福建省福州市格致中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1一個(gè)單位有職工800人，其中具有高級(jí)職稱(chēng)的160人，具有中級(jí)職稱(chēng)的320人，具有初級(jí)職稱(chēng)的200人，其余人員12

2、0人.為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是 （ ）A12,24,15,9B9,12,12,7C8,15,12,5D8,16,10,62利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中，由變成時(shí)，左邊增加了（ ）A1項(xiàng)B項(xiàng)C項(xiàng)D項(xiàng)3設(shè)函數(shù)f(x)，x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則函數(shù)yf(x)的值域?yàn)?)A0B1,0C1,0,1D2,04函數(shù)（ ）ABCD5在數(shù)列中，若，則（ ）A108B54C36D1865人站成一列，甲、乙兩人相鄰的不同站法的種數(shù)為（）A18B24C36D487用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且大于3000的四位數(shù)，這樣

3、的四位數(shù)有（ ）A250個(gè)B249個(gè)C48個(gè)D24個(gè)8若，0，1，2，3，6，則的值為( )ABC1D29直線與直線平行，則=（ ）ABC7D510某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A B C D11將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（ ）ABCD12設(shè)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若是偶函數(shù)，則曲線在原點(diǎn)處的切線方程為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則下列判斷：；有極小值點(diǎn)，且.則正確判斷的個(gè)數(shù)是_.14如圖所示的數(shù)表為“森德拉姆篩”（森德拉

4、姆，東印度學(xué)者），其特點(diǎn)是每行每列都成等差數(shù)列.在此表中，數(shù)字“121”出現(xiàn)的次數(shù)為_(kāi).2345673579111347101316195913172125611162126317131925313715右圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形二維碼，為了測(cè)算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲400個(gè)點(diǎn)，其中落入黑色部分的有225個(gè)點(diǎn)，據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為_(kāi).16在等比數(shù)列中，已知，且與的等差中項(xiàng)為，則_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）一只藥用昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)y與一定范圍內(nèi)的溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲(chóng)的6組觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表：溫度x/212324272

5、932產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)61120275777經(jīng)計(jì)算得：，線性回歸模型的殘差平方和，其中分別為觀測(cè)數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù)，（1）若用線性回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.1）；（2）若用非線性回歸模型求得y關(guān)于x的回歸方程為，且相關(guān)指數(shù).試與1中的回歸模型相比，用說(shuō)明哪種模型的擬合效果更好.用擬合效果好的模型預(yù)測(cè)溫度為35時(shí)該用哪種藥用昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）附：一組數(shù)據(jù)其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)為，；相關(guān)指數(shù).18（12分）已知復(fù)數(shù)（a，），（c，）.（1）當(dāng)，時(shí)，求，；（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果猜想與的關(guān)系，并證明該關(guān)系的一般性19（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線：，以原點(diǎn)為

6、極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求，兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（2）當(dāng)變化時(shí)，求線段中點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程.20（12分）某校高二年級(jí)成立了垃圾分類(lèi)宣傳志愿者小組,有7名男同學(xué),3名女同學(xué),在這10名學(xué)生中,1班和2班各有兩名同學(xué),3班至8班各有一名同學(xué),現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué),利用節(jié)假日到街道進(jìn)行垃圾分類(lèi)宣傳活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同)(1)求選出的3名同學(xué)是來(lái)自不同班級(jí)的概率;(2)設(shè)為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望21（12分）如圖，在正四棱錐中，為底面的中心，已知，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，以為基底，

7、建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（1）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；（2）設(shè)二面角的平面角為，且，試判斷點(diǎn)的位置22（10分）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若，試用表示.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析：由題意，得抽樣比為，所以高級(jí)職稱(chēng)抽取的人數(shù)為，中級(jí)職稱(chēng)抽取的人數(shù)為，初級(jí)職稱(chēng)抽取的人數(shù)為，其余人員抽取的人數(shù)為，所以各層中依次抽取的人數(shù)分別是8人，16人，10人，6人，故選D考點(diǎn)：分層抽樣【方法點(diǎn)睛】分層抽樣滿(mǎn)足“”，即“或”，據(jù)此在

