選修專題極坐標(biāo)與參數(shù)方程

1、精選文檔精選文檔PAGEPAGE16精選文檔PAGE2017高考二輪專題復(fù)習(xí)：極坐標(biāo)與參數(shù)方程1極坐標(biāo)的基本觀點(diǎn)極坐標(biāo)(，)的含義：設(shè)M是平面上任一點(diǎn)，表示OM的長(zhǎng)度，表示以射線Ox為始邊，射線OM為終邊所成的角那么，有序數(shù)對(duì)(，)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo)明顯，每一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(，)，決定一個(gè)點(diǎn)的地點(diǎn)此中稱為點(diǎn)M的極徑，稱為點(diǎn)M的極角極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系的最大差別在于：在直角坐標(biāo)系中，平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的，而在極坐標(biāo)系中，關(guān)于給定的有序數(shù)對(duì)(，)，能夠確立平面上的一點(diǎn)，可是平面內(nèi)的一點(diǎn)的極坐標(biāo)卻不是獨(dú)一的（極角相差2的正數(shù)倍）2極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化若極點(diǎn)在原點(diǎn)且極軸為x軸的

2、正半軸，則平面內(nèi)隨意一點(diǎn)M的極坐標(biāo)M(，)化為平面直角坐標(biāo)M(x，y)的公式以下：xcos，x2y2，tany，或許ysinx此中要聯(lián)合點(diǎn)所在的象限確立角的值，一般取0,2).3常有曲線的參數(shù)方程(1)過定點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角為的直線：xx0tcos，yy0(t為參數(shù))，tsin此中參數(shù)t是以定點(diǎn)P(x0，y0)為起點(diǎn)，點(diǎn)M(x，y)為終點(diǎn)的有向線段PM的數(shù)目，又稱為點(diǎn)P與點(diǎn)M間的有向距離依據(jù)t的幾何意義，有以下結(jié)論：設(shè)A，B是直線上隨意兩點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA和tB，則|AB|tBtA|（tBtA）24tAtB；線段AB的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值等于tAtB.2(2)中心在P(x0，y

3、0)，半徑等于r的圓：xx0rcos，(為參數(shù))yy0rsin(3)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸(或y軸)上的橢圓：xacos，xbcos，(為參數(shù))或.ybsinyasin4參數(shù)方程化為一般方程由參數(shù)方程化為一般方程就是要消去參數(shù)，消參數(shù)時(shí)經(jīng)常采納代入消元法、加減消元法、乘除消元法、三角代換法，消參數(shù)時(shí)要注意參數(shù)的取值范圍對(duì)x，y的限制1高考熱門打破（掌握極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程；參數(shù)方程與一般方程；極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程之間的互化是前提）例：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為xtcos（t為參數(shù)，ytsin0），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸成立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p（

4、p0），寫出直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程.cos1打破點(diǎn)1：求交點(diǎn)坐標(biāo)x45cost,(2013全國(guó)1卷)已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，55sint軸的正半軸為極軸成立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin.(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(0,02)解：(1)將x45cost,消去參數(shù)t，化為一般方程(x4)2(y5)225，55sint即C1：x2y28x10y160.將xcos,代入x2y28x10160得ysiny28cos10sin160.所以C1的極坐標(biāo)方程為28cos10sin160.C2的一般方程為x2

5、y22y0.由x2y28x10y160,x2y22y0解得x1,或x0,所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為2,，2,.y1y2.42有關(guān)練習(xí)：x1cos1.在直角坐標(biāo)系xoy中，圓C的參數(shù)方程(為參數(shù)）,以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的ysin非負(fù)半軸為極軸成立極坐標(biāo)系。（I）求圓C的極坐標(biāo)方程；（II）射線OM：與圓C的交點(diǎn)O、P兩點(diǎn)，求P點(diǎn)的極坐標(biāo)。41)2y21即x2y2解：()圓C的參數(shù)方程化為一般方程是(x2x0又2x2y2，xcos于是22cos0，又0不知足要求所以圓C的極坐標(biāo)方程是2cos()因?yàn)樯渚€OM:4的一般方程為yx(x0)2yx,x0消去y并整得x2x0聯(lián)立方程組1)2y2(x1解得

