平面幾何基礎(chǔ)知識(shí)教程

1、 平面幾何基礎(chǔ)知識(shí)教程（圓）一、幾個(gè)重要定義外心：三角形三邊中垂線恰好交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱為外心內(nèi)心：三角形三內(nèi)角平分線恰好交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱為內(nèi)心垂心：三角形三邊上的高所在直線恰好交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱為垂心凸四邊形：四邊形的所有對(duì)角線都在四邊形ABCD內(nèi)部的四邊形稱為凸四邊形折四邊形：有一雙對(duì)邊相交的四邊形叫做折四邊形（如下圖）二、圓內(nèi)重要定理：1.四點(diǎn)共圓定義：若四邊形ABCD的四點(diǎn)同時(shí)共于一圓上，則稱A,B,C,D四點(diǎn)共圓基本性質(zhì)：若凸四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，則其對(duì)角互補(bǔ)證明：略判定方法：定義法：若存在一點(diǎn)O使OA=OB=OC=OD，則A,B,C,D四點(diǎn)共圓定理1:若凸四邊形ABCD的對(duì)角互

2、補(bǔ)，則此凸四邊形ABCD有一外接圓證明：略特別地，當(dāng)凸四邊形ABCD中有一雙對(duì)角都是90度時(shí)，此四邊形有一外接圓視角定理：若折四邊形ABCD中,ZADB=ZACB,則A,B,C,D四點(diǎn)共圓證明：如上圖，連CD,AB，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)P因?yàn)閆ADB=ZACB,所以ACPB-ADPAPCPB所以有=一PDPA再注意到ZCPD=ZBPA因此CPD7BPA因此ZPCD=ZPBA由此ZBCD+ZBAD=ZBCA+乙PCD+ZBAD=ZBDA+ZPBA+ZBAD=180（AABD的內(nèi)角和）因此A,B,C,D四點(diǎn)共圓特別地，當(dāng)ZADB=ZACB=90時(shí)，四邊形ABCD有一外接圓2圓冪定理：圓冪定理是圓的相

3、交弦定理、切割線定理、割線定理、切線長定理的統(tǒng)一形式。PAPAPB=PCPD證明：連AC,BD,則ZCAB=ZCDB（等弧對(duì)等圓周角）而ZAPC=ZDPB（對(duì)頂角相等）因此AAPC-ADPBPApc即=，因此PAPB=PCPDPDPB（切）割線定理：P是圓外任意一點(diǎn)，過P任作圓的兩割（切）線PAB,PCD,則PAPB=PCPD證明方法與相交弦定理完全一樣，可仿前。特別地，當(dāng)C，D兩點(diǎn)重合成為一點(diǎn)C時(shí)，割線PCD變成為切線PC而由割線定理，PAPB=PCPD=PC2，此時(shí)割線定理成為切割線定理而當(dāng)B，A兩點(diǎn)亦重合為一點(diǎn)A時(shí)，由切割線定理PC2=PAPB=PA2因此有PC=PA，此時(shí)切割線定理成為

4、切線長定理現(xiàn)考慮割線與切線同時(shí)存在的情況，即切割線定理的情況：p如圖，PCDp如圖，PCD是圓的割線，PE是圓的切線設(shè)圓心為0,連PO,OE,則由切割線定理有：PCPD=PE2而注意到黃色是RT，由勾股定理有：PE2=P02OE2，結(jié)合切割線定理，我們得到PCPD=PE2=PO2OE2，這個(gè)結(jié)果表明，如果圓心0與P是確定的，那么PC與PD之積也是唯一確定的。以上是P在圓外的討論現(xiàn)在再重新考慮P在圓內(nèi)的情形，如下圖,PCD是圓內(nèi)的現(xiàn)，PAB是以P為中點(diǎn)的弦則由相交弦定理有PAPB=PA2（因?yàn)镻是弦AB中點(diǎn)）=PCPD連OP,0A，由垂徑定理，AOPA是RTA由勾股定理有PA2=OA2OP2，結(jié)

