考研數(shù)學(xué)二公式高數(shù)線代技巧歸納

1、對(duì) 應(yīng)- 3 對(duì) 應(yīng)- 3 一、常用等無(wú)窮小 當(dāng) 0 時(shí)x x x x 1 a高等數(shù)學(xué)公 -1 ) x(為任意實(shí)數(shù)，不一定是整數(shù))1xx2增加x xx3對(duì)應(yīng)x x3x 1 x 3 x31 / 21x 2 xx 2 x二、利用泰公式= 1 +x+（ x 2 ） ！xsin x （ x3!）x1 x 2！o x ） x ）= x x 2o（ 2 ）2 / 21a a ( x( ctgx (sec x) ( a x ) ln (arcsin x) 2 x) ( ) 22(log x) ln a( ) 2tgxdx x sin x sec xdx ln sec x tgx sin xdx xdx xd

2、x ln x ctgx dx arctg a 2 a adx 1 ln 2 2 a sec x x x x x ln shxdx chx a2dx21 a ln 2 a shx adx arcsin 2 x 2 x22) I n 2 0 n In x2 2x dx 2 2 x 222) x a 2x dx 2 2 ln x x 22x a a arcsin 2 導(dǎo)數(shù)公式：基本積分表三角函數(shù)有式積分：3 / 21 1 x 2du x ，x ，u ， 1 2 1 2一些初等函：兩個(gè)重要極：雙曲正 : shx e 2 xlim 0 雙曲余 : chx ex2lim(1 ) x 2.718281828

3、459045. e 雙曲正 : x x x x 2 1 ln2 1 三角函數(shù)公：誘導(dǎo)公式函數(shù)角 A-90- 90+ 180-180+270-270+360-360+4 / 21sin( cos( sin sintg (1 tg1ctg (ctg sin 2sin 2 sin cos sin 2 2 和差角公： 和差積公式：倍角公式cossin 2cos 2 2 sin 3sin4sin 2ctg 22 半角公式cos33 3costg 1 tg sin 2 sin ctg 1 1 cos 弦 理 ：a b c R sin B C 余 理 c222 ab cos C反三角函性質(zhì)：arcsin x

4、 2 xarctgx 2arcctgx高階導(dǎo)數(shù)公萊布尼（）公式：5 / 21b b b b b b (uv )( n )n C u n ) ( k ) n ( n ) nu( vn(n n( n u ( n v k!u ( ) ( ) ( n )中值定理及數(shù)應(yīng)用：拉格日中定理 (b f ( a) f)f (b) f ( a f 柯西值定： F ) ( a) F 當(dāng)F( 時(shí)，西中定理是拉格朗日中定理 曲率：弧微分公式：ds 1 2dx 其中y平均曲率 從M到M 斜率的傾角變化量； M點(diǎn)的曲率：K ds直線：K 0;半徑為a圓： 定積分近似算：y y .矩形法 a梯形法 a ( )0 ( y )

5、0 n 拋物線法 a 3( y y ) ) y ) 0 定積分應(yīng)用關(guān)公式：6 / 21b b y F b b y F 功：W F 水壓力： m引力： 2 為引力系數(shù)r 2函數(shù)的平均值 1b af ( x)dx1均方根： f t ) b a多元函數(shù)微法及應(yīng)用全微分： dx du 全微分的近似計(jì)算： ( x, ) f ( y x y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：dz z f (t ), v( ) dt z f x, ), ( x, y ) 當(dāng) ( x, ，v ( x )時(shí)，du dx dy 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：dy F F F 隱函數(shù)F ( , y) ， ， ( x ( x ) dx F F F y F F

6、隱函數(shù)F ( , y, ， x ， F Fz ( y, , v) , G 隱函數(shù)方程組 G ( x, , , v) v) 1 , G F , ) ) J , ) 1 , G F , ) y ) ) u GuFvv微分法在幾上應(yīng)用：7 / 21 D 方向?qū)?shù)及度：多元函數(shù)極及其求法：設(shè)f ( , ) ( y ) ，令： ( x y ) A f ( x y ) , f ( x y ) y 0 0 0 0 xy 0,( y )為極大值 2 時(shí) 0 0A , 為小 則 時(shí)無(wú)值 2 不定重積分及其用：f ( y ) f ( r cosr sinrdrdD D 曲面 f ( , y的面積 DM平面片的心：