8、已知每層間的個(gè)體數(shù)量或數(shù)量比，樣本容量，總體數(shù)量中的兩個(gè)時(shí)，就可以求出第三個(gè)2、D【解析】分別寫(xiě)出、時(shí)，不等式左邊的式子，從而可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式左邊為，當(dāng)時(shí)，不等式左邊為，則增加了項(xiàng)，故選D.【點(diǎn)睛】項(xiàng)數(shù)的變化規(guī)律，是利用數(shù)學(xué)歸納法解答問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是易錯(cuò)點(diǎn)，要使問(wèn)題順利得到解決，關(guān)鍵是注意兩點(diǎn)：一是首尾兩項(xiàng)的變化規(guī)律；二是相鄰兩項(xiàng)之間的變化規(guī)律.3、B【解析】依題意，由于，所以.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故的值域?yàn)?故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域，考查新定義函數(shù)的意義，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法.屬于中檔題.4、A【解析】由于函數(shù)為偶函數(shù)又過(guò)（0，0）,排除，所以直接選A.【考

9、點(diǎn)定位】對(duì)圖像的考查其實(shí)是對(duì)性質(zhì)的考查，注意函數(shù)的特征即可，屬于簡(jiǎn)單題.5、B【解析】通過(guò)，可以知道數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以求出的值.【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列是公比為的等比數(shù)列，因此，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的概念、以及求等比數(shù)列某項(xiàng)的問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6、D【解析】將甲、乙兩人捆綁在一起，再利用排列公式得到答案.【詳解】將甲、乙兩人捆綁在一起，不同站法的種數(shù)為： 故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合中的捆綁法，屬于簡(jiǎn)單題.7、C【解析】先考慮四位數(shù)的首位，當(dāng)排數(shù)字4,3時(shí)，其它三個(gè)數(shù)位上課從剩余的4個(gè)數(shù)任選4個(gè)全排，得到的四位數(shù)都滿(mǎn)足題設(shè)條件，

10、因此依據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得滿(mǎn)足題設(shè)條件的四位數(shù)共有個(gè)，應(yīng)選答案C。8、C【解析】根據(jù)題意，采用賦值法，令得，再將原式化為根據(jù)二項(xiàng)式定理的相關(guān)運(yùn)算，求得，從而求解出正確答案【詳解】在中，令得，由，可得，故故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的知識(shí)及其相關(guān)運(yùn)算，考查考生的靈活轉(zhuǎn)化能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力9、D【解析】由兩直線平行的條件計(jì)算【詳解】由題意，解得故選D【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行的條件，直線與平行的條件是：在均不為零時(shí)，若中有0，則條件可表示為10、B【解析】試題分析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)四棱錐挖掉半個(gè)圓錐所得，所以體積為.考點(diǎn)：三視圖.11、D【解析】由正弦函數(shù)的周期變換以

11、及平移變換即可得出正確答案.【詳解】函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得到，再將所得圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的周期變換以及平移變換，屬于中檔題.12、C【解析】先由求導(dǎo)公式求出，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求出，然后利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進(jìn)而寫(xiě)出切線方程【詳解】，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即解得，所以，則，所以切線方程為故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)求曲線上一點(diǎn)的切線方程，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性，由題意可以求出的取值范圍，然后對(duì)四個(gè)判

12、斷逐一辨別真假即可.【詳解】，.當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，而，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減，故函數(shù)的最小值為，要想函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則必有，故判斷不對(duì)；對(duì)于：，取，所以，故判斷不對(duì)；對(duì)于：構(gòu)造函數(shù)，所以函數(shù)是上單調(diào)遞增，故，而，所以，故本判斷是正確的；對(duì)于：因?yàn)?，而，所以有，故本判斷是錯(cuò)誤的，故正確的判斷的個(gè)數(shù)為1.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)，考查了推理論證能力.14、1【解析】第1行數(shù)組成的數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，第列數(shù)組成的數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，可求出結(jié)果【詳解】根據(jù)題意，第行第列的數(shù)

