3.2離散變換的基本性質(zhì)

1、3.2 離散傅立葉變換的基本性質(zhì)線性性質(zhì)循環(huán)移位性質(zhì)循環(huán)卷積定理復共軛序列的DFTDFT的共軛對稱性一、線性性質(zhì)x1(n)和x2(n)是兩個有限長序列，長度分別為N1和N2二、循環(huán)移位性質(zhì)1.序列的循環(huán)移位序列循環(huán)移位的計算步驟：2.時域循環(huán)移位定理則其中證明：3.頻域循環(huán)移位定理如果則證明：三、循環(huán)卷積定理x1(n)和x2(n)是兩個有限長序列，長度分別為N1和N2，如果則或循環(huán)卷積1.時域卷積定理證明：循環(huán)卷積的過程：循環(huán)卷積的過程：循環(huán)卷積的表達式：由于所以當n = 0, 1, 2, , L1時，由x(n)形成的序列為: x(0), x(1), , x(L1)。令n=0, m=0, 1,

2、 , L1， x(n-m)L形成x(n)的循環(huán)倒相序列為與序列x(n)進行對比，相當于將第一個序列值x(0)不動，將后面的序列反轉(zhuǎn)180再放在 x(0) 的后面。這樣形成的序列稱為x(n)的循環(huán)倒相序列。用矩陣計算循環(huán)卷積令n = 1, m = 0, 1, , L-1，由式（3.2.5）中x(n-m)L形成的序列為觀察上式等號右端序列，它相當于x(n)的循環(huán)倒相序列向右循環(huán)移一位，即向右移1位，移出區(qū)間0, L1的序列值再從左邊移進。再令n = 2, m = 0, 1, , L-1，此時得到的序列又是上面的序列向右循環(huán)移1位。依次類推，當n和m均從0變化到L-1時，得到一個關于x(nm)L的矩

3、陣如下： x(n)的L點“循環(huán)卷積矩陣”其特點是:（1） 第1行是序列x(0), x(1), , x(L1)的循環(huán)倒相序列。注意，如果x(n)的長度ML，則需要在x(n)末尾補LM個零后，再形成第一行的循環(huán)倒相序列。（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循環(huán)移1位形成的。（3） 矩陣的各主對角線上的序列值均相等?？梢栽谟嬎銠C上用矩陣相乘的方法計算兩個序列的循環(huán)卷積，這里關鍵是先形成循環(huán)卷積矩陣。上式中如果h(n)的長度NL，則需要在h(n)末尾補L-N個零?！纠?.2.1】 計算下面給出的兩個長度為4的序列h(n)與x(n)的4點和8點循環(huán)卷積。解 按照式（3.2.21）寫出h(n)與x(n)

4、的4點循環(huán)卷積矩陣形式為h(n)與x(n)的8點循環(huán)卷積矩陣形式為h(n)和x(n)及其4點和8點循環(huán)卷積結果分別如圖3.2.2(a)、(b)、(c)和(d)所示。請讀者計算驗證本例的8點循環(huán)卷積結果等于h(n)與x(n)的線性卷積結果。后面將證明，當循環(huán)卷積區(qū)間長度L大于等于y(n) = h(n)*x(n)的長度時，循環(huán)卷積結果就等于線性卷積。 圖3.2.2 序列及其循環(huán)卷積波形2.頻域卷積定理如果則或者其中四、復共軛序列的DFT則且證明：由X(k)隱含的周期性，有同樣可以證明五、DFT的共軛對稱性1.有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列有限長共軛對稱序列有限長共軛反對稱序列當N為偶數(shù)時，將上式中的n換成N/2-n，可得到共軛對稱與共軛反對稱序列示意圖：任何有限長序列x(n)都可以表示成其共軛對稱分量和共軛反對稱分量之和，即2.DFT的共軛對稱性(1)由DFT的線性性質(zhì)可得：其中(2)所以其中如果序列x(n)的DFT為X(k)，則x(n)的實部和虛部(包括j)的DFT分別為X(k)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量；而x(n)的共軛對稱分量和共軛反對稱分