6、x1或x0，所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1)所以P點(diǎn)的極坐標(biāo)為(2,)4解法2：把代入2cos得2cos2所以P點(diǎn)的極坐標(biāo)為(2,)444x21t2.在平面直角坐系xOy中，直l的參數(shù)方程2(t參數(shù)），以坐原點(diǎn)極點(diǎn)，y3t2x正半極成立極坐系，曲C的極坐方程：4cos。（1）直l的參數(shù)方程化極坐方程；（2）求直l的曲C交點(diǎn)的極坐（0,02）x21t分析：（1）將直l:2（t參數(shù)）消去參數(shù)t，化一般方程3ty23xy230，2分將xcos代入3xy230得3cossin230.4分ysin（2）方法一：C的一般方程x2y24x0.6分由3xy230解得：x1或x38分x2y24x0y3y3所以l與

7、C交點(diǎn)的極坐分：(2,5)，(23,).10分36方法二：由3cossin230，6分4cos得：sin(2)0，又因0,028分3223所以5或363所以l與C交點(diǎn)的極坐分：(2,5)，(23,).10分36打破點(diǎn)2：求方程真做：(2010全國(guó)1卷)x1tcosxcos（參數(shù)），已知直C1（t參數(shù)），C2ysinytsin（）當(dāng)=，求C1的垂，垂足A，31與C2的交點(diǎn)坐；（）坐原點(diǎn)O做CPOA中點(diǎn)，當(dāng)化，求P點(diǎn)的跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲。有關(guān)：1.在直角坐系xOy中，以O(shè)極點(diǎn)，x正半極成立極坐系，C和直l的極坐方程分=2cos，cos（+）=2（此中tan=2，（0，）（）求C和直l的

8、直角坐方程；（）C和直l訂交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求以AB直徑的D的參數(shù)方程分析：（）C的極坐方程分=2cos，化成直角坐方程：（x1）2+y2=1，因?yàn)椋簍an=2，（0，）：，極坐方程cos（+）=2化成直角坐方程：x2y2=0（）由（）得：解得：A（2，0），B（，），：，點(diǎn)M（x，y）是D上的隨意一點(diǎn)，：所以：+整理得：5x2+5y212x+4y=0化成準(zhǔn)形式：化成參數(shù)方程：（參數(shù)）2.將x2y21上每一點(diǎn)的橫坐保持不，坐本來的2倍，得曲C.（1）寫出C的參數(shù)方程；（2）直l:2xy20與C的交點(diǎn)P1,P2，以坐原點(diǎn)極點(diǎn)，x正半極成立極坐系，求段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直的極坐方程.4（）設(shè)

9、(x1,y1)為圓上的點(diǎn)，經(jīng)變換為C上點(diǎn)（x，y），依題意，得xx1由x12y121得y2y12costx2(y)21，即曲線C的方程為x2y1.，故C得參數(shù)方程為x（t為參數(shù)）.2sint24yx2y21x1x04()由解得：0，或.2xy20yy2不如設(shè)P1(1,0),P2(0,2),則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為1k1(,1),所求直線的斜率為，于是1122所求直線方程為y1(x)，化為極坐標(biāo)方程，并整理得2232cos4sin3，即4sin2cos打破點(diǎn)3：長(zhǎng)度與面積問題真題試做：(2011全國(guó)1卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x2cos1y22sinuuuvuuuv（為參數(shù)）

