關(guān)于線性代數(shù)與空間解析幾何課程教學(xué)的幾點(diǎn)思考課件

1、關(guān)于線性代數(shù)與空間解析幾何課程教學(xué)的幾點(diǎn)思考游宏哈爾濱工業(yè)大學(xué)（2006年7月22日于吉林大學(xué)）一、課程的歷史沿革與現(xiàn)狀 二十世紀(jì)五、六十年代，我國(guó)工科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程統(tǒng)稱為高等數(shù)學(xué)，以微積分教學(xué)為主，線性代數(shù)在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中僅占一小部分。當(dāng)時(shí)僅介紹行列式與線性方程組求解；解析幾何內(nèi)容則相對(duì)豐富，幾何向量、空間直線與平面、極坐標(biāo)、二次曲面等通常放在微積分前講授。 文革后，由于科學(xué)技術(shù)，特別是計(jì)算機(jī)與信息科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，我國(guó)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的理念逐漸發(fā)生了變化。從七十年代末、八十年代初開始，一些大學(xué)的工科數(shù)學(xué)教學(xué)增添了線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容。但初期的做法，是把線性代數(shù)放在工程數(shù)學(xué)中講授的。 大約在八十年代

2、中后期，一些大學(xué)把線性代數(shù)獨(dú)立出來(lái)，成為工科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的一門獨(dú)立課程。一、課程的歷史沿革與現(xiàn)狀 進(jìn)入二十世紀(jì)九十年代，在多數(shù)重點(diǎn)大學(xué)中，線性代數(shù)成為工科數(shù)學(xué)教學(xué)的三門主要課程之一。 九十年代中后期，一些大學(xué)又將空間解析幾何內(nèi)容從微積分教學(xué)中剝離出來(lái)，與線性代數(shù)融匯在一起，組成線性代數(shù)與空間解析幾何課程，目前已有越來(lái)越多的大學(xué)實(shí)踐這一做法。 近三十年來(lái)，線性代數(shù)課程教學(xué)發(fā)生了兩次較大的改革。 但是，該課程的教學(xué)在各大專院校中是不平衡的，重視程度差異較大。以教學(xué)時(shí)數(shù)來(lái)看：少則1624學(xué)時(shí)（不含解析幾何），多則6090學(xué)時(shí)（含解析幾何），解析幾何部分一般為1420學(xué)時(shí)。二、教學(xué)基本要求 二十世紀(jì)九十

3、年代初，教育部高等教育司委托當(dāng)時(shí)的教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)對(duì)高等學(xué)?；A(chǔ)課程教學(xué)基本要求作了修訂，修訂文件于1995下發(fā)（以下簡(jiǎn)稱95年修訂稿）。 95年修訂稿中將線性代數(shù)作為高等學(xué)校工科數(shù)學(xué)教學(xué)的主要課程，明確了該課程的基本內(nèi)涵，包括六個(gè)教學(xué)主要內(nèi)容（對(duì)多數(shù)工科專業(yè)而言）。 從2003年開始，教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)受教育部高教司委托又對(duì)1995年教學(xué)基本要求的修訂稿再次修訂，線性代數(shù)與空間解析幾何在此次修訂中是作為一門課程寫入教學(xué)基本要求中，但并不要求所有學(xué)校都將線性代數(shù)和空間解析幾何融匯為一門課程，各?？梢杂凶约旱莫?dú)立性。二、教學(xué)基本要求 空間解析幾何部分與1995年的修訂稿相比，基本沒(méi)有變動(dòng)，僅增加了一條

4、帶“*”號(hào)的條目：了解二次曲面的分類。 帶“*”號(hào)的條目是為有需要或有條件的學(xué)?；?qū)I(yè)選用的。 線性代數(shù)部分變動(dòng)較多一些，行列式、矩陣、線性方程組的有關(guān)要求變動(dòng)不大，只是將過(guò)去對(duì)某些知識(shí)僅要求“了解”、“會(huì)”提升為“理解”與“掌握”。 n維向量與向量空間部分有四處變化： （a）將內(nèi)積概念，施密特標(biāo)準(zhǔn)正交化方法從95年修訂稿中的矩陣的特征值與特征向量部分移至向量空間部分; （b）增添了“了解線性變換的概念及其矩陣表示”的條目；（c）增添了帶“*”號(hào)的條目“了解基變換公式和坐標(biāo)變換公式，會(huì)求過(guò)渡矩陣”;（d）對(duì)會(huì)求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組及秩提出了要求。 矩陣的特征值與特征向量部分的改動(dòng)不大，只是一