5、合相父弦定理，便得到PAPB=PA（因?yàn)镻是弦AB中點(diǎn)）=PCPD=OA2OP2這個(gè)結(jié)果同樣表明，當(dāng)0與P是固定的時(shí)候PC與PD之積是定值以上是P在圓內(nèi)的討論當(dāng)P在圓上時(shí)，過P任作一弦交圓于A（即弦AP）,此時(shí)P02OA2=0也是定值綜上，我們可以把相交弦定理，切割線定理，割線定理，切線長定理統(tǒng)一起來，得到圓摹定理O圓摹定理：P是圓0所在平面上任意一點(diǎn)（可以在圓內(nèi)，圓上，圓外），過點(diǎn)P任作一直線交圓0于A,B兩點(diǎn)（A,B兩點(diǎn)可以重合，也可以之一和P重合），圓0半徑為r則我們有：PAPB=1PO2r2|由上面我們可以看到，當(dāng)P點(diǎn)在圓內(nèi)的時(shí)候，P6-r20，此時(shí)圓摹定理為相交弦定理當(dāng)P在圓上的時(shí)候

6、，PO?-r2=0當(dāng)P在圓外的時(shí)候，P6-r20此時(shí)圓摹定理為切割線定理，割線定理，或切線長定理以下有很重要的概念和定理：根軸先來定義摹的概念：從一點(diǎn)A作一圓周上的任一割線，從A起到和圓周相交為止的兩線段之積，稱為點(diǎn)對(duì)于這圓周的摹對(duì)于已知兩圓有等摹的點(diǎn)的軌跡，是一條垂直于連心線的直線。根軸的定義：兩圓等摹點(diǎn)的軌跡是一條直線，這條直線稱為兩圓的根軸性質(zhì)1若兩圓相交，其根軸就是公共弦所在直線由于兩圓交點(diǎn)對(duì)于兩圓的冪都是0,所以它們位于根軸上，而根軸是直線，所以根軸是兩交點(diǎn)的連線性質(zhì)2若兩圓相切，其根軸就是過兩圓切點(diǎn)的公切線（即性質(zhì)1的極限情況）性質(zhì)3若三圓兩兩不同心，則其兩兩的根軸交于一點(diǎn)，或互相

7、平行所交的這點(diǎn)稱為根心證明：若三圓心共線，則兩兩圓的根軸均垂直于連心線，因此此時(shí)兩兩的根軸互相平行若三圓心不共線，則必成一三角形，因此兩兩的根軸必垂直于兩兩的連心線。如圖，設(shè)CD與EF交于點(diǎn)0，連AO交圓分02圓03于B,B，則OAOB=OEOF=OCOD=OAOB“其中前兩式是點(diǎn)0對(duì)圓02的冪，后二式是點(diǎn)0對(duì)圓03的冪，中間是圓0對(duì)圓01的冪進(jìn)行轉(zhuǎn)化由此B與B重合，事實(shí)上它們就是點(diǎn)B（圓02與圓03的非A的交點(diǎn)），由此圓冪定理是對(duì)于圓適用的定理，今使用圓冪定理對(duì)圓內(nèi)接四邊形判定方法的補(bǔ)充：圓內(nèi)接四邊形判定方法相交弦定理逆定理：如果四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)P，且滿足PAPC=PB

8、PD，則四邊形ABCD有一外接圓切割線定理逆定理：如果凸四邊形ABCD一雙對(duì)邊AB與DC交于點(diǎn)P且滿足PAPC=PBPD，則四邊形ABCD有一外接圓這樣我們就補(bǔ)充了兩種判定方法例(射影定理)：RTAABC中，BC是斜邊，AD是斜邊上的咼則AD2=BDCDAB2=BDBCAC2=CDBC證明：如圖，延長AD至A,如圖，延長AD至A,使AD=DA,連AB,AC貝JAABC二AABC,因此ABAC+ZBAC=180(1)因此ABCA四點(diǎn)共圓由相交弦定理有：ADDA=AD2=BDCD(2)(3)(2)(3)A(3)同理，現(xiàn)證作RTAADB的外接圓，則RTAADB的外接圓圓心為E其中E是AB的中點(diǎn)則EA

