平面任意力系

1、力對(duì)點(diǎn)的矩與力偶矩的區(qū)別不同處：力對(duì)點(diǎn)的矩可隨矩心的位置改變而改變，但一個(gè)力偶的矩是常量。聯(lián)系： 力偶中的兩個(gè)力對(duì)任一點(diǎn)的之和是常量，等于力偶矩。米（N m）力矩的量綱與力偶矩的相同。力對(duì)點(diǎn)的矩力矩的性質(zhì)靜 力 學(xué)平面任意力系平面任意力系M實(shí) 例平面任意力系平面任意力系 作用線在同一平面內(nèi)，但彼此不匯交一點(diǎn)，且不都平行的力系。實(shí) 例平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化力系向給定點(diǎn)的簡化平面任意力系簡化結(jié)果的討論合力矩定理力矩的解析表達(dá)式力線平移定理FAOdFAOdMAO=F = F = F ,M= Fd = MO ( F ) 把力F 作用線向某點(diǎn)O平移時(shí)，須附加一個(gè)力偶，此附加力偶的矩等于原力F 對(duì)

2、點(diǎn)O的矩。平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化1.力線平移定理 (1) 當(dāng)力線平移時(shí)，力的大小、方向都不改變，但附加力偶的矩的大小與正負(fù)一般要隨指定O點(diǎn)的位置的不同而不同。 力線平移定理平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化 (2) 力線平移的過程是可逆的，由此可得重要結(jié)論： 作用在同一平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶，總可以等效替換為和原力大小相等、方向平行的一個(gè)力。 (3) 力線平移定理是把剛體上平面任意力系等效替換為一個(gè)平面匯交力系和一個(gè)平面力偶系的依據(jù)。幾點(diǎn)注意工程實(shí)例 力線平移定理平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化工程實(shí)例 力線平移定理平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化 應(yīng)用力系平移定理，可將剛體上平面任

3、意力系（包括平面平行力系）中各力的作用線全部平行搬移到作用面內(nèi)某一給定點(diǎn)O 。從而這力系被分解為平面任意力系和平面力偶系。這種變換的方法稱為力系向給定點(diǎn)O 的簡化。點(diǎn)O 稱為簡化中心。 A3OA2A1F1F3F2以三個(gè)力構(gòu)成的平面任意力系為例說明如下：M1OM2M3=F1F3F2MOO=FR力系的簡化平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化2. 力系向給定點(diǎn)O 的簡化 匯交力系F1， F2， F3的合成結(jié)果為一作用點(diǎn)在點(diǎn)O的力FR。這個(gè)力矢F 稱為原平面任意力系的主矢。 附加力偶系的合成結(jié)果是作用在同平面內(nèi)的力偶，這力偶的矩用MO代表，稱為原平面任意力系對(duì)簡化中心O的主矩。 A3OA2A1F1F3F2

4、M1OM2M3MOO=F1F3F2FRFR = F1 +F2+F3 = F1 +F2+F3MO = M1 +M2+M3 = MO (F1) + MO (F2 ) + MO (F3 )力系的簡化平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化 結(jié)論 平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)O簡化的結(jié)果，是一個(gè)力和一個(gè)力偶，這個(gè)力作用在簡化中心O，它的力矢等于原力系中各力的矢量和，并稱為原力系的主矢；這力偶的矩等于各附加力偶矩的代數(shù)和，它稱為原力系對(duì)簡化中心O的主矩，并在數(shù)值上等于原力系中各力對(duì)簡化中心O的力矩的代數(shù)和。 平面任意力系對(duì)簡化中心O的主矩主矢FR = F1 +F2+Fn=FiMO = MO (F1) + MO

