隨機(jī)過程習(xí)題答案

1、隨機(jī)過程部分習(xí)題答案習(xí)題 2 2.1 設(shè)隨機(jī)過程XtVtb,t0 ,b為常數(shù),V N0 1, ,求Xt的一維概率密度、 均值和相關(guān)函數(shù)；解 因 V N 1,0 ,所以 EV 0 DV 1,X t Vt b 也聽從正態(tài)分布,E X t E Vt b tEV b b2 2D X t D Vt b t DV t所以 X t N b , 2t ,X t 的一維概率密度為 x b 2f x ; t 1 e 2 t 2, x , ,t 0 , 2 t均值函數(shù) mX t E X t b相關(guān)函數(shù) RX s , t E X s X t E Vs b Vt b 2 2E stV bsV btV b 2st bYt

2、2.2 設(shè)隨機(jī)變量 Y 具有概率密度 f y ,令 X t e,t 0 Y 0,求隨機(jī)過程 X t 的一維概率密度及 EX t , R X t 1t 2 ；解 對于任意 t 0,X t e Yt是隨機(jī)變量 Y 的函數(shù)是隨機(jī)變量,依據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)的分布的求法,Y tF x ; t P X t x P e x P Yt ln x ln x ln x ln xP Y 1 P Y 1 F Y t t t對 x 求導(dǎo)得 X t 的一維概率密度f x ; t f Y ln x 1,t 0t xt均值函數(shù) m X t E X t E e Y t 0 e ytf y dy相關(guān)函數(shù)R Xt 1,t2E Xt 1

3、Xt2E eYt1eYt2E eYt1t20eyt1t2fy dy1 2.3 如從t0開頭每隔1秒拋擲一枚均勻的硬幣做試驗,定義隨機(jī)過程2 142X tcost,t 時刻拋得正面2 t,t 時刻拋得反面試求：（ 1）Xt的一維分布函數(shù)F1,x 和F ,1x ；2（2）Xt的二維分布函數(shù)F1;1,x 1x2；2（3）Xt的均值mX t,mX1 ,方差2 Xt,2 1 ；X解 （1）t1時,X1的分布列為22X10 1 2P 11220 ,x0一維分布函數(shù)F1,x 1,0 x122,1x1t1時,X 1 的分布列為X1 -1 2 P 1122,0 x1一維分布函數(shù)F ,1x1,1x22,1x2（2

4、）由于X1與 X1 相互獨立,所以X1,X 1 的分布列為22X 1 -1 X 1/2 0 142 1 1121440,x 10 或x2二維分布函數(shù)F1;1,x 1,x 21,0 x 1,11x2421,0 x 1,1x22或x 11 ,1x22221 ,x 11 ,x2（3）mXt1cost12t1costt22212t21 2costt2mX 1 122tEX2tEXt21cos2tX221cos2t2 t21cos2tt2tcost241cos2tt2tcost41costt222 1 9X為常數(shù),A,B是相互獨立且聽從正態(tài)分布42.4 設(shè)有隨機(jī)過程XtAcostBsint,其中N0,2

5、的隨機(jī)變量,求隨機(jī)過程的均值和相關(guān)函數(shù)；解 因A,B獨立,AN0,2,BN0 ,2所以,EAEB0,DA DB2均值mXtEXtE AcostBsintcostEAsintEB0相關(guān)函數(shù)RXt1,t2EXt1Xt2EAcostt12Bsint1Acost2Bsint21EA2cost1cost2B2sint1sin2ABcost1sint2ABcost2sintcost1cost2EA2sint1sint2EB2cost1cost2sint1sint23 2cost1t2t為 普 通 函 數(shù) , 令2.5 已 知 隨 機(jī) 過 程Xt的 均 值 函 數(shù)mXt和 協(xié) 方 差 函 數(shù)B Xt1,t2

6、,YtXtt,求隨機(jī)過程Yt均值和協(xié)方差函數(shù)；tt解均值m YtEYtE XttEXttmX協(xié)方差CYt1,t2R Yt1,t2m Yt1m Yt2mXt2t2E Yt1Yt2m Yt1m Yt2EXt1t1Xt2t2mX t1t1E X t1Xt2mXt1mXt2其它項都約掉了上聽從均勻分布,令R Xt1,t2mXt1mXt2C Xt1t22.6 設(shè)隨機(jī)過程X tAsint,其中A ,是常數(shù),在,YtX2 t,求RY t和RXY t；cos2t22解RYt,tE YtY tEX2tX2tEA2sin2tA2sin2tA2E 1cos 2t2 1cos2t224A2E1cos2t2cos 2t