9、丄AC,因此AC是圓ABD的切線由切割線定理有CA2=CDCB例2:垂心aabc中，三邊所在的高的所在的直線交于一點(diǎn)證明：設(shè)BE與CF交于H,連AH延長交BC于D即證ADIBC因?yàn)閆BEC=ZBFC=90,因此B,F,E，C四點(diǎn)共圓同理A,F,H,E四點(diǎn)共圓所以ZBHD=180ZAHFZBHF=180ZAEFZEHC=180ZBZA=ZC因此D,E,C四點(diǎn)共圓由此ZHDC=903.Mique定理之前1,2的重要定理都是討論關(guān)于點(diǎn)共圓的情況。那么反過來，圓共點(diǎn)的情況又如何？從最簡單的開始了解，在本文之后討論圓共點(diǎn)問題中，甚至其他類型的問題，加如。定理都給予莫大的便利，我們將要不止一次地用到它。先

10、看一個(gè)事實(shí)：CC如圖，AABC中，AD，BE，CF分別是三邊上的高，則分別以AEF，BDF，CDE作圓這三個(gè)圓共于一點(diǎn)，而且可以通過觀察，這個(gè)點(diǎn)就是垂心剛好是AD，BE，CF的交點(diǎn)在介紹蚌/定理之后，我們將會(huì)給這題與垂心一個(gè)闡釋呦吻定理：4ABC中，X，Y，Z分別是直線AB，BC，AC上的點(diǎn)，則AXZ,口BXY,口CYZ共于一點(diǎn)O這樣的點(diǎn)0稱為X，Y，Z對(duì)于AABC的如/點(diǎn)證明：如圖，設(shè)口AXZ與口BXY交于O,連OX,OY,OZ即問題轉(zhuǎn)化為證O,Z,Y,C四點(diǎn)共圓因?yàn)锳,X,O,Z與B,X,丫，0為兩組四點(diǎn)圓則ZAZO=180-ZAXO=BXO=180-ZBYO=ZOYC即ZOZC+ZOYC

11、=180因此O,Z,Y,C四點(diǎn)共圓事實(shí)上這個(gè)證明隱含著對(duì)一般證圓共點(diǎn)的方法在發(fā)掘Miquel定理的證明方法時(shí)可以得到一種更一般的證題方法注意這個(gè)證明只在X，Y，Z在AB，BC，AC邊上時(shí)可以當(dāng)在直線AB，BC，AC上時(shí)需要改一下，這里略去了。現(xiàn)在回到之前關(guān)于垂心的問題。為什么D,E,F關(guān)于AABC的Mqu點(diǎn)就是AABC的垂心證明：如圖，AD,BE,CF是A4BC的三條高，垂心為H,則E,F,HD,F,HD,E,H共三組四點(diǎn)共圓由此可見UAEF,BDF,CDE共于一點(diǎn)H而H就是垂心有了Mquel定理，我們可以對(duì)垂心有一個(gè)新的看法HD是口BDF與口CDE的根軸對(duì)HE,HF同理而ZADB=ZADC=

12、90因此口BDF與口CDE的連心線平行于BC（中位線定理）因此HD垂直于BCHE,HF同理因此垂心可以被認(rèn)為是這三圓的根軸的交點(diǎn)（根軸性質(zhì)3）用同樣的方法可以對(duì)內(nèi)心，外心以同樣的解釋：由此可見，共點(diǎn)圓與三角形的特殊點(diǎn)有很大的關(guān)系，上述3種只是最簡單的最容易發(fā)現(xiàn)的提起外心就會(huì)聯(lián)想到外接圓，這里不得不提一個(gè)常用定理：正弦定理正弦定理：AABC中，外接圓半徑R，則BCACAB“2.RsinAsinBsinC證明：作直徑AOD，連BD則乙ABD=90,ZADB=ZACB因此在RtAABD中因此在RtAABD中ABsinZADBABsinC=AD=2R其余同理想到三角函數(shù)里面的函數(shù)名，那么自然會(huì)想到余弦

