成對比較陣面對的決策問題：要數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班 如何選取 呢？薩迪提出了一種方法：用數(shù)字 及其倒數(shù) 作為標(biāo)度，其意義是 比重要性 相同 稍重要 重要 很重要 絕對 重要 1 3 5 7 9 在每兩個等級之間有一個中間狀態(tài)， 可分別取值 。數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班 如何選取 呢？薩迪提出了數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班例如：評價電影的好壞目標(biāo)層 評價準(zhǔn)則層 娛樂性 藝術(shù)性 教育性方案層 電影1 電影2 個人認(rèn)為：稍重要重要稍重要得成對比較陣這里有個邏輯上的問題數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班例如：評價電影的好壞個人認(rèn)為：稍重要重要稍重要數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班即即即而實(shí)際這個問題我們稱為邏輯上的一致性問題。如果決策

6、人對 個因素重要性的比較具有邏輯的絕對一致性，即那么我們稱這樣的成對比較矩陣為一致矩陣。但一般來說，我們是沒有辦法使之完全一致的。數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班即即即而實(shí)際這個問題我們稱為邏輯上的一致性問題數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班 由于客觀事物的復(fù)雜性以及人們認(rèn)識的多樣性，特別是人的思維活動不可避免地帶有主觀性和片面性，構(gòu)造出的成對比較陣 常常不是一致陣。若不一致性達(dá)到很嚴(yán)重的程度，我們建立起來的評價系統(tǒng)將會是很不準(zhǔn)確的。因此我們就要討論一下我們建立的比較陣的不一致性是否在一個允許的范圍內(nèi)！ 那么如何檢驗(yàn)矩陣 的一致性呢？顯然對 中的每個元素用 來討論是很麻煩的，而且容易出現(xiàn)混亂。我們利用矩陣?yán)碚摽梢宰C明： 階成對比較

7、矩陣 是一致陣，當(dāng)且僅當(dāng) 的最大特征值 。因此計(jì)算 的最大特征值就可判斷 是否是一致陣。如果 不是一致陣，我們還可以證明 而且 越大，不一致程度越嚴(yán)重。數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班 由于客觀事物的復(fù)雜性以及人們認(rèn)數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班 可以看出矩陣 的不一致性是不可避免的，但只要它的不一致性不是很嚴(yán)重，我們還是可以接受的。薩迪給出了一個衡量可接受的指標(biāo)以及尋求該指標(biāo)的方法。共分三步：（1）計(jì)算一致性指標(biāo)CI（consistency index)用來衡量 的不一致程度。（2）查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI（random index）。例如其實(shí)比較陣就是由作為元素的矩陣，我們可以用排列組合的方法將所有的可能矩陣全部找

8、到。它們這些三階陣構(gòu)成一個樣本空間（集合）。算出每個矩陣的最大特征值，再取平均值，得到 。再計(jì)算 我們認(rèn)為若 就說 的不一致程度是可接受的。步驟3 一致性檢驗(yàn)數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班 可以看出矩陣 的不一致性是不可避免數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班 但是對于階數(shù)比較高的矩陣集，求出其全部樣本點(diǎn)工作量是非常大的，我們只要在這個集合中取機(jī)抽取出足夠多的樣本點(diǎn)（如500個），用這些樣本點(diǎn)來計(jì)算出 的一個近似值來代替 ?？梢宰C明當(dāng)抽取出的樣本點(diǎn)的個數(shù)足夠大時，兩者的值是非常接近的。 所以平均一致性指標(biāo)是這樣得到的：對于固定的 ，隨機(jī)構(gòu)造成對比較陣 。從中取充分大的子樣得到 ,并定義下面給出隨機(jī)一致性指標(biāo)表：（隨機(jī)取500個)1

9、23456789RI000.580.901.121.241.321.411.45 大家完全可以把這個結(jié)果像數(shù)學(xué)用表那樣去查，這就省去了我們求子樣中成對比較矩陣的最大特征值的平均值了。數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班 但是對于階數(shù)比較高的矩陣集，求出數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班（3）計(jì)算一致性比例CR（consistency ratio)結(jié)論：當(dāng) 時，認(rèn)為矩陣 的不一致性是可以接受的，當(dāng) 時，則應(yīng)修改比較陣 直至達(dá)到可接受為止。數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班（3）計(jì)算一致性比例CR（consistenc數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班步驟4 計(jì)算權(quán)重向量當(dāng)我們構(gòu)造出了可接受的成對比較陣 ，我們就可以計(jì)算此層中 個因素在目標(biāo) 中所占的比重，將這些比重寫成向量并歸

10、一化即得權(quán)向量 。下面是權(quán)向量的幾種求法：（1）和法：取成對比較陣 的 個行向量歸一化后的算術(shù)平均值近似作為權(quán)向量。（2）特征值法：求矩陣 的最大大特征值所對應(yīng)的向量并進(jìn)行歸一化即可作為權(quán)向量（這是一種精確的方法）。 此外還有根法、最小二乘法等。數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班步驟4 計(jì)算權(quán)重向量當(dāng)我們構(gòu)造出了可接受的成數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班步驟5 層次總排序即求各方案的綜合得分 前面我們求的都是在一層中各因素的權(quán)重，這個過程稱為單層次排序。不妨設(shè)準(zhǔn)則層權(quán)向量 ，而方案層有 個方案可供選擇，且每個方案的權(quán)向量分別為 。那么每個方案對最終目標(biāo)的影響程度 就可以通過下面的式子算出來了。 其中 就是第 個方案在目標(biāo) 中所占的

11、比重，也就是第 個方案的最終得分，得分最高的方案即為最優(yōu)方案。數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班步驟5 層次總排序即求各方案的綜合得分 數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班層次分析法建模舉例 第一步 建立層次結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班層次分析法建模舉例 第一步 建立層次結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班我們用 表示景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途。第二步 構(gòu)造成對比較矩陣數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班我們用 表示景色數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班的最大特征值為歸一化后特征向量為通過了一致性驗(yàn)證，是可行的。與此類似，我們可以求出方案層中各方案的成對比較矩陣。數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班的最大特征值為歸一化后特征向量為通過了一致性驗(yàn)數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班對 進(jìn)行一致性檢驗(yàn)：發(fā)現(xiàn)全部通過。數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班對 進(jìn)行數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班計(jì)算每個方案對最終目標(biāo)的權(quán)重所以最終的方案以去桂林為最佳！數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班計(jì)算每個方案對最終目標(biāo)的權(quán)重所以最終的方案以去數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班層次分析法的不足：（1）它只能從現(xiàn)有的方案中選擇出較優(yōu)的一個，并不能提供出一個新的或是更好的方案來。（2）該方法中的比較，判斷以及結(jié)果都是比較粗的，并不適合精確的計(jì)算。（3）建立層次結(jié)構(gòu)及成對比較矩陣，人的主觀因素起很大作用，這是一個無法克服的缺點(diǎn)。（但我們可以讓多個專家來做出判斷，或者以問卷調(diào)查方式得出比較陣。）數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班層次分析法的不足：數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班習(xí)題：1.試建立一個評價教學(xué)效果的層次分析模型，為教師提