考研沖刺班概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)Clip2Net

1、考研沖刺班概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)主講：費(fèi)允杰一、基本觀點(diǎn)總結(jié)1、觀點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)圖隨機(jī)事件P(A)數(shù)字化一維隨機(jī)變量X()F(x)P(Xx)八大散布（01、二項(xiàng)、泊松、超幾何、幾何、均勻、指數(shù)、正態(tài)）數(shù)字特點(diǎn)（希望、方差）隨機(jī)事件P(AB)數(shù)字化二維隨機(jī)變量(X,Y)F(x,y)P(Xx,Yy)兩大散布（均勻、正態(tài)）數(shù)字特點(diǎn)（希望、方差、協(xié)方差、有關(guān)系數(shù)）大數(shù)定律和中心極限制理四大統(tǒng)計(jì)散布（正態(tài),2,t,F）（多維隨機(jī)變量的函數(shù)散布）數(shù)理統(tǒng)計(jì)參數(shù)預(yù)計(jì)假定查驗(yàn)2、最重要的5個(gè)觀點(diǎn)（1）古典概型（由比率引入概率）例1：3男生，3女生，從中挑出4個(gè)，問男女相等的概率？例2：有5個(gè)白色珠子和4個(gè)黑色珠子，從中任取3

2、個(gè)，問此中起碼有1個(gè)是黑色的概率？（2）隨機(jī)變量與隨機(jī)事件的等價(jià)（將事件數(shù)字化）P(Xx)P(A)P(Xx,Yy)P(AB)例3：已知甲、乙兩箱中裝有兩種產(chǎn)品，此中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品。從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求：（1）乙箱中次品件數(shù)X的數(shù)學(xué)希望。（2）從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率。例4：將一枚均勻硬幣連擲三次，以X表示三次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面的次數(shù)，Y表示出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)的差的絕對(duì)值，求（X，Y）的結(jié)合散布律。3）散布函數(shù)（將概率與函數(shù)聯(lián)系起來）F(x)P(Xx)（4）失散與連續(xù)的關(guān)系P(Xx)f(x)dxP(Xx,Yy)f(x,y)dx

3、dy例5：見“數(shù)字特點(diǎn)”的公式。（5）簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本（將概率和統(tǒng)計(jì)聯(lián)系在一同）樣本是由n個(gè)同整體散布的個(gè)體構(gòu)成的，相當(dāng)于n個(gè)同散布的隨機(jī)變量的組合（n維隨機(jī)變量）。例6：樣本的X1nE(Xi)未知，矩預(yù)計(jì)：XXi是已知的，個(gè)體（整體）的，ni1達(dá)成了一個(gè)從樣本到整體的推測(cè)過程。二、做題的19個(gè)口訣（概率16個(gè)，統(tǒng)計(jì)3個(gè)）1、概率1）題干中出現(xiàn)“假如”、“當(dāng)”、“已知”的，是條件概率。例7：5把鑰匙，只有一把能翻開，假如某次打不開就拋棄，問第二次翻開的概率？例8：設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取的兩件中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率為。（2）時(shí)間上分兩個(gè)階段的，用

4、“全概公式”或許“貝葉斯公式”。例9：玻璃杯成箱銷售，每箱20只，設(shè)各箱含0，1，2只殘次品的概率分別為0.8,0.1和0.1。一顧客欲購(gòu)置一箱玻璃杯，由售貨員任取一箱，而顧客開箱隨機(jī)地觀察4只；若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，不然退回。試求：1）顧客買此箱玻璃杯的概率；2）在顧客買的此箱玻璃杯中，的確沒有殘次品的概率。3）“只知次數(shù)，不知地點(diǎn)”是“二項(xiàng)散布”。例10：拋5次硬幣，此中有3次正面向上的概率？31312C5()()例11：1對(duì)夫妻生4個(gè)孩子，2男2女的概率？例12：某廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率0.7能夠直接出廠，以概率0.3需進(jìn)一步伐試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.8能夠出廠，以概率0.2定