13、定理余弦定理：a2=b2+c2想到三角函數(shù)里面的函數(shù)名，那么自然會(huì)想到余弦定理余弦定理：a2=b2+c22bccosAb2=a2+c22accosBc2=b2+a22abcosCABC中AB=c,AC=b,BC=aB證明：作BC邊上的高ADCD=ACcosC=bcosCBD=BC一CD=a一bcosC因此AB2-BD2=AC2-CD2即c2-(a一bcosC)2=b2一(bcosC)2c2一a2一b2cos2C+2abcosC=b2一b2cos2C即c2=a2+b2一2abcosC其余同理接著便就是著名的費(fèi)馬點(diǎn)，它也與共點(diǎn)圓有關(guān)系費(fèi)馬點(diǎn)，即AABC內(nèi)一點(diǎn)，使其到三頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)當(dāng)AABC

14、任一內(nèi)角都120時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)存在于內(nèi)部，當(dāng)有一內(nèi)角=120時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)與此角頂點(diǎn)重合設(shè)AABC中任一內(nèi)角均120，則費(fèi)馬點(diǎn)F可以通過如下方法作出來：分別以AB，AC，BC向外作正，連接對(duì)著的頂點(diǎn)，則得事實(shí)上，點(diǎn)F是這3個(gè)正的外接圓所共的點(diǎn)而FA+FB+FC其實(shí)就是頂點(diǎn)到對(duì)著的正頂點(diǎn)的連線的長而且之后將會(huì)有一種方法計(jì)算FA+FB+FC的長度而這將會(huì)在之后進(jìn)行討論Simson定理是常用而且著名的定理，多用于證明點(diǎn)共線，其逆定理也成立Simson定理：P是AABC外接圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD垂直BC,PE垂直于AB,同理PF則D,E,F是共線的三點(diǎn)直線DEF稱為點(diǎn)P關(guān)于AABC的Simson線引理（完全四邊

15、形的豳“定理）：四條直線兩兩交于A，B，C，D，E，F(xiàn)六點(diǎn)則口ABFgBCEgCDF口DAE共點(diǎn)先從AABF對(duì)E,C,D三點(diǎn)運(yùn)用密克定理，貝IBCE,CDF,DAE共點(diǎn)DAE對(duì)B,C,F三點(diǎn)運(yùn)用密克定理，則口ABF,BCE,CDF共點(diǎn)因此口ABF,口BCE,CDF,口DAE共點(diǎn)其中所共的點(diǎn)叫做完全四邊形的咖/點(diǎn)證明：這里運(yùn)用Miquel定理作為證明設(shè)PD垂直BC,PE垂直AB，延長DE交CA于F則問題等價(jià)于證明PF垂直AC連PF四邊形AFCDBE是完全四邊形所以由完全四邊形的Miquel定理（引理）ABC,BDE,AEF,CDF共點(diǎn)注意到ZPEB=ZPDB所以P,B,D,E四點(diǎn)共圓所以口ABC

16、與口BDE交于點(diǎn)P和B因此完全四邊形FACDBE的Miquel點(diǎn)非P則B而A,E,B是同一直線上三點(diǎn)因此A,E,F,B不可能共圓因此P是完全四邊形FACDBE的Miquel點(diǎn)由此P,E,F,A四點(diǎn)共圓則ZPFA=90今逆定理證略從這個(gè)證明我們看到Mqu”定理的威力不僅在于圓共點(diǎn)，而且對(duì)于共點(diǎn)圓也同樣適用在有了Simson定理之后，我們可以運(yùn)用Simson定理來給予完全四邊形的Miquel定理一個(gè)新的證明（即前面的引理）設(shè)BCE與CDF非C的一個(gè)交點(diǎn)為M,過M作MP垂直BE,MQ垂直EC,其余同理。因?yàn)镸在口BCE上，由Simson定理，PQR是共線的三點(diǎn)同理對(duì)CDF運(yùn)用Simson定理，有QR