13、記為那么每一組與的組合就是表中一個(gè)數(shù)因?yàn)榈谝恍袛?shù)組成的數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以第列數(shù)組成的數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以令.則 ，則120的正約數(shù)有422=1個(gè).所以121在表中出現(xiàn)的次數(shù)為1次故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理的應(yīng)用，涉及行列模型的等差數(shù)列應(yīng)用,和正約數(shù)的個(gè)數(shù)的求解，解題時(shí)利用首項(xiàng)和公差寫(xiě)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，運(yùn)用通項(xiàng)公式求值，15、9. 【解析】分析：計(jì)算正方形二維碼的面積，利用面積比等于對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)比求得黑色部分的面積.詳解：邊長(zhǎng)為4的正方形二維碼面積為，設(shè)圖中黑色部分的面積為S，則，解得.據(jù)此估計(jì)黑色部分的面積為9.故答案為：9.點(diǎn)睛：本

14、題考查了用模擬實(shí)驗(yàn)的方法估計(jì)概率的應(yīng)用計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.16、31【解析】根據(jù)，求出，又與的等差中項(xiàng)為，得到，所以可以求出，即可求出【詳解】依題意，數(shù)列是等比數(shù)列，即，所以 ，又與的等差中項(xiàng)為，所以，即，所以，所以，所以，故答案為：31【點(diǎn)睛】本題考查等比中項(xiàng)、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和公式，需熟記公式。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1） （2）用非線性回歸模型擬合效果更好；190個(gè)【解析】（1）求出、后代入公式直接計(jì)算得、，即可得解；（2）求出線性回歸模型的相關(guān)指數(shù)，與比較即可得解；（3）直接把代入，計(jì)算即可得解.【詳解】（1）由題意，則，y關(guān)于x的

15、線性回歸方程為.（2）對(duì)于線性回歸模型，相關(guān)指數(shù)為 因?yàn)?，所以用非線性回歸模型擬合效果更好.當(dāng)，時(shí)（個(gè)）所以溫度為時(shí)，該種藥用昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)估計(jì)為190個(gè).【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程的求解、相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用以及非線性回歸方程的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.18、（1），（2）猜想，見(jiàn)解析【解析】（1）由復(fù)數(shù)模的定義計(jì)算模，對(duì)，可先求出，再計(jì)算模；（2）由（1）猜測(cè)，用復(fù)數(shù)的一般形式進(jìn)行證明即可【詳解】（1）由題知，所以所以（2）猜想證明：因?yàn)?，所以因?yàn)椋?，所以猜想成?【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算和合情推理，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯

16、推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)，將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，與直線方程聯(lián)立，即可求解（2）設(shè)，根據(jù)已知可得在曲線上，即可求解.【詳解】（1）由得，聯(lián)立，消去得，解得，或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為；（2）直線與曲線有一交點(diǎn)為極點(diǎn)，不妨為，設(shè)，則在曲線上，所以，即，因?yàn)椴恢睾?，所以所以線段中點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、軌跡方程，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、 (1) (2)見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)“選出的3名同學(xué)是來(lái)自不同班級(jí)”為事件，由題目信息可知事件A對(duì)應(yīng)的基本事件有個(gè)，總的基本事件有個(gè)，利

17、用概率公式即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意，可知隨機(jī)變量的所有可能值為，結(jié)合，分別求得的值，進(jìn)而列出分布列，利用公式求得其期望.【詳解】（1）設(shè)“選出的3名同學(xué)是來(lái)自不同班級(jí)”為事件，則 答：選出的3名同學(xué)是來(lái)自不同班級(jí)的概率為.（2）隨機(jī)變量的所有可能值為 的分布列為0123答：選出的3名同學(xué)中女同學(xué)人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)離散型隨機(jī)變量的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有古典概型概率公式，離散型隨機(jī)變量分布列及其期望，屬于簡(jiǎn)單題目.21、（1）；（2）點(diǎn)位于棱的三等分點(diǎn)處.【解析】先由題意，得到，的坐標(biāo)，以及向量，的坐標(biāo)；（1）根據(jù)題中條件，得到，求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果；（2）先由題意，得到存在實(shí)數(shù)，使得，進(jìn)而得到，分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，根據(jù)向量夾角公式，結(jié)合題中條件，列出等式，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，可得，則，（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因此，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，即，設(shè)直線與平面所成角，則；（2）因?yàn)辄c(diǎn)為棱上一點(diǎn)，所以存在實(shí)數(shù)，使得，則，即；所以，；因?yàn)槠矫媾c平面是同一平面，因此其一個(gè)法向量為；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，則，令，則，即，因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫?，且，所以，解得：或，即或，?/p>