7、22cos2t24而E cos 2t21cos 2t2d1sin2t2024同理Ecos2t220利用三角積化和差公式Ecos 2t2cos2tt221Ecos 2cos 42424 1cos 222所以,RY t , t A 1 1 cos 2 4 2RXY t , t E X t Y t E X t X 2 t 2 2E A sin t A sin t 3AE sin t 1 cos 2 t 2 2 23AE sin t sin t cos 2 t 2 2 23AE 2 sin t sin t 2 sin 3 t 2 3 4而 E 2 sin t 1 sin t d 0同理 E sin t

8、 2 0 , E sin 3 t 2 3 0所以,RXY t 022.7 設(shè)隨機(jī)過程 X t X Yt Zt,其中 X , Y , Z 是相互獨立的隨機(jī)變量,且具有均值為零,方差為 1,求隨機(jī)過程 X t 的協(xié)方差函數(shù)；解 依據(jù)題意,EX EY EZ 0 , DX EX 2DY EY 2DZ EZ 2 12 2m X t E X t E X Yt Zt EX tEY t EZ 0C X t 1 , t 2 E X t 1 m X t 1 X t 2 m X t 2 2 2E X t 1 X t 2 E X Yt 1 Zt 1 X Yt 2 Zt 2 因 X , Y , Z 相互獨立,均值為零,

9、所以上面交叉乘積項數(shù)學(xué)期望為零2 2 2 2 2 2 2EX t 1 t 2 EY t 1 t 2 EZ 1 t 1 t 2 t 1 t 22.8 設(shè) X t 為實隨機(jī)過程,x 為任意實數(shù),令,1 X t xY t 0 , X t x5 證明隨機(jī)過程Yt的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)分別為Xt的一維和二維分布函數(shù)；ftY,求證明mYtEYt1P Xtx 0PXtx P Xtx FXx;tYt1,Yt2的取值為1,1 ,1 0,0 1, ,0,0RYt1,t2EYt1 Yt211P X t1x1,Xt2x210P Xt1x 1,Xt2x201P Xt1x 1,Xt2x200PXt1x 1,Xt2x2P X

10、t1x 1,Xt2x2FXx1,x2;t1,t22.9 設(shè)ft是一個周期為T 的周期函數(shù),隨機(jī)變量Y 在（ 0,T）上均勻分布,令Xt證隨機(jī)過程Xt中意E X tX t1Tftf tdt0T證明 Y 的密度函數(shù)為fYy 1,y 0 ,TT0 ,其它EXtXtEftYftYfty ftyfYy dytyu1Ttf ty fty dy0T1Tf uf udut0,Tt1ttTfuf uduT1Tf uf u du0T2.13 設(shè)Xt,t0 是正交增量過程,X0,0V是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量,如對任意的Xt與V相互獨立,令YtXtV,求隨機(jī)過程Yt,t0 的協(xié)方差函數(shù)；6 解 因Xt是正交增量過程,V N

11、1,0 ,所以EXt0 ,EV0 ,D V1,有mYEYtEXtVEXtEV0CYt1,t2EYt1m Yt1Yt2m Yt2E Yt1Yt2EXt1VXt2VE Xt1Xt2EV2EXt1 VE Xt2 V（因Xt與V獨立,E Xt0,EV0）E Xt1Xt2EV22mint1,t21（利用正交增量過程的結(jié)論）X習(xí)題 4 4.1 設(shè)質(zhì)點在區(qū)間 0 ,4的整數(shù)點做隨機(jī)游動,到達(dá) 0 點或 4 點后以概率 1 停留在原處,在其它整數(shù)點分別以概率 1 向左、向右移動一格或停留在原處,求質(zhì)點隨機(jī)游動的一步和二步轉(zhuǎn)移概率矩陣；3解 轉(zhuǎn)移概率如圖一步概率轉(zhuǎn)移矩陣為P1 10 10 1000033 13