5、(F2 ) +MO (F3 )= MO (Fi )力系的簡化平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化(2) 平面任意力系的主矩一般與簡化中心O的位置有關(guān)。因此，在說到力系的主矩時(shí)，一定要指明簡化中心。幾點(diǎn)說明(1) 平面任意力系的主矢的大小和方向與簡化中心O的位置無關(guān)。MAB AB AMBMA力系的簡化平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化方向余弦(2) 主矩MO可由下式計(jì)算。平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化主矢、主矩的求法(1) 主矢可按力多邊形規(guī)則作圖求得，或用解析法計(jì)算。MO = MO (F1) + MO (F2 ) +MO (F3 )= MO (F )力系的簡化工程實(shí)例 力系的簡化32 平面任意力系

6、向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化 四、力系簡化理論的應(yīng)用固定端（插入端）約束平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化= （1） FR =0，而MO0，原力系合成為力偶。 這時(shí)力系主矩MO不隨簡化中心位置而變。力系的簡化平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化3.平面任意力系簡化結(jié)果的討論（2） MO=0，而FR 0，原力系合成為一個(gè)力。 作用于點(diǎn)O的力F 就是原力系的合力。（3） FR 0，MO0，原力系簡化成一個(gè)力偶和一個(gè)作用于點(diǎn)O的力。F = F=F=MOOO AO A證 明 F 0，MO0，原力系簡化成一個(gè)力偶和一個(gè)作用于點(diǎn)O的力，這時(shí)力系也可合成為一個(gè)力。至于點(diǎn)在主矢F 的那一邊，則與主矩M的正負(fù)有關(guān)。下面列出二種

7、可能性。MO0AOAO力系的簡化平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化 綜上所述，可見： (4) FR =0，而MO=0，原力系平衡。 平面任意力系如不自成平衡，則當(dāng)主矢FR 0，該力系合成為一個(gè)力。力系的簡化32 平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化 平面任意力系如不自成平衡，則當(dāng)主矢FR =0，該力系合成為一個(gè)力偶。 平面力系的合力對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩，等于這力系中的各力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。 表達(dá)式： MO(FR)=MO(Fi)證明：因?yàn)?MO=MO(Fi) ,MO =FRd=MO(FR)所以 MO(FR)=MO(Fi)=MOOO AO A32 平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化4. 合力矩定理4.

8、 合力矩定理 力矩的解析表達(dá)式 F對(duì)原點(diǎn)O的力矩的解析表達(dá)式：MO(F) = xFy yFxAOyxbayxFyFFx證明：MO(F)=MO(Fx)+ MO(Fy)MO(Fx)=Ob Fx = yFxMO(Fy)= Oa Fy= xFyMO(F) = xFy yFx合力矩定理32 平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化F1F2F3F4OABC xy2m3m3060 例3-1 在長方形平板的O，A，B，C點(diǎn)上分別作用著有四個(gè)力：F1=1 kN，F(xiàn)2=2 kN，F(xiàn)3=F4=3 kN（如圖），試求以上四個(gè)力構(gòu)成的力系對(duì)點(diǎn)O的簡化結(jié)果，以及該力系的最后的合成結(jié)果。例題3-1解：取坐標(biāo)系Oxy。1、求向O點(diǎn)簡

9、化結(jié)果。 求主矢FR 。 例題 3-132 平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化F1F2F3F4OABC xy2m3m3060FOABC xy32 平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化 例題 3-1 求主矩。 2. 求合成結(jié)果。F1F2F3F4OABC xy2m3m3060FOABC xyMOFd合成為一個(gè)合力F，F(xiàn)的大小、方向與FR相同。其作用線與O點(diǎn)的垂直距離為32 平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化 例題 3-133 平面任意力系平衡條件和平衡方程平面平行力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程(1) 平面任意力系平衡的充要條件33 平面任意力系的平衡條件和平衡方程(2) 平面任意