5、部分內(nèi)容移至向量空間部分。 實(shí)二次型部分，增添的內(nèi)容有兩處： (a) 了解合同變換與合同矩陣的概念； (b) 了解慣性定理（對(duì)定理證明不作要求）和實(shí)二次型的規(guī)范形。 基本要求并不是法典，僅對(duì)大學(xué)的工科數(shù)學(xué)教學(xué)起指導(dǎo)作用，在一定意義上講，“要求”可以說(shuō)是最低要求，基本要求不應(yīng)訂得過(guò)高，應(yīng)具有普適性，時(shí)代性與指導(dǎo)性。三、教學(xué)內(nèi)容的組合 國(guó)內(nèi)外教材的比較 由于國(guó)內(nèi)、國(guó)外有關(guān)的教材很多，不易作全面的比較，只能將常見(jiàn)的國(guó)內(nèi)、外（主要是美國(guó)的）教材作一下比較。 國(guó)內(nèi)教材較多見(jiàn)的內(nèi)容安排為： 行列式矩陣n維向量及向量空間線性方程組 特征值與特征向量（相似、對(duì)角化) 二次型（1）。 如把空間解析幾何內(nèi)容加入的

6、話，則在矩陣后介紹幾何向量（包括內(nèi)積、叉積、混合積、直線、平面方程等）二次型后講授空間曲面。 有的教材還含線性變換的內(nèi)容，一般放在向量空間后或二次型后。 見(jiàn)到的一些美國(guó)教材內(nèi)容安排如下： 線性方程組與矩陣實(shí)向量空間n維向量與向量空間線性變換（與矩陣） 特征值與特征向量行列式實(shí)二次型一些應(yīng)用 （2） 美國(guó)的大學(xué)對(duì)一、二年級(jí)學(xué)生不分專業(yè)（通才教育）。總的講，他們用于一、二年級(jí)大學(xué)生的線性代數(shù)教材比我們的要淺，線性方程組的內(nèi)容中不講AX=0的解空間與基礎(chǔ)解系，但比較注重計(jì)算，有的還提供算法，計(jì)算程序等。 國(guó)內(nèi)目前也出現(xiàn)少數(shù)教材，在內(nèi)容安排上先介紹一點(diǎn)線性方程組的解法，即： 線性方程組的消元法矩陣行列

7、式（含矩陣的秩、逆陣等） n維向量與方程組的解的結(jié)構(gòu)特征值與特征向量（相似、對(duì)角化) 二次型 （3）三、教學(xué)內(nèi)容的組合一點(diǎn)看法： 上面列出的三種內(nèi)容組合方法各有特色（1）是比較傳統(tǒng)的內(nèi)容安排方法 優(yōu)點(diǎn)：基本概念與工具預(yù)先交待，為后續(xù)內(nèi)容作了鋪墊，如先講了行列式，可定義矩陣的秩，介紹可逆矩陣的逆矩陣的一種求法及某些性質(zhì)，特殊線性方程組的解法（Cramer法則），為向量組線性相關(guān)性的判定提供了某些方法，有利于定義矩陣的特征多項(xiàng)式等。 不足：初學(xué)者對(duì)行列式定義不大好理解，概念性較強(qiáng)，不很自然。另外，對(duì)初學(xué)者來(lái)講，在學(xué)習(xí)的初始階段，沒(méi)有接觸線性代數(shù)的核心內(nèi)容。（2）的內(nèi)容安排比較適合于一般大學(xué) 優(yōu)點(diǎn)：

8、始終圍繞線性代數(shù)的核心內(nèi)容，學(xué)習(xí)比較自然，例子、算法、應(yīng)用較多，利于工科專業(yè)學(xué)生的學(xué)習(xí)。 不足之處是內(nèi)容淺了一點(diǎn)，某些部分低于教學(xué)基本要求。（3）的內(nèi)容安排比較好一些 線性代數(shù)中許多概念的引入都與線性方程組有關(guān)，如初等變換的背景是線性方程的消元法，因而先介紹一點(diǎn)有關(guān)線性方程組的知識(shí)有利于矩陣、向量組的相關(guān)性、及行列式概念的引入與理解。而矩陣的概念、運(yùn)算及一些性質(zhì)在行列式前講授，可較好地反映出行列式是n階方陣集合到其所在數(shù)域上的映射的本質(zhì)。 當(dāng)然上述這些內(nèi)容都是互相交錯(cuò)的，我中有你，你中有我，很難說(shuō)清哪一種組合方式最好，可依據(jù)情況而定。四、線性代數(shù)的主線與核心 線性代數(shù)起源之一是解線性方程組。線