12、110033 13 10103 03 03 100二步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P21 10 10 1001 10 10 1001 40 20 20 100000033 13 133 13 19 19 29 39 2101010033 13 133 13 199 19 29 29 411000003 03 03 13 03 03 19 09 09 09 1000007 4.2 獨立地重復(fù)拋擲一枚硬幣,每次拋擲顯現(xiàn)正面的概率為 p ,對于 n 2,令 X n 0 ,1, 2 或 3,這些值分別對應(yīng)于第 n-1 次和第 n 次拋擲的結(jié)果為（正,正） ,（正,反）,（反,正）,（反,反）,求馬爾可夫鏈 X n

13、, n 0 ,1, 2 , 的一步和二步轉(zhuǎn)移概率矩陣；解 對應(yīng)狀態(tài)為 0 正,正）,1（正,反）, 2（反,正）, 3（反,反）p 00 P 正,正）（正,正）p,p 01 P 正,反）（正,正）qp 0 2 P 反,正）（正,正） 0（不行能大事）p 0 3 P 反,反）（正,正） 0（不行能大事）同理可得下面概率p 10P 正,正）（正,反）0,p 11P 正,反）（正,反）0p 12P 反,正）（正,反）p,p 13P 反,反）（正,反）qp 20P 正,正）（反,正）p,p 21P 正,反）（反,正）qp 22P 反,正）（反,正）0,p23P 反,反）（反,正）0p 30P 正,正）

14、（反,反）0,p31P 正,反）（反,反）0p 32P 反,正）（反,反）p,p 33P 反,反）（反,反）q一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為Ppq0000pqpq0000pq二步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P2pq1 00pq00p2pqpqq2002pq00pqp2pqpqqpq200pq00p2pqpqq4.4 設(shè)00pq00pqp2pqpqq2X n,n為有限齊次馬爾可夫鏈,其初始分布和轉(zhuǎn)移概率矩陣為piP X0i1,i,1 ,2 4,348 1111X14p 23p3433p3p33p34p4p43p344 14 14 14 1P4 14 14 14 34 18 14 18 14444試證P X24X01,1X

15、14P X24 1解 依據(jù)條件概率的定義及馬爾可夫鏈的有限維分布的結(jié)論定理4.3,有P X24X01,1X14 P X01,1X14 ,X24 P X01 1,X14 P X0,1X12,X24 P X0,1X1,3X24 P X0,1X12 P X0,1X13p 1p 12p 24p 1p 13p 3411111344 14 14 14 185p 1p 12p 1p 13164444同理有P X24 1X14P1X14 ,X24 P 1X14 p 1p13p34p2p X12,X24 P X1,3X24 P X12 pX13 p 1p12p24p 2p22p24p3p32p24p4p42p2

16、4p 1p 12p2p22p3p32p4p42p1p 13p2p23p3p1p4p431131111111111111131131344444 14 14 18 14 14 14 14 14 14 18 14 14 18 14 14 184484444484444444444712128 7128 83219191281560X143232所以,P X24X01,1X14 P X2414.5 設(shè)Xt,tT為隨機(jī)過程,且X1Xt1,X2Xt2,XnXtn,9 為獨立同分布隨機(jī)變量序列,令Y 00,Y 1Yt1X1,Y ncY n1Xn,n2Y nin即可；,是試證：Yn,n0是馬爾可夫鏈；P Y

17、 n1in1證明 只要證明Yn,n0 中意無后效性,即P Y n1in1Y 0,0Y 1i1, Y nin依據(jù)題意,Y nXnCY n1,由此知Y是X1,X2,Xn的函數(shù),由于X1,X2,Xn相互獨立的隨機(jī)變量,所以,對任意的n,Xn1與Y 0,Y 1,Y 2,Y n,相互獨立；從而P Y n1in1Y 0,0Y 1i1,Y nini 1,Y nin（因Y nin）P Y n1CY nin1CinY 00 ,Y 1P Xn1in1CinY 0,0Y 1i1,Y nin,Y n,獨立,條件概率等于無條件概率）P Xn1in1Cin（因Xn1與Y 0,Y 1,Y 2,P Xn1Cinin1Y ni

18、nP Y n1in1Y nin4.6 已知隨機(jī)游動的轉(zhuǎn)移概率矩陣為0 .505.00,P X0310 .50 .25P005.0.50 .500.5求三步轉(zhuǎn)移概率矩陣P3 及起初始分布為P X01P X02 時,經(jīng)三步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)3 的概率；0 .500 .2505.0 .500 .5解P200 .50.500 .505.0 .250. 2505.05.00.50 .5005.0.50. 250 .250. 250.50. 250.505.00 . 250.3750. 375P3 0. 250. 250 .5005.05.0.3750 .250. 3750 .50. 250. 250.500