5、為不合格產(chǎn)品不可以出廠?，F(xiàn)該廠重生產(chǎn)了n(n2)臺(tái)儀器（假定各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立），求1）所有能出廠的概率；2）恰有兩臺(tái)不可以出廠的概率；3）起碼有兩臺(tái)不可以出廠的概率。4）“先后不放回取”“任取”，是“超幾何散布”。例13：5個(gè)球，3紅2白，先后不放回取P322個(gè)，2紅的概率？P52例14：5個(gè)球，3紅2C32白，任取2個(gè)，2紅的概率？C52（5）“先后放回取”是“二項(xiàng)散布”。例15：5個(gè)球，3紅2白，先后放回取5個(gè)，2紅的概率？C52(3)2(2)356）“直到才”是“幾何散布”。例16：4黑球，2白球，每次取一個(gè)，放回，直到取到黑為止，令X()為“抽取次數(shù)”，求X的散布律。例17：

6、5把鑰匙，只有一把能翻開，假如某次打不開不拋棄，問以下事件的概率？第一次翻開；第二次翻開；第三次翻開。（7）求隨機(jī)變量函數(shù)的散布密度，從散布函數(shù)的定義下手。例18：設(shè)X的散布函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)，證明隨機(jī)變量從均勻散布。Y=F（X）在區(qū)間（0，1）上服（8）二維隨機(jī)變量的概率散布從兩個(gè)事件訂交的實(shí)質(zhì)下手。P(AB)P(A)P(B/A)fX(x)f(y/x)，f(x,y)。P(A)P(B)fX(x)fY(y)9）二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊沿散布由畫線決定積分的上下限。例19：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）在地區(qū)D上聽從均勻散布，此中D(x,y):|xy|1,|xy|1,求X的邊沿密度fX(x)。（

7、10）求二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)散布或許某個(gè)地區(qū)內(nèi)的概率，由繪圖計(jì)算訂交部分（正概率區(qū)間和所求地區(qū)的交集）的積分。例20：設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的散布密度為3x0 x1,0yx,(x,y)0,其余.試求U=X-Y的散布密度。（11）均勻散布用“幾何概型”計(jì)算。例21：設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的散布密度為20 x1,0yx,(x,y)0,其余.試求P(X+Y1)。12）對(duì)于獨(dú)立性：對(duì)于失散型隨機(jī)變量，有零不獨(dú)立；對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)可分別變量而且正概率密度區(qū)間為矩形。0,xk例22：設(shè)Xe（1），Yk（k=1,2）,求：1,xk1）(Y1,Y2)的散布；2）Y1與Y2邊沿散布，并議論他們的獨(dú)立

8、性；（3）E(Y1Y2).例23：如圖，f(x,y)=8xy,fX(x)=4x3,fY(y)=4y-4y3，不獨(dú)立。y1D1O1x例24：f(x,y)=Axy2,0 x2,0y1,判斷X和Y的獨(dú)立性。0,其余（13）二維隨機(jī)變量的希望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)，由邊沿散布來求。1P(B|A)11例25：設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件,且P(A),P(A|B),令4321,發(fā)生，1,發(fā)生，X，不發(fā)生，Y不發(fā)生.，0A0B求()二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率散布;()X與Y的有關(guān)系數(shù);XY()ZX2Y2的概率散布.（14）有關(guān)系數(shù)中的E(XY)，對(duì)于失散型隨機(jī)變量，依據(jù)XY的一維散布來求；對(duì)

9、于連續(xù)型隨機(jī)變量，依據(jù)函數(shù)的希望來求。例26：連續(xù)型隨機(jī)變量：E(XY)xyf(x,y)dxdy（15）應(yīng)用題：設(shè)Y為題干中要求希望的隨機(jī)變量，a為最后題目所求，而后找Y與X的函數(shù)關(guān)系，再求E(Y)。例27：設(shè)某種商品每周的需求量X聽從區(qū)間10，30上的均勻散布的隨機(jī)變量，而經(jīng)銷商鋪進(jìn)貨數(shù)目為區(qū)間10，30中的某一整數(shù)，商鋪每銷售一單位商品可贏利500元；若供大于求則削價(jià)辦理，每辦理1單位商品損失100元；若求過于供，則可從外面調(diào)劑供給，此時(shí)每1單位商品僅贏利300元，為使商鋪所贏利潤(rùn)希望值許多于9280元，試確立最少進(jìn)貨量。（16）切比雪夫大數(shù)定律要求“方差有界”，辛欽大數(shù)定律要求“同散布”

