31 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1、3-1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理1、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理對(duì)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)，有：質(zhì)點(diǎn)i受力對(duì)i求和有：因內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn)故該項(xiàng)為零1得：作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力矩的矢量和等于質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量的增量質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理22、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量定理virimii轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I因有：3質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量國(guó)際單位制中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位為千克米2（kgm2）3、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素：剛體的質(zhì)量轉(zhuǎn)軸的位置剛體的形狀 實(shí)質(zhì)上與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的只有前兩個(gè)因素。形狀即質(zhì)量分布，與轉(zhuǎn)軸的位置結(jié)合決定轉(zhuǎn)軸到每個(gè)質(zhì)元的矢徑。單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量連續(xù)分布的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量4質(zhì)量為線分布質(zhì)量

2、為面分布質(zhì)量為體分布其中、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布剛體對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。面分布5例1、求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心。解:I是可加的，所以若為薄圓筒（不計(jì)厚度）結(jié)果相同。ROdm注意只有對(duì)于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才能用積分計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量6例2、求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l 的均勻圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤(pán)平面垂直并通過(guò)盤(pán)心。解：取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán),可見(jiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與l無(wú)關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是mR2/2。7例3、求長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的均

3、勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)，dm=dx8平行軸定理前例中IC表示相對(duì)通過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量， IA表示相對(duì)通過(guò)棒端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。兩軸平行，相距L/2?？梢?jiàn)：推廣上述結(jié)論，若有任一軸與過(guò)質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，則有：IICmd2。這個(gè)結(jié)論稱為平行軸定理。9 右圖所示剛體對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何計(jì)算？(棒長(zhǎng)為L(zhǎng)、球半徑為R）101、力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)動(dòng)平面(2)轉(zhuǎn)動(dòng)平面(1)方向如圖任意方向的力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩二、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律11如果有幾個(gè)外力矩作用在剛體上積分得 力矩的大小等于力在作用點(diǎn)的切向分量與力的作用點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸Z

4、的距離的乘積。122、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它的角加速度與作用于剛體上的合外力矩成正比，與剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律可由牛頓第二定律直接導(dǎo)出 和 為合外力和合內(nèi)力13 將切向分量式兩邊同乘以r，變換得ZMdf dFOrdFddmdFn轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)定律vvvvvvz分解為作用在質(zhì)量元dm上的切向力和法向力：對(duì)等式左邊積分得到外力矩其中，14角加速度對(duì)所有質(zhì)量元都相等于是有所以其中寫(xiě)成矢量形式m反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性，I反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力矩是使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。MI 與地位相當(dāng)剛體繞定軸Z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(moment of

5、 inertia)15剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用例、一個(gè)質(zhì)量為、半徑為的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤(pán)）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體由靜止下落高度時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。mg16mg解：17例2 固定在一起的兩個(gè)同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對(duì)稱軸OO轉(zhuǎn)動(dòng)設(shè)大小圓柱體的半徑分別為R和r，質(zhì)量分別為M和m .繞在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體 m1和m2相連， m1和m2則掛在圓柱體的兩側(cè)，如圖3.12所示 設(shè)R0.20m，r=0.10m，m=4kg，M=10kg，m1=m2=2kg，h=2.0 ，求：圖3.12(1)柱體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度；(2)

6、兩側(cè)細(xì)繩的張力；(3) 開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到m1落地所需的時(shí)間. 18解 (1) ,和柱體的運(yùn)動(dòng)方程為圖3.12 式中 而 代入數(shù)據(jù)得19(2) 由式有 圖3.12由式有(3) 設(shè)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到 m1落地所需的時(shí)間為 t，20轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與角動(dòng)量的關(guān)系三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定律1、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方乘積的一半。212、力矩的功ZMdf dFOrdFddmdFn轉(zhuǎn)動(dòng)平面vvvvvvz式中對(duì)i求和，得：力矩的功率為：當(dāng)輸出功率一定時(shí),力矩與角速度成反比。223、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理當(dāng)=1時(shí)，=1 所以：合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理23例2、一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺角時(shí)的角加速度和角速度。解：棒下擺為加速過(guò)程，外力矩為重力對(duì)O的力矩。 棒上取質(zhì)元dm,當(dāng)棒處在下擺角時(shí)，該質(zhì)量元的重力對(duì)軸的元力矩為Ogdmdm24重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩為Ogdmdm代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律，可得25外力矩對(duì)系統(tǒng)的角沖量（沖量矩）等于角動(dòng)量的增量。四、剛體組對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定律外力對(duì)某軸的力矩之和為零，則該物體對(duì)同一軸的角