19、5.0.3750.3750 .2510 PT3 p 30010 .250 .3750 .3750. 3750. 3750.250. 3750. 250 .375所以,3 0 .250. 3750 .3750. 254.7 已知本月銷售狀態(tài)的初始分布和轉(zhuǎn)移概率矩陣如下（1）PT00 .40, .,20 .4 ,P08.0.101.0 .10.10.107.0 .20.202.0 .60.70 .1（2）PT00 .,20.2 ,03.,0 .3 ,P01.0 .60 .20.101.0 .10 .60.201.0 .10 .20.6求下一、二個月的銷售狀態(tài)；解 （1）0 .80 1.0.10.

20、260. 32PT 1 PT0 P0.40.20.40 .10.702.0. 42（P2）0. 2880.2860 .20.206.08.0.10.108.01.0.10.670.170.160.107.02.0.107.0.20.190.540.2702.02.06.0.202.0.60.30.280.42PT20.670.170.16PT0（P2）0.40.20.40.190.540.270.4260.30.280.4207.0 .10 .10 1.（2）PT 1 PT0P0 .20 .20.303.0.10 .60 .20 1.0.10 .10 .60.20.170.160.10 .10

21、 .20.60.220 .20.30.280 7.01.01.01.0.70.101.01.0.520.15（P2）0 .106.02.01.0.106.02.01.0.160.40.270.170 .101.06.0.20.10.106.02.0.160.150.430.260 .101.02.0.60.10.102.06.0.160.150.270.4211 0.52 0.15 0.17 0.16T T（2）0.16 0.4 0.27 0.17P 2 P 0 P 0 2. , 0 2. , 0 3. , 0 . 3 0.16 0.15 0.43 0.260.16 0.15 0.27 0.4

22、20.232 0.2 0.298 0.274.8 某商品六年共 24 個季度銷售記錄如下表（狀態(tài) 1暢銷,狀態(tài) 2滯銷）季節(jié) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 銷售狀態(tài) 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 季節(jié) 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 銷售狀態(tài) 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 以頻率估量概率,求（1）銷售狀態(tài)的初始分布, （ 2）三步轉(zhuǎn)移概率矩陣及三步轉(zhuǎn)移后的銷售狀態(tài)的分布；解 狀態(tài) 1 的個數(shù)為 15 個,狀態(tài) 2 的個數(shù)為 9 個（1）所以,銷售狀態(tài)的初始分布為PT01590. 6250.275

23、2424（2）求一步轉(zhuǎn)移概率狀態(tài)11 共有 7 個,狀態(tài)12共有 7 個,217,p222狀態(tài)21共有 7 個,狀態(tài)22共有 2 個,所以,p 1171,p1271,p14214299一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P2111,111117111223132 72 2199P2 72 12 29 72 72 12 29 236 9136 712 72 22 72 2999992999299162162三步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P323231311269 23892590 . 6.0436 9136 712 72 2162162991372372 9136 719 772 9136 71648 1813648 110

24、30 . 620 . 383241629324162929162916三步轉(zhuǎn)移后的銷售狀態(tài)分布為12 PT 3 T P（0 P3）0.6250.3750.60.40.610.391 隨機(jī)通過任一 k0.620.384.9 設(shè)老鼠在如以下圖的迷宮中作隨機(jī)游動,當(dāng)它處在某個方格中有k 條通道時,以概率通道,求老鼠作隨機(jī)游動的狀態(tài)空間、轉(zhuǎn)移概率矩陣；解 狀態(tài)空間為I,12 ,39, 轉(zhuǎn)移概率矩陣為010000010110022110002 02 0010001001100022111003 03 03 001習(xí)題 6 6.1 設(shè)有隨機(jī)過程Xtcost,其中t0 為常數(shù),是在區(qū)間0 ,2上聽從均勻分布