10、M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)知足OP2OM,P點(diǎn)的軌跡為曲線C2()求2的方程()在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線C與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求AB.3xOy中，直線C1:x2y2(2015全國(guó)1卷)在直角坐標(biāo)系2，圓C2:x121，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸成立極坐標(biāo)系.（I）求C1,C2的極坐標(biāo)方程.R，設(shè)C2,C3（II）若直線C3的極坐標(biāo)方程為4的交點(diǎn)為M,N，求C2MN的面積.有關(guān)練習(xí)：x1cos1.在直角坐標(biāo)系xOy中，半圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，0），以ysinO為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸成立極坐標(biāo)系（）求C的極坐標(biāo)方程；（）直

11、線l的極坐標(biāo)方程是(sin3cos)53，射線OM：與半圓C的交點(diǎn)35為O、P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長(zhǎng)解：（）半圓C的一般方程為(x1)2y21(0y1)，又xcos,ysin，所以半圓C的極坐標(biāo)方程是2cos,0,（5分）2（）設(shè)(1,1)為點(diǎn)P的極坐標(biāo)，則有12cos111，解得，11332(sin23cos2)532設(shè)(2,2)為點(diǎn)Q的極坐標(biāo)，則有解得2235，3因?yàn)?2，所以|PQ|12|4，所以PQ的長(zhǎng)為4（10分）2.已知點(diǎn)Q(2，0)和點(diǎn)P(2cosa,2sina2),a0,2線段PQ的中點(diǎn)為M.(I)求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程；()設(shè)點(diǎn)P的軌跡與點(diǎn)M的軌跡交于A，B兩點(diǎn)

12、，求QAB的面積解：(1)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M(cos1,sin1).點(diǎn)M的軌跡方程為xcos1,參數(shù)0，2）.ysin1x2cos且，得點(diǎn)P的軌跡方程為22，y2sin20,2)x(y2)4由(1)得點(diǎn)M的軌跡方程為(x1)2(y1)21.-得公共弦所在直線方程為xy12可求得|AB|14點(diǎn)到直線xy1的距離為32，2,Q24的面積為S1143237.QAB2248打破點(diǎn)4：最值問題真題試做：（2014全國(guó)卷）已知曲線C：x2y2x2t1，直線l：y2（t為參數(shù)）.492t()寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的一般方程；6（）過曲線C上任一點(diǎn)P作與l夾角為30o的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最

13、大值與最小值.x2cos.（I）曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).y3sin.直線l的一般方程為2xy60.II）曲線C上隨意一點(diǎn)P(2cos,3sin)到l的距離為d54cos3sin6.5則PAd255sin()6,此中為銳角，且tan4sin305.3當(dāng)sin(+)=-1時(shí)，PA獲得最大值，最大值為225.5當(dāng)sin()1時(shí)，PA獲得最小值，最小值為25.5有關(guān)練習(xí)1.在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸成立直角坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為22cos，直線的參數(shù)方程為xt（為參數(shù)），直線和圓C4y122t交于A,B兩點(diǎn)，P是圓C上不一樣于A,B的隨意一點(diǎn).（1）求圓心的極坐標(biāo)；（

14、2）求PAB面積的最大值.解：()圓C的一般方程為x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22.所以圓心坐標(biāo)為（1，-1），圓心極坐標(biāo)為(2,7)；4()直線l的一般方程：22xy10，圓心到直線l的距離221122AB28210d33，所以2,93點(diǎn)P直線AB距離的最大值為rd22252,33Smax121052105233972.已知平面直角坐標(biāo)系xoy，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸成立極坐標(biāo)系，P點(diǎn)的極坐標(biāo)為22,，曲線C的極坐標(biāo)方程為4sin.4（）寫出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)及曲線C的一般方程；（）若Q為C上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線l:x32ty2(t為參數(shù)）距離的最小值.t在平面直角坐