7、x M2 21 D MyM D D平面片的動(dòng)慣： 對(duì)x軸I 對(duì)于y軸I x yD D平面片（于xoy平面）對(duì)軸上質(zhì)M ),( 的引： F F ，其中：x zF fxDx, ) xd( x )32，F(xiàn) f yDx, ) yd( x )32， zDx ) xd( x 2 )328 / 21P ( x ) P ( x ) 微分方程相概念：一微方： ( x, ) 或 ( x, ) dx ( y ) dy 可離量微方程：一階分程以化 ( y ) f ( x) 的式解： ( ) f ( )dx： ( ) F ( x ) 稱為隱式通。 y齊方：階分方程可以成 f , y) , )，即成 的數(shù)解： xy dy

8、 dx y設(shè)u ，則 ， ) 分變，分將 代替u，x dx x即齊方通。一階線性微方程：dy、階線性微分方程： ( ) y ( xdx當(dāng) ( x , 為齊次方程， 當(dāng) ( x 時(shí)，為非齊次方程，y Q ( x) e dx eP ( ) dxdy、努力方程： ( ) y ( x y n dx全微分方程如果 ( x, y) dx ( x ) 中左端是某函數(shù)的全微分方程，即： du ( x ) ( y )dx ( x, ) dy ，中： ( , y ， ( x y) ( , y ) 該是全微方程解。二階微分方：d 2 P x) ( ) y f ( x)， f ( x) 時(shí) f ( x) 二階常系數(shù)次

9、線性微分程及其解法 (*) , pr ，其中r，r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好(*)式中y2、( 根r r 3、據(jù) r 的不同情況，按下表寫(xiě) (*)式的通解： 29 / 21n !n n a A D n D D D D D D Dn !n n a A D n D D D D D D Dr ， 的形式 1 (*)式解兩個(gè)相等根 2 y e1r e2r x兩個(gè)等實(shí) 2 q 0)y c ) 1 r 一對(duì)軛復(fù) 2 q 0)y ( c cos1 2r 1 2p 4 ，2 2二階常系數(shù)齊次線性微方程 f ( x，p, q為常f ( ) ( x)型，數(shù)；f ( ) P x l ( xn型1 式1. 行列式共有 個(gè)元素

10、，展開(kāi)后有 項(xiàng)可分解為 行列式； 2. 代數(shù)余子式性質(zhì)：、和ij ij大小無(wú)關(guān)；、某行（列）元素乘以其它行（列）元素代數(shù)余子式為 、某行（列）元素乘以該行（列）元素代數(shù)余子式為 ；3.代數(shù)余子式和余子式關(guān)系：M i j i j M4. 設(shè) 行列式 ：將 上下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)所得行列式為D則 n D D；將 順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得行列式為DD ( D；將 主對(duì)角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為 將 主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為，則 D，則；D ；5. 行列式重要公式：10 / 21n n n Ax 及 n n n Ax 及 、主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素乘積；、副對(duì)角行列式：副對(duì)角元素乘積n ( ；、上、

11、下三角行列式（ ）：主對(duì)角元素乘積；、和：副對(duì)角元素乘積n ( n ；、拉普拉斯展開(kāi)式：、 C n B、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)連乘積； 、特征值；6.對(duì)于 階行列式A恒有： A ( k k其中為 階k 主子式；7. 證明 方法：、 A；、反證法；、構(gòu)造齊次方程組 ，證明其有非零解；、利用秩，證明r ) n；1.、證明 0 是其特征值；2 陣是 階可逆矩陣： （是非奇異矩陣）； r ( A) n（是滿秩矩陣） A行（列）向量組線性無(wú)關(guān)；齊次方程組 有非零解； ， 總有唯一解； A E等價(jià)； A可表示成若干個(gè)初等矩陣乘積； A特征值全不為0； A是正定矩陣；11 / 21R R AAn BA