25、的隨機(jī)變量,問X0t是否為平穩(wěn)過程；1d2 0cos解EXtE cost2RXt,tEXtXttE coscost2costcost1d0213 1 24 0 cos cos 2 t 2 d1cos,與 t 無關(guān)2E X t 2R X 0 12所以 X t 是平穩(wěn)過程；6.2 設(shè)有隨機(jī)過程 X t A cos t ,其中 A 是均值為零、方差為 2 的正態(tài)隨機(jī)變量,求：（1）X 1 和 X 1 的概率密度；4（2）X t 是否為平穩(wěn)過程；解 （1）因正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)仍為正態(tài)隨機(jī)變量,對任意 t,X t 聽從正態(tài)分布；1 2X 1 A , X A,4 22E X 1 E A 0 , D X

26、 1 D A DA21 2 1 2 1E X E A 0 , D X D A DA4 2 4 2 2 2所以 X 1 的概率密度為x 2f ;1 x 1 e 2 2,x2X 1 的概率密度為4x 2f 1 ; x 1 e 2,x4（2）RX t , t E A cos t A cos t 2 2cos t cos t E A cos t cos t ,與 t 有關(guān)所以,X t 不是平穩(wěn)過程；6.3 設(shè)有隨機(jī)過程 X t A cos t ,其中 A 是聽從瑞利分布的隨機(jī)變量,其概率密度為14 fxxexpx22,x0為常數(shù),問Xt是否為平穩(wěn)過程；220 ,x0是在0 ,2上聽從均勻分布且與A相互

27、獨立的隨機(jī)變量,解 先求出瑞利分布A的數(shù)學(xué)期望和2 A的數(shù)學(xué)期望,x22EA0 xxexpx22dx0 xexpx22d22220 xdexpx222xexpx2200expx22dx221expx22dx2212ex22dx2222222dx220 x22expx 222dx22EA20 x2xexpx222222令yx22220yeydy22E costt2EAE XtEAcost22cost1d00AcostAcos2E RXt,tEXtXtEA2E costAcost221E coscos 2t2221d22coscos 2t022cos與 t 無關(guān)15 2 2E X t R X 0

28、所以,X t 是平穩(wěn)過程；6.4 設(shè)有隨機(jī)過程 X t f t ,其中 f x 是周期為 T 的實值連續(xù)函數(shù),是在（ 0, T）上聽從均勻分布的隨機(jī)變量,證明 X t 是平穩(wěn)過程并求相關(guān)函數(shù) R X ；解 E X t 0 Tf t T 1 d 令 t yT 1t t Tf y dyT 10 Tf y dy,為常數(shù)T 1R X t , t E X t X t 0 f t f t T d1 t T 1 TT t f y f y dyT 0 f y f y dy, 與 t 無關(guān)E X t 2R X 0 T 10 Tf 2 y dy所以,X t 是平穩(wěn)過程；R X T 10 Tf y f y dy6.

29、5 設(shè) X t 和 Y t 是平穩(wěn)過程, 且相互獨立, 求 Z t X t Y t 的相關(guān)函數(shù),Z t 是否為平穩(wěn)過程；解 因 X t 和 Y t 是平穩(wěn)過程,它們的均值是常數(shù)、相關(guān)函數(shù)與 t 無關(guān)是 的函數(shù),又相互獨立；所以,E Z t E X t Y t E X t E Y t m Xm Y 是常數(shù)RZ t , t E X t Y t X t Y t E X t X t Y t Y t E X t X t E Y t Y t R X R Y 與 t 無關(guān)2E Z t R Z 0 R X 0 R Y 0 所以,Z t 是平穩(wěn)過程；6.13 設(shè) 正 態(tài) 隨 機(jī) 過 程 具 有 均 值 為 零

30、, 相 關(guān) 函 數(shù) 為 RX 6 e 2, 求 給 定 t 時 的 隨 機(jī) 變 量X t , X t 1 , X t 2 , X t 3 的協(xié)方差矩陣；解 因 X t 是正態(tài)過程,且均值為零,相關(guān)函數(shù) RX 6 e 2 與 t 無關(guān),所以 X t 是平穩(wěn)過程,就16 對任意給定的t,Xt,Xt1 ,Xt22,Xt3 聽從正態(tài)分布,CovXt,XtCX t,t,1,023,R Xt,t2 m XR X6 e1所以,CXt,tRX06,CXt,t1 R X1 6e2,3CXt,t2tRX2t6e1,CXt,t3 RX36 e2同理CovX1 ,XCXt1 ,t1RXt,1tm X 2R X16 e