17、S也是共線的三點(diǎn)因此P,Q,R,S四點(diǎn)共線而注意到P,Q,S是點(diǎn)M對(duì)44DE三邊的垂直且共線欲Simson定理逆定理，得A,M,D,E四點(diǎn)共圓同理A,B,F,M四點(diǎn)共圓因此口BCE,口CDF,口ADE，ABF共點(diǎn)于M由這個(gè)證明，我們可以知道完全四邊形的砸u”定理和Simson定理是等價(jià)的能夠運(yùn)用Simson定理證明的必也可用完全四邊形的密克定理證明，反之亦然這樣，Simson定理便與密克定理產(chǎn)生了莫大的關(guān)聯(lián)例.如圖，P為AABC外接圓上一點(diǎn)，作PAA丄BC交圓周于A,作丄直線交圓周于B，C同理。求證：AALIBBJCCECEC證明：設(shè)PA交BC于D,PB交AC于E,F同理，則由Simson定理

18、知，DEF三點(diǎn)共線由圖形看來，題斷三條互相平行的線均與Simson線平行，因此可以試證連PB而注意到P，B，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，因此ZEDBFDBPBAPA因此AA與Simson線平行。其余同理事實(shí)上，Simson定理可以作推廣，成為Carnot定理Carnot定理：通過AABC外接圓上的一點(diǎn)P，引與三邊BC，CA，AB分別成同向等角（即ZPDB=ZPEC=ZPFB）的直線PD,PE,PF與三邊或其所在直線的交點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)則D，E，F(xiàn)是共線的三點(diǎn)可以仿照前面的證明（這里的證明也可以運(yùn)用四點(diǎn)共圓的判定定理與性質(zhì)，再證ZDEF=180）證明留給讀者，作為習(xí)題5.Ptolemy定理本文主要介紹一些

19、平面幾何圓中較為重要和常用的定理，而Ptolemy定理是一個(gè)十分重要的定理，及其也有重要的推廣Ptolemy定理：若四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，則ABCD+ADBC二ACBD證明：如圖,設(shè)口ABCD外接圓半徑為R,連AC,過點(diǎn)D作A4BC各邊的垂線分交AB于C；AC于B,BC于A,則由Simson定理，ABC是共線的三點(diǎn)因此CB+BA=CA由A,C,B,D四點(diǎn)共圓，且ZCAD=ZDBlC,因此AD是口ACBD的直徑由正弦定理有CB=ADsinZCDB=ADsinZCABsinZBAC=BC2R所以CB=ADsinZBAC=BC2R所以CB=ADBC2R同理BA=CDAB2RACBD2R因此A

20、DBC2RCDAB2RACBD2R即ADBC=CDAB+ACBD至此，我們重新把求費(fèi)馬點(diǎn)至三頂點(diǎn)距離的長度和的問題提出，運(yùn)用Ptolemy定理解決：BB如圖，設(shè)AB=c,AC=b,BC=a由zafc=120zabc=60,有A,F,B,dZ9點(diǎn)共圓對(duì)口AFCB運(yùn)用Ptolemy定理有FABC+FCAB=ACFB因?yàn)锳ACB是等邊，因此FA+FC=FB所以FA+FB+FC=BB同理FA+FB+FC=AA=CC今考察ABCB，由余弦定理BB2=aBB2=a2+b2-2abcos(60+C)=a2+b2-2abcos60cosC-sin60sinC=a2+b2-abcosC一P3sinC2SABC而