10、力系的平衡方程FR=0， MO=0 力系中的各力在其作用平面內(nèi)兩坐軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，同時(shí)力系中的各力對(duì)任一點(diǎn)矩的代數(shù)和也等于零。力系的主矢等于零 ，且力系對(duì)任一點(diǎn)的主矩也等于零。1.平面任意力系的平衡條件和平衡方程（3） 平面任意力系的平衡方程其他形式且A，B的連線不和x軸相垂直。A，B，C三點(diǎn)不共線。33 平面任意力系的平衡條件和平衡方程 平衡方程解：1.取伸臂AB為研究對(duì)象。2.受力分析如圖。yFWWEWDxBAECDFAyFAxacbBFACWDWEl 例3-2 伸臂式起重機(jī)如圖所示，勻質(zhì)伸臂AB重W=2200N，吊車D、E連同吊起重物各重WD=WE=4000N。有關(guān)尺寸為：

11、 l = 4.3m，a = 1.5m，b = 0.9m，c = 0.15m, =25。試求鉸鏈A對(duì)臂AB的水平和垂直約束力，以及拉索BF的拉力。例題3-2 例題 3-233 平面任意力系的平衡條件和平衡方程3.選如圖坐標(biāo)系，列平衡方程。4.聯(lián)立求解。 F = 12 456 N FAx= 11 290 N FAy= 4 936 NyFWWEWDxBAECDFAyFAx 例題 3-233 平面任意力系的平衡條件和平衡方程解：1. 取梁AB為研究對(duì)象。2. 受力分析如圖，其中F =qAB=1003=300 N；作用在AB 的中點(diǎn)C。BADFFAyFAxFDCMyxBAD1mq2mM 例3-3 梁AB

12、上受到一個(gè)均布載荷和一個(gè)力偶作用，已知載荷集度（即梁的每單位長度上所受的力）q = 100 N/m，力偶矩大小M = 500 Nm。長度AB = 3 m，DB=1 m。求活動(dòng)鉸支D和固定鉸支A的約束力。例題3-3 例題 3-333 平面任意力系的平衡條件和平衡方程3.選如圖坐標(biāo)系，列平衡方程。4.聯(lián)立求解。 FD= 475 N FAx= 0 FAy= 175 NBADFFAyFAxFDCMyx 例題 3-333 平面任意力系的平衡條件和平衡方程已知：求：固定端A處約束力.解：取T型剛架，畫受力圖.列平衡方程25802083770ABCFW解：1.取機(jī)翼為研究對(duì)象。2.受力分析如圖。WFAyFA

13、xMABCFA 例3-4 某飛機(jī)的單支機(jī)翼重 W =7.8 kN。飛機(jī)水平勻速直線飛行時(shí)，作用在機(jī)翼上的升力 F = 27 kN，力的作用線位置如圖示，其中尺寸單位是mm。試求機(jī)翼與機(jī)身連接處的約束力。 例題 3-433 平面任意力系的平衡條件和平衡方程例題 3-44.聯(lián)立求解。 MA= 38.6 kNm (順時(shí)針） FAx= 0 FAy= 19.2 kN （向下）3.選如圖坐標(biāo)系，列平衡方程。WFAyFAxMABCFA 例題 3-433 平面任意力系的平衡條件和平衡方程M1ABC23a 已知 M，a，求三根桿所受的約束力，三角塊及桿的重量不計(jì)。 練習(xí)題 練習(xí)題33 平面任意力系的平衡條件和平

14、衡方程練習(xí)題MABCa123F1F3F2MC = 0 ,F1sin acos M = 0應(yīng)用三矩式1.取三角塊為研究對(duì)象。2.受力分析如圖。 解 答MB = 0 ,MA = 0 ,F3 a sin M = 0F2 a cos M = 0 練習(xí)題33 平面任意力系的平衡條件和平衡方程且A，B的連線不平行于力系中各力。由此可見，在一個(gè)剛體受平面平行力系作用而平衡的問題中，利用平衡方程只能求解二個(gè)未知量。 力系中各力的代數(shù)和等于零 ，以及這些力對(duì)任一點(diǎn)的矩的代數(shù)和也等于零。(2) 平面平行力系的平衡方程(1) 平面平行力系平衡的充要條件33 平面任意力系的平衡條件和平衡方程2.平面平行力系的平衡條件