12、 O R R AAn BA O C m AA A B r ( ) ( ) A行（列）向量組是 n 一組基； 是 n 中某兩組基過(guò)渡矩陣；2. 對(duì)于 階矩陣 ： *A* E無(wú)條件恒成立；3.( )* A)( ) )( A) )*( )T T AT( )* * A*( ) B 4. 矩陣是表格，推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭；行列式是數(shù)值，可 求代數(shù)和；5. 關(guān)于分塊矩陣重要結(jié)論，其中均 、 可逆：若，則：、 A A 、 sA；A、；（主對(duì)角分塊） 、；（副對(duì)角分塊）、 C AOCB ；（拉普拉斯）、 O A CAO ；（拉普拉斯）3 組1. 一個(gè) 矩陣 ，總可經(jīng)過(guò)初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是 唯一確定

13、等價(jià)類：所有及 等價(jià)矩陣組成一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類； 標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡(jiǎn)單矩陣；對(duì)于同型矩陣 、 ，若；2. 行最簡(jiǎn)形矩陣：、只能通過(guò)初等行變換獲得；12 / 21 E B c n A 1 E B c n A 1 k 1 1 1 1 ， 則 、每行首個(gè)非 0 元素必須為 1、每行首個(gè)非 0 元素所在列其他元素必須為 03. 初等行變換應(yīng)用等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變 換）、 若( A , )r( E , X )，則 可逆，且 A；、對(duì)矩陣( A B )做初等行變化，當(dāng) 變?yōu)?時(shí)， 就變成 ，即：( A ) ( E , AB)；、求解線形方程組：對(duì)于n個(gè)未知數(shù) 個(gè)方程 ，如果r( A b

14、 ( E x)，則 可逆，且 ；4. 初等矩陣和對(duì)角矩陣概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為 初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；、，左乘矩陣 ，i乘 各行元素；右乘，i乘 各列元素；、對(duì)調(diào)兩行或兩列，符號(hào)E ( i , j ，且 ( i , j ( i , j ，例如：；、倍乘某行或某列，符號(hào) ( i k ，且 ( i ( k )1 i ( )k，例如： 11k1( ；、倍加某行或某列，符號(hào)E ij k ), 且 ( ij ( ) ( ( ，如： k ( ；5. 矩陣秩基本性質(zhì)：、0 ( m ) , n；、r ( AT) ( A)；、若AB r ( ) r ( )；、若 、 可

15、逆，則r ( ) ( ) ( AQ ) PAQ 13 / 21（可逆陣不影AB n A B n AB n A B n n * 響矩陣秩、r A), r ( B ) A ) r ( ) ( B )；（）、r ) r ( A) )；（）、r AB ) r ( A), r )；（）、如果 是 矩陣， 是 矩陣，且 ，則：（）、 列 向量全部是齊次方程組 論）；、r ( A) ( B ) AX 解（轉(zhuǎn)置運(yùn)算后結(jié)、若 、 均為 階方陣，則 6. 三種特殊矩陣方冪：r ( AB ) ( A ( ) ；秩為 1 矩陣一定可以分解為矩陣向量） 行陣向 量）形式，再采用結(jié)合律；、型如矩陣：利用二項(xiàng)展開(kāi)式；二項(xiàng)展

16、開(kāi)式：( )n a nn a n m a nn bm b n n b n n Cmna m ；m 注：、( )n展開(kāi)后有 項(xiàng)；、n ( n n !1 2 m !(n )!C、組合性質(zhì) ： C Cr2rCrr ；r 、利用特征值和相似對(duì)角化： 7. 伴隨矩陣：、伴隨矩陣秩： r ( ) r ( A n r ( ) r ( A n ；、伴隨矩陣特征值：A( AX A * AX )；、* 、* 14 / 21n r ) n nr ) n nr ) n n n r ) n nr ) n nr ) n n m mm nn m n n n A m bm mn n ) n nn 8. 關(guān)于 矩陣秩描述：、句

17、話）、， 中有 階子式不為 0 階子式全部為 0（兩， 中有 階子式全部為 0， 中有 階子式不為 09. 線性方程組： ，其中 為 矩陣，則：、 及方程個(gè)數(shù)相同，即方程組 有 個(gè)方程； 、 及方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組 為 元方程；10.線性方程組 求解：、對(duì)增廣矩陣 進(jìn)行初等行變換（只能使初等行變換）； 、齊次解為對(duì)應(yīng)齊次方程組解；、特解：自由變量賦初值后求得；11.由 個(gè)未知數(shù) 個(gè)方程方程組構(gòu)成 元線性方程： x x x n x m nm ；、 n x b Ax （向量方程， 為 矩陣，mm mn m個(gè)方程， 個(gè)未知數(shù)）、n （全部按列分塊，其中）；、 a （線性表出）、有解充要條件