10、。X2、統(tǒng)計(jì)（1）似然函數(shù)是結(jié)合密度或許結(jié)合散布律。n連續(xù)型：L(1,2,m)f(xi;1,2,m)i1n失散型：L(1,2,m)p(xi;1,2,m)1例28：設(shè)整體X的概率分別為X012322(1)22p1此中（01）是未知參數(shù)，利用整體X的以下樣本值23，1，3，0，3，1，2，3求的矩預(yù)計(jì)值和最大似然預(yù)計(jì)值。2）“無偏”求希望，“有效”求方差，“一致”不論它。例29：設(shè)x1,x2,xn是整體的一個(gè)樣本，試證1）2）3）11x13x21x3;5102115;2x1x2x334121313x1x2x3.3412都是整體均值u的無偏預(yù)計(jì)，并比較有效性。（3）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)、t散布區(qū)間預(yù)計(jì)和假定查驗(yàn)

11、取對(duì)于y軸對(duì)稱的分位數(shù)，2、F散布取面積對(duì)稱的分位數(shù)。三、選擇題常考的5個(gè)混雜觀點(diǎn)1、乘法公式和條件概率例30：100個(gè)學(xué)生，60個(gè)男生，40個(gè)女生，棕色頭發(fā)30個(gè)，棕色頭發(fā)的男生10個(gè)，任取一個(gè)學(xué)生，是棕色頭發(fā)的男生的概率？已知取了一個(gè)男生，是棕色頭發(fā)的概率？P(AB)P(A)P(B/A)2、獨(dú)立和互斥設(shè)A?,B?，則A和B相互獨(dú)立與A和B互斥矛盾。例31：對(duì)于隨意二事件A和B，（A）若AB=，則A，B必定不獨(dú)立。（B）若AB=，則A，B必定獨(dú)立。（C）若AB，則A，B必定獨(dú)立。（D）若AB，則A，B有可能獨(dú)立。3、獨(dú)立和不有關(guān)獨(dú)立是不有關(guān)的充分條件。(X,Y)為二維正態(tài)散布時(shí)，獨(dú)立和不有關(guān)

12、互為充分必需條件。4、X，Y分別為正態(tài)散布，不可以推出（X，Y）為二維正態(tài)散布；也不可以推出X+Y為一維正態(tài)散布。例32：已知隨機(jī)變量X和Y分別聽從正態(tài)散布N（1，32）和N（0，42），且X與Y的相關(guān)系數(shù)XY1，設(shè)ZXY.232（1）求Z的數(shù)學(xué)希望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X與Z的有關(guān)系數(shù)XZ；（3）問X與Z能否相互獨(dú)立？為何？例33：設(shè)隨機(jī)變量X和Y都聽從正態(tài)散布，且它們不有關(guān)，則（A）X與Y必定獨(dú)立。（B）（X，Y）聽從二維正態(tài)散布。（C）X與Y未必獨(dú)立。（D）聽從一維正態(tài)散布。X+Y5、幾個(gè)大數(shù)定律的差別切比雪夫大數(shù)定律要求“方差有界”，辛欽大數(shù)定律要求“同散布”。例34：設(shè)X1

13、,X2,Xn，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，Xn聽從參數(shù)為n的指數(shù)散布（n=1,2,），則隨機(jī)變量序列2X1,22X2,nXn，：聽從切比雪夫大數(shù)定律。聽從辛欽大數(shù)定律。同時(shí)聽從切比雪夫大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律。既不聽從切比雪夫大數(shù)定律，也不聽從辛欽大數(shù)定律。四、解答題?？嫉?個(gè)題型1、全概和貝葉斯公式例35：在電源電壓不超出200V、在200240V和超出240V三種情況下，某種電子元件破壞的概率分別為0.1、0.001和0.2，設(shè)電源電壓XN（220，252），試求（1）該電子元件破壞的概率；（2）該電子元件破壞時(shí)，電源電壓在200240V的概率。1.40表中（x）是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)散布函數(shù)。2、二項(xiàng)散