21、ABC中,sinC=abcosC=a2+b2一c2代入上式有2aba2+b2-c2BB2=a2+b2-ab-2ab=a2+b2-(a2+b2一c2)+2J3sABCab2=a2+b2+C2+2朽SABC因此FA+FB+FC=心產(chǎn)+2呂ABC其中SUBCPp(p-a)(p-b)(p-c),p=(這里我們用到著名的求積公式a+b+cSAABC二、p(p-a)(p-b)(p-c)(其中p=)，證略).至此，本文平面幾何圓的基礎(chǔ)知識(shí)已經(jīng)全部介紹完畢，這里將以著名的Chapple定理結(jié)束(只做了解)這是與圓冪定理的應(yīng)用有關(guān)的定理之一Chapp%定理：殳R是AABC的外接圓半徑，r是內(nèi)切圓半徑,d是這兩圓

22、的圓心距，則d2=R2-2RrQP證明：連AI并延長交AABC外接圓于P,并作直徑POQ,連BQ設(shè)內(nèi)切圓與AB的切點(diǎn)為D,連ID,IB則在AADI與AQBP中，ZDAI=ZBQPZADI=ZQBP=90因此AADIAQBP有蟲=D,即AIBP=DIPQ=2RrPQBPAIBP中，ZIBP=(/A+ZB)上BIP=/IAB+/IBA=2(/A+ZB)因此BP=IP,由此AIBP=AIIP=2R,再由圓冪定理AIIP=R2OI2=R2d2=2Rr即d2=R2一2Rr事實(shí)上Chappl定理對(duì)旁心也有相應(yīng)的公式，不過是等號(hào)右邊的符號(hào)-變+但對(duì)本文不提及旁心，因此略去習(xí)題第一部分（四點(diǎn)共圓的應(yīng)用）如圖，

23、在ABC中,AB=AC.任意延長CA到P，再延長AB到Q使AP=BQ.求證：ABC的外心0與A,P,Q四點(diǎn)共圓.（1994年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽二試第1題）如圖，在AABC中，AB=AC,D是底邊BC上一點(diǎn)，E是線段AD上一點(diǎn)，且ZBED二2ZCED二ZA.求證：BD二2CD.（1992年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽二試第2題）如圖，設(shè)AB,CD為的兩直徑，過B作PB垂直于AB,并與CD延長線相交于點(diǎn)P,過P作直線與分別交于E,F兩點(diǎn)，連結(jié)AE,AF分別與CD交于G,H求證:OG=OH.（2002年我愛數(shù)學(xué)初中生夏令營一試第2題）.p第二部分（圓冪定理的應(yīng)用）如圖，等邊三角形ABC中，邊AB與相切于點(diǎn)

24、H，邊BC,CA與交于點(diǎn)D,E,F；G。已知AG=2,GF=6,FC=1.則DE=.（第33屆美國中學(xué)生數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題改編）如圖，。0和都經(jīng)過點(diǎn)A和B,PQ切于P，交于Q,M，交AB的延長線于N.求證：PN2二MN-NQ.3N如圖，已知點(diǎn)P是0外一點(diǎn),PS,PT是0的兩條切線，過點(diǎn)P作0的割線PAB,1111交0于A.B兩點(diǎn)，并交ST于點(diǎn)C,求證：丄二上（丄+丄）.（2001年TI杯全國PC2PAPB初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽B卷第14題）第三部分（血o頤y定理的應(yīng)用）已知a,b,x,y是正實(shí)數(shù)，且a2+b2二1,x2+y2二1，求證：ax+by1.&從銳角ABC的外心O向它的邊BC,CA,AB作垂線，垂足