9、性方程組幾乎是作為一條主線貫穿于線性代數(shù)，即使是解析幾何，直線、平面方程都是線性的，平面位置關(guān)系的確定也與線性方程組解的結(jié)構(gòu)理論相關(guān)。至于代數(shù)，幾乎所有內(nèi)容都與線性方程組相關(guān)，如：（1）向量組的線性相關(guān)性 從解線性方程組的角度看，背景是去掉多余的方程。（2）矩陣 抽去方程組中的未知量與運(yùn)算符號(hào)，即為矩陣。線性方程組的矩陣表達(dá)式： ，其中， ， 為系數(shù)矩陣， 為常數(shù)項(xiàng)矩陣。 （3）行列式 Cramer法則，用于解特殊的線性方程組及用于研究線性方程組的解的結(jié)構(gòu)。（4）特征值與特征向量 求屬于某一特征值的特征向量。（5）二次型 用于證明慣性定理。 不一一列舉 線性代數(shù)的核心在于矩陣的對(duì)角化（可理解的

10、廣一些，包括上三角化），主要手段：初等變換。 行列式計(jì)算，解線性方程組，求矩陣的秩等都是用初等變換將行列式或矩陣化為對(duì)角形或上三角形（含階梯型）。矩陣相似的標(biāo)準(zhǔn)形，實(shí)對(duì)稱陣正交相似或合同于對(duì)角陣，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，二次曲面的主軸化等都離不開“對(duì)角化”。 上述性質(zhì)稱為行列式的“交錯(cuò)”性。 若再定義 ，那么行列式上述三個(gè)性質(zhì)與此定義就等價(jià)于我們教材中的一般的行列式定義。 對(duì)行列式的行（列）作“消法變換不改變行列式”及“依行（列）展開”都是前三個(gè)性質(zhì)的推論。不過(guò)這兩個(gè)性質(zhì)在行列式計(jì)算中最常使用。 作為教師應(yīng)了解行列式定義與其性質(zhì)間的本質(zhì)關(guān)系。 行列式計(jì)算 行列式計(jì)算技巧性較強(qiáng)，可以歸納出很多方法，如

11、簡(jiǎn)化、變形、降階、遞歸、公式法、輔助函數(shù)法等，但核心是運(yùn)用行列式的性質(zhì)將行列式向上（下）三角形行列式轉(zhuǎn)化。對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，不必追求技巧性較高的行列式的計(jì)算，掌握一般的行列式計(jì)算方法即可。 2、矩陣 矩陣的運(yùn)算 矩陣運(yùn)算的難點(diǎn)在矩陣乘法，應(yīng)加大練習(xí)使學(xué)生熟練掌握乘法運(yùn)算律。另外，矩陣乘法不滿足交換律，即AB未必等于BA。消去律一般不成立，即AB=AC,未必有B=C。 可逆矩陣 定義可逆矩陣時(shí)，不能只要求 而不要求 因矩陣乘法不滿足交換律，但判斷方陣A是否可逆時(shí)，只要有方陣B使得 即可，但這應(yīng)在證明了可逆矩陣的唯一性即可逆陣的行列式不為0之后方可這樣做。 方陣ABBA，但可有 矩陣的等價(jià) 若

12、mn矩陣A可經(jīng)有限次初等變換化為B，則稱B與A等價(jià)。每一mn矩陣A等價(jià)于 （等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形），這里r=rank(A)。A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形中 r 的大小由A本身所唯一確定。 3、向量組的線性相關(guān)性 如何引入n維向量組的線性相關(guān)性 n維向量組的線性相關(guān)性有些抽象，初學(xué)者不大好理解，原因之一是缺少背景材料。“平面（2維空間）上兩個(gè)向量線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們成比例”可能是初學(xué)者僅有的實(shí)感，將解析幾何融入進(jìn)來(lái)，有利于提供更多的實(shí)例。（）3維空間中三個(gè)向量 共面的充要條件是存在不全為零的實(shí)數(shù) k、l、m ，使得 ，這一結(jié)論用幾何圖解即可證明。 若 是3維空間中不共面的三個(gè)向量，則對(duì)任一向量 ，存在唯一的一組實(shí)數(shù) k

13、、l、m ，使得： 。這一結(jié)論用平行六面體圖解即可證明。 （）若先介紹線性方程組及Guass消元法，被消去的多余的方程的系數(shù)組成的向量與未被消去的方程的系數(shù)組成的向量組線性相關(guān)。 教學(xué)中應(yīng)注意學(xué)生在理解向量組線性相關(guān)性時(shí)易出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤，如：（）若 可由 線性表示，則存在不全為零的數(shù) 使 （）若 線性相關(guān)且數(shù) 滿足 則 不全為零，等等。 糾正這樣錯(cuò)誤時(shí)，應(yīng)舉一些反例，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生自己舉反例。 向量組等價(jià)與矩陣等價(jià)。由于矩陣的秩等于其行（列）向量組的秩，因而初學(xué)者常誤認(rèn)為判斷兩個(gè)向量組是否等價(jià)可通過(guò)由這兩組向量分別組成的矩陣是否等價(jià)來(lái)實(shí)現(xiàn)，這是錯(cuò)誤的，如： ， ， 與 不等價(jià)，但矩陣 與 等價(jià)。