15、和平衡方程G2FAG1G3GFBAB3.0 m2.5 m1.8 m2.0 m 例3-5 一種車載式起重機(jī)，車重G1= 26 kN，起重機(jī)伸臂重G2 = 4.5 kN，起重機(jī)的旋轉(zhuǎn)與固定部分共重G3 = 31 kN。尺寸如圖所示。設(shè)伸臂在起重機(jī)對(duì)稱面內(nèi)，且放在圖示位置，試求車子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。 例題 3-533 平面任意力系的平衡條件和平衡方程例題 3-5 1.取汽車及起重機(jī)為研究對(duì)象，受力分析如圖。2.列平衡方程。解：GG2FAG1G3FBAB3.0 m2.5 m1.8 m2.0 m 例題 3-533 平面任意力系的平衡條件和平衡方程4.不翻倒的條件是：FA0， 所以由上式可得

16、故最大起吊重量為 Gmax= 7.5 kN3.聯(lián)立求解。 G2FAG1G3FBAB3.0 m2.5 m1.8 m2.0 mGG 例題 3-533 平面任意力系的平衡條件和平衡方程3-2 平面任意力系的平衡條件與平衡方程平面平行力系的平衡方程AB連線與力不平行只有兩個(gè)獨(dú)立方程，只能求解兩個(gè)獨(dú)立的未知數(shù)。解：取起重機(jī)，畫受力圖.滿載時(shí)，為不安全狀況解得 P3min=75kN已知：尺寸如圖；求：起重機(jī)滿載和空載時(shí)不翻倒，平衡載重P3；空載時(shí)，為不安全狀況4P3max-2P1=0解得 F3max=350kN 幾個(gè)概念 靜定與靜不定34 物體系的平衡物體系統(tǒng)的平衡問題物體系統(tǒng)（物系）：由若干個(gè)物體通過約

17、束所組成的系統(tǒng)外力：外界物體作用于系統(tǒng)上的力叫外力。內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力叫內(nèi)力。3-3 物體系的平衡 靜定和超靜定問題物系平衡的特點(diǎn)物系靜止，物系中每個(gè)單體也是平衡的。物系中有n個(gè)物體，每個(gè)單體可列3個(gè) 平衡方程，整個(gè)系統(tǒng)可列3n個(gè)方程解物系問題的一般方法：由整體 局部，由局部 整體二、靜定與靜不定問題的概念當(dāng)：獨(dú)立方程數(shù)目未知數(shù)數(shù)目時(shí)，是靜定問題（可求解） 獨(dú)立方程數(shù)目未知數(shù)數(shù)目時(shí)，是靜不定問題（超靜定問題）靜定（未知數(shù)2個(gè)）靜不定（未知數(shù)3個(gè)）3-3 物體系的平衡 靜定和超靜定問題3-3 物體系的平衡 靜定和超靜定問題已知：OA=R，AB= l,不計(jì)物體自重與摩擦,系統(tǒng)在圖

18、示位置平衡;求:力偶矩M 的大小，軸承O處的約束力，連桿AB受力，沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力.解:取沖頭B,畫受力圖.取輪,畫受力圖.49如圖已知 q=3 kN/m，F(xiàn)=4 kN， M=2 kNm。 CD=BD, AC=4 m，CE=EA=2 m。各桿件自重不計(jì)，試求A和B處的支座約束力。 22ABqC22FMDE3034 物體系的平衡 例題 3-9例題 3-9解：1.取BC為研究對(duì)象，受力分析如圖。FB= 2.89 kN22BCFMD30FCxFCyFB34 物體系的平衡 例題 3-9FBFAy= 0.58 kN2. 取整體為研究對(duì)象，受力分析如圖。FAx= 47.5 kN34 物體系的平衡 例題