15、標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸成立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2sin，0,2.（）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（）在曲線C上求一點(diǎn)D，使它到直線l：x3t3,（t為參數(shù)，tR）的距離y3t2最短，并求出點(diǎn)D的直角坐標(biāo).解：（）解：由2sin，0,2，可得22sin8因2x2y2，siny，所以曲C的一般方程x2y22y0（或x2y121）（）解法一：因直的參數(shù)方程x3t3,（t參數(shù)，tR），y3t2消去t得直l的一般方程y3x55分因曲C：x2y121是以G0,1心，1半徑的，點(diǎn)Dx0,y0，且點(diǎn)D到直l：y3x5的距離最短，所以曲C在點(diǎn)D的切與直l：y3x5平行即直GD與

16、l的斜率的乘等于1，即y01317分x0因x02y021，1解得x0332或x02所以點(diǎn)D的坐31或339分2，2，22因?yàn)辄c(diǎn)D到直y3x5的距離最短，所以點(diǎn)D的坐3310分2，2（2）解：因直l的參數(shù)方程x3t3,（t參數(shù)，tR），y3t2消去t得直l的一般方程3xy50因曲Cx2y121是以G0,1心，1半徑的，因點(diǎn)D在曲C上，所以可點(diǎn)Dcos,1sin0,23cossin4所以點(diǎn)D到直l的距離d2sin239因?yàn)?,2，所以當(dāng)時(shí)，dmin1633，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為33此時(shí)D，2，2224(2015山西四校聯(lián)考)在極坐標(biāo)系中，曲線232，點(diǎn)R(22，12sin4(1)以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x

17、軸的正半軸，成立平面直角坐標(biāo)系，把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，R點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)；(2)設(shè)P為曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，以PR為對(duì)角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸，求矩形PQRS周長(zhǎng)的最小值，及此時(shí)P點(diǎn)的直角坐標(biāo)解：(1)xcos，ysin，曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y21，3點(diǎn)R的直角坐標(biāo)為R(2,2)(2)設(shè)P(3cos，sin)，依據(jù)題意可得|PQ|23cos，|QR|2sin，|PQ|QR|42sin()，3當(dāng)時(shí)，|PQ|QR|取最小值2.6矩形PQRS周長(zhǎng)的最小值為4，1此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2，2)5.在極坐標(biāo)系內(nèi)，已知曲線C1的方程為22cos2sin40，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極

18、軸方向?yàn)閤軸正半軸方向，利用同樣單位長(zhǎng)度建C2的參數(shù)方程為5x14t立平面直角坐標(biāo)系，曲線5y18（t為參數(shù)）3t12求曲線C1的直角坐標(biāo)方程以及曲線C2的一般方程；設(shè)點(diǎn)為曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線C1的兩條切線，求這兩條切線所成角余弦的最小值解：1關(guān)于曲線C1的方程為22sin)402(cos可化為直角坐標(biāo)方程x2y22x4y40，即(x1)2(y2)2110于曲C2的參數(shù)方程5x14t（t參數(shù)）5y183t可化一般方程3x4y1502心(1,2)點(diǎn)作直3x4y150的垂，此兩切成角最大，即余弦最小由點(diǎn)到直的距離公式可知，d|314(2)15|4，sin1，所以cos12sin273242

19、2428所以兩條切所成角的余弦的最小是78打破點(diǎn)6：范圍問題已知曲C1的參數(shù)方程是x2cos(2012全國(guó)1卷)y(為參數(shù))，以坐原點(diǎn)3sin極點(diǎn)，x的正半極成立坐系，曲C2的坐系方程是2，正方形ABCD的點(diǎn)都在C2上，且A,B,C,D依逆序次擺列，點(diǎn)A的極坐(2,)3（1）求點(diǎn)A,B,C,D的直角坐；2222（2）PC1上隨意一點(diǎn)，求PAPBPCPD的取范。有關(guān)：以坐原點(diǎn)極點(diǎn)，以x的非半極成立極坐系，x2cost已知曲C的參數(shù)方程（t參數(shù)）.2sint1）曲C在點(diǎn)(1,1)的切l(wèi)，求l的極坐方程；（2）點(diǎn)A的極坐(22,)，且當(dāng)參數(shù)t0,，點(diǎn)A的直4m與曲C有兩個(gè)不一樣的交點(diǎn)，求直m的斜率的