25、分別為D,E,E設(shè)ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r.求證:OD+OE+OF=R+r.9.設(shè)MBC與ABC的三邊分別為a,b,c與a,b,c,且zB=/B,zA+/A=180.試0證:aa=bb+cc.第四部分（曲兀定理的應(yīng)用）10.證明Carnot定理11.如圖,MBC的邊BC上的高AD的延長線交外接圓于P，作PE丄AB于E，延長ED交AC的延長線于E求證：BCEF二BFCE+BECF.AA12設(shè)P為ABC外接圓圓周上一點(diǎn),P在邊BC,CA,AB上的射影分別為L,M,N令PL=l,PM=m,PN=n,BC=a,CA=b,AB=c,求證:m-n-a二l-n-b+1-m-c.（提示：應(yīng)用張角

26、定理：設(shè)PABC的邊BC上一點(diǎn)，厶BAP=a,/CAP=0,則sin(a+0)sinasin0證略)APACAB略)APAC習(xí)題解答證明：如圖，連QP,OP,OA,OQ,OB要證A,O,P,Q四點(diǎn)共圓，考慮到視角定理，可證ZOPA=ZOQA而考慮到條件，因此可證APQ二ABQO而AP=BQ,OB=OA,ZOBQ=180-ZOBA=180ZOAB=180ZOAC=ZOAP因此AAPQ二ABQO，故ZOPA=ZOQA得證2.證明：A作ZAEB的平分線交AB于點(diǎn)G,則Zl二Z211=2(180-ZBED)=-1(180-ZBAC)ZABC22G,E,D,B四點(diǎn)共圓./.Z2=Z3故AGBD為等腰三角

27、形.設(shè)F為BD中點(diǎn)，連GF,則Z6=Z7過點(diǎn)G作GH口注意到AGABBC,叫AC與點(diǎn)H,連HD易知AG二AH過點(diǎn)G作GH口注意到AGABE,D,C,H四點(diǎn)共圓所以Z4二Z5Z5二Z6可知agbf仝ahcd故BF=CD,于是BD=2CD.3.證明：作FE中點(diǎn)C,連0C,過F作FDE口CD交AB于D,AE于E111111貝lZOCP=ZPBO=90,因此O,P,C,B四點(diǎn)共圓11因此ZOPC=ZOBC，而FDEnCD，因此ZOPC=ZDFC1111111因此ZOBC=ZDFC,由視角定理有111B,F,D,C四點(diǎn)共圓11有ZFBA=ZFCD=ZFEA11由此DCE11考慮AFEE,C是FE中點(diǎn)，因

28、此D是FE中點(diǎn)1111這樣由FEDGHAO_OHAO_OHADDF即OG_OH4.解:設(shè)BD=x.CE=y對(duì)口0及點(diǎn)A用圓幕定理，得AH2=AG-AF=2x(2+6)=16nAH=4.ABC是正三角形-AB=AC=9BH=5同理，對(duì)口。及點(diǎn)B;口。及點(diǎn)C分別用圓幕定理，可得BDBE=25ox(9-y)=25CECD=7oy(7-y)=7解得x=5證明：對(duì)口O和N運(yùn)用圓冪定理有NP2二NBNA,即證NBNA二NMNQ再對(duì)口O和N運(yùn)用圓冪定理NBNA二NMNQ即得6證明：連P0交ST于點(diǎn)H,作OM丄PB于點(diǎn)M.易知點(diǎn)M為AB中點(diǎn).11.冷(PA+PB)=(2PA+2AM)=PM.即有1(PA+PB)=PM(1)ZCMO+ZCHO=90:C,M,O,H四點(diǎn)共圓.PC.PM=PHPO=PS2又PS是口O切線，所以PS2=PAPB從而有PCPM=PAPB(2)將(1)帶入(2),整理即得1PC1PC=2(pA1PB7證明：由題斷的形式可以聯(lián)想到Ptolemy定理，因此構(gòu)造如圖的四邊形使AB=a,AD=b,BC=x,CD=y,BD=1,ZBAD=ZBCD=90則符合題設(shè)因此A,B,C,D四點(diǎn)共圓由Ptolemy定理有ax+by=ACBDBD2=1