18、：r ( ) ( ,（ 為未知數(shù)個(gè)數(shù)或維數(shù)）4 性1.m個(gè) 組A： , , , 成 陣15 / 21 Tm m n Tm m n r n n A B B A r r , , , )；個(gè) 維行向量所組成向量組 ： T Tm構(gòu)成 矩陣；含有有限個(gè)向量有序向量組及矩陣一一對(duì)應(yīng)；2. 、向量組線性相關(guān)、無(wú)關(guān) 性方程組） 有、無(wú)非零解齊次線、向量線性表出 是否有解性方程組）、向量組相互線性表示 AX 是否有解陣方程）3. 矩陣及m l 行向量組等價(jià)充分必要條件是：齊次方程組和 同解；(P101例 14)4.r AA) )；(P101例 15)5. 維向量線性相關(guān)幾何意義：、 線性相關(guān) ；、 線性相關(guān) 坐

19、標(biāo)成比例或共線（平行）；、 線性相關(guān) , 共面；6. 線性相關(guān)及無(wú)關(guān)兩套定理：若 , , ,線性相關(guān)，則 , , 必線性相關(guān)；若 , , ,線性無(wú)關(guān)，則 , , 必線性無(wú)關(guān)；（向量個(gè)數(shù)加加減減，二者為對(duì)偶）若 維向量組 每個(gè)向量上添上 個(gè)分量成 維向量組 ： 若 線性無(wú)關(guān)，則 也線性無(wú)關(guān)；反之若 線性相關(guān)，則 也線性相關(guān)；（向量組維數(shù)加加減減）簡(jiǎn)言之：無(wú)關(guān)組延長(zhǎng)后仍無(wú)關(guān)，反之，不確定；7. 向量組 （個(gè)數(shù)為 ）能由向量組 （個(gè)數(shù)為 ）線性表示，且A線性無(wú)關(guān)，則 (二版P74定理 16 / 21 r ( ) r B ) r ( , B r ( ) r B ) r ( , B ) ， 使 B BP

20、 及 B （ 、 可逆 B BT A 向量組 能由向量組 線性表示，則r ( A) ( B P86定理 3向量組 能由向量組 線性表示 AX 有解； ) r ( A )（P85定理 向量組 能由向量組 等價(jià)（P85定理 2 論）8.方陣 可逆存在有限個(gè)初等矩陣P , , A P P l ；、矩陣行等價(jià)： r 同解（左乘， 可逆） 、矩陣列等價(jià)： （右乘， 可逆、矩陣等價(jià)：A B P 9.對(duì)于矩陣及m l ：、若 及 行等價(jià)，則 及 行秩相等；、若 及 行等價(jià)，則 及 同解，且 及 任何對(duì)應(yīng) 列向量組具有相同線性相關(guān)性；、矩陣初等變換不改變矩陣秩；、矩陣 行秩等于列秩；10.若m m ，則：、

21、列向量組能由 列向量組線性表示， 為系數(shù)矩陣；、 行向量組能由 行向量組線性表示， 為系數(shù)矩陣 置）11.齊次方程組 解一定是 解， 考中可以直接為定理使用，無(wú)需證明；17 / 21 B K 及K r Q AQ E B K 及K r Q AQ EPA E m A rn 解 集* 、 只有零解 只有零解；、 有非零解 一定存在非零解；12.設(shè)向量組: b , b r可由向量組: a , , a 線性表示為：（ 題 19 結(jié)論110( b , ) , ) s（ ）其中 為 ，且 線性無(wú)關(guān)，則 組線性無(wú)關(guān) r K ) r K列向量組具相同線性相性 ）（必要性：r r B ) r ( ) r ( ), r ( K ) r , r ( K ) r充分性反證法）注：當(dāng) 時(shí)， 為方陣，可當(dāng)作定理使用；13. 、對(duì)矩陣性無(wú)關(guān) ）P87，存在 ，m n m r ) 、 列向量線、對(duì)矩陣，存在 ，m n r ) 、 行向量性無(wú)關(guān)；14. , ,線性相關(guān)存在一組不全為 0