20、取范.（）x2cost,x2y22點(diǎn)C(1,1)在上，故切方程xy22分y2sint,sincos2，切的極坐方程：sin()25分4（）yk(x2)2與半x2y22(y0)相切|2k2|12k2k24k10k23，k23（舍去）.8分112022,點(diǎn)B(2,0)KAB22故直m的斜率的取范(23,22.10分打破點(diǎn)7：直線參數(shù)t的幾何意義的運(yùn)用1.在平面直角坐系xOy中，點(diǎn)P(2,0)的直l的參數(shù)方程x23t（t參數(shù)），ytC的方程x2y29，以坐原點(diǎn)O極點(diǎn)，x的非半極成立極坐系.（1）求直l和C的極坐方程；（2）直l和C訂交于A,B兩點(diǎn)，求|PA|PB|的.|PA|PB|t1|t2|t1t

21、2|(t1t2)24t1t2(23)220422.在平面直角坐系xoy中，曲C1的參數(shù)方程x4t2（t參數(shù)）.以坐原點(diǎn)Oy4t極點(diǎn)，x正半極成立極坐系并取同樣的位度，曲C2的極坐方程2cos().2把曲C1的方程化一般方程，C2的方程化直角坐方程；若曲C1，C2訂交于A,B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)P，點(diǎn)P作曲C2的垂交曲C1于E,F兩點(diǎn)，求|PE|PF|的.12解：（）消去參數(shù)可得C1：y2=4x,C2:x-y-1=0（）設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),且AB中點(diǎn)為P(x0,y0),y24x,聯(lián)立可得x2-6x+1=0，所以x1+x2=6,x1x2=1,xy10,x1x23x32t2x02AB中

22、垂線的參數(shù)方程t為參數(shù)2y0 x012y2t2代入y24x中，得t282t160,所以t1t216所以|PE|PF|t1t2|163.已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)P(x1tcos451,2)的直線l的參數(shù)方程為2tsin45y（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸成立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為sintan2a（a0），直線l與曲線C訂交于不一樣的兩點(diǎn)M,N.（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的一般方程；2）若|PM|MN|，務(wù)實(shí)數(shù)a的值.解：（1）因?yàn)閤1tcos45y2（t為參數(shù)），直線l的一般方程為xy10.tsin45因?yàn)閟intan2a，所以2sin22acos，x

23、cos，得曲線C的一般方程為y22ax,(a0).由siny（2）因?yàn)閥22ax，所以x0，設(shè)直線l上點(diǎn)M,N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是t1,t2（t10,t20），則|PM|t1,|PN|t2，因?yàn)閨PM|MN|，所以|PM|1|PN|，所以t22t1，213將x1tcos45代入y22ax得t222(a2)t4(a2）=0，y2tsin45所以t1t222(a2)2t11t1t24(a2)，又因?yàn)閠2，所以a.424.已知曲線C的極坐標(biāo)方程是2sin2，直線l的參數(shù)方程是xt1212（t為參2y2數(shù)）.（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)是P，直線l與曲線C交于M,

24、N兩點(diǎn)，求11|PM|的值.|PN|解：（1）由21sin22222，得2sin，2x又ysin，2x2y2，所以2x22y2，即y21，故x2y21即為曲線C的直角坐標(biāo)方程.2（2）設(shè)直線l上點(diǎn)M,N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是t1,t2.將直線的參數(shù)方程代入x2y21，獲得3t22t10，22由根與系數(shù)的關(guān)系得t1t2222，t1t2，33所以11|PM|PN|t1t2|(t1t2)24t1t222.|PM|PN|PM|PN|t1t2|t1t2|5.在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸成立極坐標(biāo)系，向來曲線C：x22tsin22acos(a0)，過點(diǎn)P(2，4)的直線l的參數(shù)方程為2(t為參2