19、3-922ABqC22FMDE30FAxFAyMA30MA= -2 kNm34 物體系的平衡 例題 3-9或也可以取桿為AC研究對(duì)象, MC=0。22ABqC22FMDE30FAxFAyMA30例3-8 已知:F=20kN,q=10kN/m,L=1m;求:A,B處的約束力.解:取CD梁,畫受力圖.解得 FB=45.77kN取整體,畫受力圖.解：1.取CE段為研究對(duì)象，受力分析如圖。FMl/8qBADCHEl/4l/8l/4l/4 例3-7 組合梁AC和CE用鉸鏈C相連，A端為固定端，E端為活動(dòng)鉸鏈支座。受力如圖所示。已知： l =8 m，F(xiàn)=5 kN，均布載荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的

20、大小M= 5k Nm，試求固端A、鉸鏈C和支座E的反力。34 物體系的平衡 例題 3-7例題 3-7MF13l/8CEHl/8FCxFEFCy列平衡方程2、取AC段為研究對(duì)象，受力分析如圖。聯(lián)立求解,可得 FE=2.5 kN（向上） FC=2.5 kN （向上）MF13l/8CEHl/8FCFEF2FMAl/4ACHl/8l/8FA34 物體系的平衡 例題 3-7列平衡方程聯(lián)立求解：可得 MA= 30 kNm FA= 12.5 kNF2FMAl/4ACHl/8l/8FA34 物體系的平衡 例題 3-7A，B，C，D處均為光滑鉸鏈，物塊重為G，通過繩子繞過滑輪水平地連接于桿AB的E點(diǎn)，各構(gòu)件自重

21、不計(jì)，試求B處的約束力。 34 物體系的平衡 例題 3-8例題 3-8FBxFAyFAxFByFEFAyFAxFCxFCyG解：1.取整體為研究對(duì)象。2.受力分析如圖。3.列平衡方程。4.取桿AB為研究對(duì)象，受力分析如圖。列平衡方程聯(lián)立求解可得解得 34 物體系的平衡 例題 3-8 例3-14如圖所示，已知重力G，DC=CE=AC=CB=2l；定滑輪半徑為R，動(dòng)滑輪半徑為r，且R=2r=l, =45 。試求：A，E支座的約束力及BD桿所受的力。DKCBEG 例題 3-1234 物體系的平衡例題 3-14ADKCABE 1. 選取整體研究對(duì)象，受力分析如圖所示。列平衡方程解平衡方程FAGFExF

22、Ey解： 例題 3-1234 物體系的平衡 2. 選取DEC研究對(duì)象，受力分析如圖所示。ECKD列平衡方程解平衡方程FKFEyFEx 例題 3-1234 物體系的平衡DKCBEGA例3-16已知：P , a ,各桿重不計(jì)；求：B 鉸處約束反力。解：取整體，畫受力圖解得取ADB桿，畫受力圖取DEF桿，畫受力圖得得得對(duì)ADB桿受力圖得例3-17已知：a ,b ,P, 各桿重不計(jì)，C,E處光滑；求證：AB桿始終受壓，且大小為P。解：取整體，畫受力圖。得取銷釘A，畫受力圖得取ADC桿，畫受力圖。取BC，畫受力圖。得對(duì)ADC桿得對(duì)銷釘A解得ABEDax1234EACBD例13 編號(hào)為1、2、3、4的四根