14、 4、線性方程組線性方程組的不同形式的表達(dá)式 （*） 可寫成 , 其中A為（*）的系數(shù)矩陣， 即矩陣表達(dá)式。也可寫成 , 其中 為A的第 i 列，即方程組的向量表達(dá)式。 矩陣表達(dá)式因用途廣，教學(xué)中都會(huì)講清，但向量表達(dá)式 常被忽略或較少提及。不過(guò)，向量表達(dá)式常可將向量組問(wèn)題與線性方程組問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化，如：例1：已知4階方陣 ,其中 線性無(wú)關(guān)， ，如 ，求非齊次線性方程組 之通解。 解：線性方程組 的向量表達(dá)式為 （） 由 知 為 的一個(gè)特解。 （）的導(dǎo)出組為： ，由 知 為導(dǎo)出組的一非零解。由于 ，故 的基礎(chǔ)解系可由 組成，而 的通解為非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 非齊次線性方程組的解的集合構(gòu)不成向

15、量空間，但其通解也可通過(guò)它的一組線性無(wú)關(guān)的解向量表達(dá)出來(lái)。令 為任意含n個(gè)未知量的非齊線性方程組， 為其一特解，設(shè) 為其導(dǎo)出組 的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則 線性無(wú)關(guān)，且 的任一通解 可寫成 ，且 線性方程組的應(yīng)用 應(yīng)用線性方程組的解的結(jié)構(gòu)理論可研究一些幾何問(wèn)題，如：例2：平面上n個(gè)點(diǎn) , 位于一條直線上的 充要條件是什么 ？ 解：點(diǎn) ，位于同一條直線 存在常數(shù)k、b 使 ，滿足直線方程 , 即 關(guān)于k、b的線性方程組 有解例3：平面上n條直線 交于一點(diǎn)的充 要條件是什么？ 解： 直線 ，交于一點(diǎn) 線性方程組 有唯一解5、線性變換線性變換的矩陣表示 非數(shù)學(xué)專業(yè)的線性代數(shù)對(duì)線性變換一般只引入概念、運(yùn)算、性

16、質(zhì)及矩陣表示，要注意的是： 固定n維向量空間的一個(gè)基底，任一線性變換有唯一的矩陣表示。換言之，對(duì)固定的基底而言，線性變換與n階方陣11對(duì)應(yīng)。但基底不同，矩陣表示可能不同。若在 中取定兩個(gè)基底： ,設(shè) 上的線性變換 在這兩個(gè)基底上的表示矩陣分列為A與B，則 ，其中T為基底 到 的過(guò)渡陣。 也就是說(shuō)同一線性變換在不同基底上的表示矩陣是相似的，因而， 上的線性變換與n階方陣的一個(gè)相似類11對(duì)應(yīng)。 一些實(shí)際問(wèn)題的例子：令 是實(shí)域R上的可微函數(shù)，D為求導(dǎo)變換， ，即 是許多生物現(xiàn)象，物理現(xiàn)象，經(jīng)濟(jì)規(guī)律都滿足的方程。特征值與特征向量的性質(zhì) （）A為n階方陣， 與 有相同的特征值，但特征向量未必相同，如 （

17、） 為n階可逆方陣A的特征值，則 ， 為 的特征值， 為 的特征值，且屬于 的A的特征向量 也分別是 的屬于 的特征向量和 的屬于 的特征向量。 （） 是n階方陣A的特征值，則對(duì)任意多項(xiàng)式 ， 是 的特征值。 （） 為可逆方陣A的屬于 的特征向量，則 為 的屬于 的特征向量。方陣對(duì)角化（相似）的條件 判斷一 n階方陣能否相似于對(duì)角陣的條件較多，如“一 n階方陣A有n個(gè)互異的特征值。則A可相似于對(duì)角陣”等。但最基本的判定準(zhǔn)則是“n階方陣A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量”（*），其他的判定法則都是從這一準(zhǔn)則推出來(lái)的。即使是“A可相似對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)A的每一特征值 的幾何重?cái)?shù)與代數(shù)重?cái)?shù)相同”也是基于（*）得到的。因而在教學(xué)中應(yīng)將（*）作為最基本的內(nèi)容講授。n階方陣非零特征值的個(gè)數(shù)與秩 n階方陣非零特征值的個(gè)數(shù)與秩一般并不相同，如 的非零特征