31、2,0 ,1,2 ,3所以,C Xt1 ,t6e1,C Xt,1t1 6,C Xt,1t26 e1,C Xt1 ,t3 6e1222Cov Xtt2 ,X ttCX t2 ,t6 e6 e2,t0,1,23,t2 ,t3 6e11C Xt2,6 e1,C X2 ,t1 2,C Xt2,26,C X23Cov Xtt3 ,X ttCX t,3t616 e2,t0,1,2 ,31,C Xt,3t363C Xt3 ,6 e2,C X3,t1 e,C Xt3 ,2 6e2所以協(xié)方差矩陣為CX t,tCX t,t1CX t,t2 CX t,t3 其中CX t,1tCX t,1t1CX t,1t2 CX

32、t,1t3 CX t2 ,tCX t2 ,t1CX t,2t2 CX t,2t3 CX t,3tCX t,3t1CX t,3t2 CX t,3t313616e26 e16e216e2616 e26 e116e16e2616e236e26e16 e266.15 設(shè)隨機(jī)過程Xtacost和Ytbsint是單獨且聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程,a,b ,為常數(shù),是在0 ,上聽從均勻分布的隨機(jī)變量,求R XY和R YX；解RXYEXt YtEacostbsint17 ab 2E sinsin2ttab21dabsinab 2 ab 20sinsin 22sinR YXsin因RXY所以R YXR XY22習(xí)題 7

33、7.2 設(shè)平穩(wěn)過程Xt的相關(guān)函數(shù)R Xea,求Xt的譜密度；,上聽從均勻分布的隨解SXRXejdeaejd0 eajd0eajda1jeaj0a1jeaj0112aajaja227.3 設(shè)有平穩(wěn)過程Xtacos0t,其中a ,0為常數(shù),是在機(jī)變量,求Xt的譜密度；解的概率密度為f1,20 ,其它RXEXtXtE acos0tacos0t0a2cos0tcos0t01d2a2cos0cos 20t02d4a2cos02S XRXejda2cos0ejd218 a2ej0ej0ejdcoscos 3,求譜密度SX；T；4a2ej0ej0d4a2202047.4 已知平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)RX4 e解S

34、XRXejd4ecoscos 3ejd02 eejejejd02 eejej ejdcos 3 ejd02e 1je 1jd02e1je1j d21j11j12 1cos 3ejdj11j1411211233337.6 當(dāng)平穩(wěn)過程通過如以下圖的系統(tǒng)時,證明輸出Yt的譜密度為S Y2S X 1cos證明RYEYt YtEXtXtTXtXtTE XtXteXtTXtTTXXtXtRTXteTXt2RXRXTRXS YR Yjdej2RXR XTXTjd2 SXR XTdRTejd19 j T j T2 S X S X e S X e2 SX 1 cos T 27.7 已知平穩(wěn)過程 X t 的譜密度

35、為 SX c , 0 2 0,求相關(guān)函數(shù) R X ；0 , 其它解 R X 1S X e jd 1 2 0c 2 cos d2 02 2c 2 0 csin 0 sin 2 0 sin 0 7.8 設(shè)有平穩(wěn)過程 X t a cos t ,其中 a 為常數(shù),是在 ,0 2 上聽從均勻分布的隨機(jī)變量,是分布密度中意 f f 的隨機(jī)變量,且 與 相互獨立,求證 X t 的譜密度為SX a 2 f ；證明 設(shè) f , 是 和 的聯(lián)合分布密度,因 和 相互獨立,所以f , 1 f , 0 22RX E X t X t E a cos t a cos t 2a cos t cos t f , d da 2

36、 22 f d 0 cos t cos t da 2 2 12 f d 0 2 cos cos 2 t 2 d2af cos d22af cos d j f sin d22a jf e d（因 f 為偶函數(shù),f sin d =0）2又 R X 1 S X e jd220 比較上面兩式,a2f1SXReS YX,22所以,SXa2 f7.9 設(shè)Xt和Yt是 單 獨 且 聯(lián) 合 平 穩(wěn) 的 隨 機(jī) 過 程 , 試 證 ：ReSXYImSXYImS YX；ta ,證明 只要證明SXYS YX即可,由相互關(guān)函數(shù)的性質(zhì)RXYR YXS XYRXYejdR YX ejdR YX ejdR YX s ejsdsS YX7.10 設(shè)Xt為平穩(wěn)過程,令YtXtaXta , a 為常數(shù),試證S Y4SX