14、布例36：設(shè)丈量偏差XN（0，102）。試求在100次獨(dú)立重復(fù)丈量中，起碼有三次丈量偏差的絕對(duì)值大于19.6的概率，并用泊松散布求出的近似值（要求小數(shù)點(diǎn)后取兩位有效數(shù)字）。附表：12345670.0013、二維隨機(jī)變量例37：設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率散布為YX0100.4a1b0.1若隨機(jī)事件X=0與X+Y=1相互獨(dú)立，則A、a=0.2,b=0.3C、a=0.3,b=0.2B、a=0.1,b=0.4D、a=0.4,b=0.1例38：設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(0,1)上聽從均勻散布，在Xx(0 x1)的條件下，隨機(jī)變量Y在區(qū)間(0,x)上聽從均勻散布，求()隨機(jī)變量X和Y的結(jié)合概率密度；()Y的

15、概率密度；()概率PXY14、數(shù)字特點(diǎn)例39：一輛送客汽車，載有m位乘客從起點(diǎn)站開出，沿途有n個(gè)車站能夠下車，若抵達(dá)一個(gè)車站，沒有乘客下車就不斷車。設(shè)每位乘客在每一個(gè)車站下車是等可能的，求汽車均勻泊車次數(shù)。試?yán)?0：今有兩封信欲投入編號(hào)為I、II、III的3個(gè)郵筒，設(shè)X，Y分別表示投入第I號(hào)和第II號(hào)郵箱的信的數(shù)目，試求（1）（X，Y）的結(jié)合散布；（2）X與Y能否獨(dú)立；（3）令U=max(X,Y),V=min(X,Y)，求E（U）和E（V）。例41：設(shè)X1,X2,Xn(n2)為獨(dú)立同散布的隨機(jī)變量，且均聽從N（0，1）。記X1nXiX,i1,2,n.Xi,Yini1求：（I）Yi的方差DYi,

16、i1,2,n;II）Y1與Yn的協(xié)方差Cov(Y1,Yn).PY1Yn0.1,1x02例42：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fxx1,0 x2,令YX2,FX,Y為二40,其余維隨機(jī)變量X,Y的散布函數(shù),求:()Y的概率密度fYy()covX,Y1()F,425、應(yīng)用題例43：市場(chǎng)上對(duì)商品需求量為XU（2000，4000），每售出1噸可得3萬元，若售不出而囤積在庫(kù)房中則每噸需養(yǎng)護(hù)費(fèi)1萬元，問需要組織多少貨源，才能使利潤(rùn)最大？例44：設(shè)由自動(dòng)線加工的某種部件的內(nèi)徑X（毫米）聽從正態(tài)散布N（，1），內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格品。銷售每件合格品贏利，銷售每件不合格品損失。已知銷售利潤(rùn)T（單元：元）與銷售部件的內(nèi)徑X有以下關(guān)系。1,若X10T20,若10X125,若X12問均勻內(nèi)徑取何值時(shí)，銷售一個(gè)部件的均勻利潤(rùn)最大？6、最大似然預(yù)計(jì)例45：設(shè)隨機(jī)變量X的散布函數(shù)為(,)1x，,Fxxx，0此中參數(shù)0,1.設(shè)X1,X2,Xn為來自整體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，()當(dāng)1時(shí),求未知參數(shù)的矩預(yù)計(jì)量；()當(dāng)1時(shí),求未知參數(shù)的最大似然預(yù)計(jì)量；()當(dāng)2時(shí),求未知參數(shù)的最大似然預(yù)計(jì)量。,0 x1例46：設(shè)整體X的概率密度為f(x,)1,1x2，此中是未知參數(shù)0,其余01）。X1,X2,Xn為來自整體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記N為樣本值x1,x2,xn中小于1的個(gè)數(shù)。求的矩預(yù)計(jì)和最大似