23、桿件組成平面結(jié)構(gòu)，其中A、C、E為光滑鉸鏈，B、D為光滑接觸，E為中點(diǎn)，各桿自重不計(jì)。在水平桿 2 上作用一鉛垂向下的力 F。問題：1. 求C、D處約束。2. 試證明無論力 F 的位置 x 如何改變，其豎桿 1 總是受到大小等于F 的壓力。F解：本題為求二力桿（桿1）的內(nèi)力FA1或FC1。為此先取桿2、4及銷釘A為研究對(duì)象，受力如圖。FFA1FEyFExFNDb上式中FND和FNB為未知量，必須先求得；為此再分別取整體和桿2為研究對(duì)象。FNBABFFAyFAx取整體為研究對(duì)象，受力如圖。FNBxa1234EACBDb取水平桿2為研究對(duì)象，受力如圖。代入（a）式得FA1為負(fù)值，說明桿1受壓，且與

24、x無關(guān)。FFNDFCyFCx簡單平面桁架的內(nèi)力計(jì)算幾個(gè)概念 桁架計(jì)算的常見假設(shè) 計(jì)算桁架桿件內(nèi)力的方法桁架 一種由若干桿件彼此在兩端用鉸鏈連接而成，受力后幾何形 狀不變的結(jié)構(gòu)。如圖分別是普通屋頂桁架和橋梁桁架。35 簡單平面桁架的內(nèi)力計(jì)算1. 幾個(gè)概念桁架結(jié)構(gòu)35 簡單平面桁架的內(nèi)力計(jì)算桁架圖片平面桁架 所有桿件都在同一平面內(nèi)的桁架。節(jié) 點(diǎn) 桁架中桿件的鉸鏈接頭。桿件內(nèi)力 各桿件所承受的力。 幾個(gè)概念35 簡單平面桁架的內(nèi)力計(jì)算簡單平面桁架 以一個(gè)鉸鏈三角形框架為基礎(chǔ)，每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)需增加二根桿件，可以構(gòu)成無余桿的平面桁架。 幾個(gè)概念35 簡單平面桁架的內(nèi)力計(jì)算 桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn) 可以充分發(fā)揮材

25、料的作用，減輕結(jié)構(gòu)的重量，節(jié)約材料。 簡單平面桁架的靜定性 當(dāng)簡單平面桁架的支座反力不多于3個(gè)時(shí)，求其桿件內(nèi)力的問題是靜定的，否則不靜定。35 簡單平面桁架的內(nèi)力計(jì)算(1) 桁架中的桿件都是直桿，并用光滑鉸鏈連接。(2) 桁架受的力都作用在節(jié)點(diǎn)上，并在桁架的平面內(nèi)。(3) 桁架的自重忽略不計(jì)，或被平均分配到桿件兩端的節(jié)點(diǎn)上，這樣的桁架稱為理想桁架。35 簡單平面桁架的內(nèi)力計(jì)算2. 桁架計(jì)算的常見假設(shè)節(jié)點(diǎn)法 應(yīng)用共點(diǎn)力系平衡條件，逐一研究桁架上每個(gè)節(jié)點(diǎn)的平衡。截面法 用應(yīng)用平面任意力系的平衡條件，研究桁架由截面切出的某些部分的平衡。 35 簡單平面桁架的內(nèi)力計(jì)算3. 計(jì)算桁架桿件內(nèi)力的方法aaa

26、aFCABDCEFFEFAyFBFAx解：節(jié)點(diǎn)法 1.取整體為研究對(duì)象,受力分析如圖。aaaaFCACDBEFFE 例3-10 如圖平面桁架，求各桿內(nèi)力。已知鉛垂力FC=4 kN，水平力FE=2 kN。35 簡單平面桁架的內(nèi)力計(jì)算 例題 3-10例題 3-103.列平衡方程。4.聯(lián)立求解。 FAx= 2 kN FAy= 2 kN FB = 2 kNaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx35 簡單平面桁架的內(nèi)力計(jì)算 例題 3-105.取節(jié)點(diǎn)A，受力分析如圖。解得FAxFAyAFACFAF列平衡方程aaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx35 簡單平面桁架的內(nèi)力計(jì)算 例題 3-106.取節(jié)點(diǎn)F，受力分析